高三數(shù)學(xué)軌跡方程第一頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期六77《圓錐曲線－軌跡方程》第二頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期六基本知識概要：一、求軌跡的一般方法：1．直接法：如果動點運動的條件就是一些幾何量的等量關(guān)系，這些條件簡單明確，易于表述成含x,y的等式，就得到軌跡方程，這種方法稱之為直接法。用直接法求動點軌跡一般有建系,設(shè)點，列式，化簡，證明五個步驟，最后的證明可以省略，但要注意“挖”與“補”。2．定義法：運用解析幾何中一些常用定義（例如圓錐曲線的定義），可從曲線定義出發(fā)直接寫出軌跡方程，或從曲線定義出發(fā)建立關(guān)系式，從而求出軌跡方程。第三頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期六3.代入法：動點所滿足的條件不易表述或求出，但形成軌跡的動點P(x,y)卻隨另一動點Q(x’，y’)的運動而有規(guī)律的運動，且動點Q的軌跡為給定或容易求得，則可先將x’,y’表示為x,y的式子，再代入Q的軌跡方程，然而整理得P的軌跡方程，代入法也稱相關(guān)點法。4.參數(shù)法：求軌跡方程有時很難直接找到動點的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，則可借助中間變量（參數(shù)），使x,y之間建立起聯(lián)系，然而再從所求式子中消去參數(shù)，得出動點的軌跡方程。第四頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期六5.交軌法：求兩動曲線交點軌跡時，可由方程直接消去參數(shù)，例如求兩動直線的交點時常用此法，也可以引入?yún)?shù)來建立這些動曲線的聯(lián)系，然而消去參數(shù)得到軌跡方程?？梢哉f是參數(shù)法的一種變種。6.幾何法：利用平面幾何或解析幾何的知識分析圖形性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)動點運動規(guī)律和動點滿足的條件，然而得出動點的軌跡方程。7.待定系數(shù)法：求圓、橢圓、雙曲線以及拋物線的方程常用待定系數(shù)法求.8.點差法：求圓錐曲線中點弦軌跡問題時，常把兩個端點設(shè)為并代入圓錐曲線方程，然而作差求出曲線的軌跡方程。第五頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期六二、注意事項：1．直接法是基本方法；定義法要充分聯(lián)想定義、靈活動用定義；代入法要設(shè)法找到關(guān)系式x’=f(x,y),y’=g(x,y);參數(shù)法要合理選取點參、角參、斜率參等參數(shù)并學(xué)會消參；交軌法要選擇參數(shù)建立兩曲線方程再直接消參；幾何法要挖掘幾何屬性、找到等量關(guān)系。2．要注意求得軌跡方程的完備性和純粹性。在最后的結(jié)果出來后，要注意挖去或補上一些點等。第六頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期六典型例題選講第七頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期六一、直接法題型：例1已知直角坐標(biāo)系中，點Q（2，0），圓C的方程為，動點M到圓C的切線長與的比等于常數(shù)，求動點M的軌跡。說明：求軌跡方程一般只要求出方程即可，求軌跡卻不僅要求出方程而且要說明軌跡是什么。練習(xí)：（待定系數(shù)法題型）在中，，且的面積為1，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求以M，N為焦點，且過點P的橢圓方程。第八頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期六二、定義法題型：例2如圖，某建筑工地要挖一個橫截面為半圓的柱形土坑，挖出的土只能沿AP、BP運到P處，其中AP=100m，BP=150m，∠APB=600，問怎能樣運才能最省工？練習(xí)：已知圓O的方程為x2+y2=100,點A的坐標(biāo)為（-6，0），M為圓O上任一點，AM的垂直平分線交OM于點P，求點P的方程。第九頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期六三、代入法題型：例3如圖，從雙曲線x2-y2=1上一點Q引直線x+y=2的垂線，垂足為N。求線段QN的中點P的軌跡方程。練習(xí)：已知曲線方程f(x,y)=0.分別求此曲線關(guān)于原點，關(guān)于x軸，關(guān)于y軸，關(guān)于直線y=x，關(guān)于直線y=-x，關(guān)于直線y=3對稱的曲線方程。第十頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期六四、參數(shù)法與點差法題型：例4經(jīng)過拋物線y2=2p(x+2p)(p>0)的頂點A作互相垂直的兩直線分別交拋物線于B、C兩點，求線段BC的中點M軌跡方程。五、交軌法與幾何法題型例5拋物線的頂點作互相垂直的兩弦OA、OB，求拋物線的頂點O在直線AB上的射影M的軌跡。（考例5）說明：用交軌法求交點的軌跡方程時，不一定非要求出交點坐標(biāo)，只要能消去參數(shù)，得到交點的兩個坐標(biāo)間的關(guān)系即可。交軌法實際上是參數(shù)法中的一種特殊情況。第十一頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期六六、點差法：例6（2004年福建，22）如圖，P是拋物線C：上一點，直線過點P且與拋物線C交于另一點Q。若直線與過點P的切線垂直，求線段PQ中點M的軌跡方程。（圖見教材P129頁例2）。說明：本題主要考查了直線、拋物線的基礎(chǔ)知識，以及求軌跡方程的常用方法，本題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率以及靈活運用數(shù)學(xué)知識分析問題、解決問題。第十二頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期六小結(jié)第十三頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期六一、求軌跡的一般方法：1．直接法，2．定義法，3．代入法，4．參數(shù)法，5．交軌法，6．幾何法，7.待定系數(shù)法，

8.點差法。

二、注意事項：1．直接法是基本方法；定義法要充分聯(lián)想定義、靈活動用定義；化入法要設(shè)法找到關(guān)系式x’=f(x,y),y’=g(x,y);參數(shù)法要合理選取點參、角參、斜率參等參數(shù)并學(xué)會消參；交軌法要選擇參數(shù)建立兩曲線方程；幾何法要挖掘幾何屬性、找到等量關(guān)系。2．要注意求得軌跡方程的完備性和純粹性。在最后的結(jié)果出來后，要注意挖去或補上一些點等。第十四頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期六課前熱身第十五頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期六y=0(x≥1)1.動點P到定點(-1，0)的距離與到點(1，0)距離之差為2，則P點的軌跡方程是______________.2.已知OP與OQ是關(guān)于y軸對稱，且2OP·OQ=1，則點P(x、y)的軌跡方程是______________________3.與圓x2+y2-4x=0外切，且與y軸相切的動圓圓心的軌跡方程是______________________.→→→→-2x2+y2=1y2=8x(x＞0)或y=0(x＜0)第十六頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期六4.△ABC的頂點為A(0，-2)，C(0，2)，三邊長a、b、c成等差數(shù)列，公差d＜0；則動點B的軌跡方程為__________________________________.5.動點M(x,y)滿足

則點M軌跡是()(A)圓(B)雙曲線(C)橢圓(D)拋物線返回D第十七頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期六

6.當(dāng)θ∈［0,π/2］時，拋物線y=x2-4xsinθ-cos2θ的頂點的軌跡方程是_____________7.已知線段AB的兩個端點A、B分別在x軸、y軸上滑動，|AB|=3，點P是AB上一點，且|AP|=1，則點P的

軌跡方程是_________________________8.過原點的動橢圓的一個焦點為F(1，0)，長軸長為

4，則動橢圓中心的軌跡方程為_________________X2=-2y-2第十八頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期六返回9.已知A+B+C=0，則直線Ax+By+C=0(A、B、C∈R)被拋物線y2=2x所截線段中點M的軌跡方程是()(A)y2+y-x+1=0(B)y2-y-x+1=0(C)y2+y+x+1=0(D)y2-y-x-1=0B第十九頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期六能力·思維·方法【解題回顧】求動點軌跡時應(yīng)注意它的完備性與純粹性化簡過程破壞了方程的同解性，要注意補上遺漏的點或者要挖去多余的點.“軌跡”與“軌跡方程”是兩個不同的概念，前者要指出曲線的形狀、位置、大小等特征，后者指方程(包括范圍)1.設(shè)動直線l垂直于x軸，且與橢圓x2+2y2=4交于A、B兩點，P是l上滿足PA·PB=1的點，求點P的軌跡方程→→第二十頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期六【解題回顧】本題的軌跡方程是利用直接法求得，注意x的取值范圍的求法.利用數(shù)量積的定義式的變形可求得相關(guān)的角或三角函數(shù)值.2.已知兩點，M(-1，0)，N(1，0)，且點P使MP·MN，PM·PN,NM·NP成公差小于零的等差數(shù)列，(1)求點P的轉(zhuǎn)跡方程.(2)若點P坐標(biāo)為(x0,y0)，若θ為PM與PN的夾角，求tanθ.→→→→→→→→第二十一頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期六【解題分析】本例中動點M的幾何特征并不是直接給定的，而是通過條件的運用從隱蔽的狀態(tài)中被挖掘出來的3.一圓被兩直線x+2y=0，x-2y=0截得的弦長分別為8和4，求動圓圓心的軌跡方程第二十二頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期六【解題回顧】此題中動點P(x,y)是隨著動點Q(x1

,y1)的運動而運動的，而Q點在已知曲線C上，因此只要將x1，y1用x、y表示后代入曲線C方程中，即可得P點的軌跡方程.這種求軌跡的方法稱為相關(guān)點法(又稱代入法).

4.點Q為雙曲線x2-4y2=16上任意一點，定點A(0，4)，求內(nèi)分AQ所成比為12的點P的軌跡方程第二十三頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期六5.M是拋物線y2=x上一動點，以O(shè)M為一邊(O為原點)，作正方形MNPO，求動點P的軌跡方程.【解題回顧】再次體會相關(guān)點求軌跡方程的實質(zhì)，就是用所求動點P的坐標(biāo)表達式(即含有x、y的表達式)表示已知動點M的坐標(biāo)(x0,y0)，即得到x0=f(x,y)，y0=g(x,y)，再將x0,y0的表達式代入點M的方程F(x0,y0)=0中，即得所求.第二十四頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期六6.過橢圓x2/9+y2/4=1內(nèi)一定點(1，0)作弦，求諸弦中點的軌跡方程【解題回顧】解一求出后不必求y0，直接利用點P(x0,

y0)在直線y=k(x-1)上消去k.解二中把弦的兩端點坐標(biāo)分別代入曲線方程后相減，則弦的斜率可用中點坐標(biāo)來表示，這種方法在解有關(guān)弦中點問題時較為簡便，但是要注意這樣的弦的存在性第二十五頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期六【解題回顧】本題由題設(shè)OM⊥AB、OA⊥OB及作差法求直線AB的斜率，來尋找各參數(shù)間關(guān)系，利用代換及整體性將參數(shù)消去從而獲得M點的軌跡方程.7.過拋物線y2=4x的頂點O作相互垂直的弦OA，OB，求拋物線頂點O在AB上的射影M的軌跡方程.返回第二十六頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期六延伸·拓展【解題回顧】(1)本小題是由條件求出定值，由定值的取值情況，由定義法求得軌跡方程.(2)本小題先設(shè)點的坐標(biāo)，根據(jù)向量的關(guān)系，尋找各變量之間的聯(lián)系，從中分解主變量代入并利用輔助變量的范圍求得λ的范圍1.已知動點P與雙曲線x2/2-y2/3=1的兩個焦點F1、F2的距離之和為定值，且cos∠F1PF2的最小值為-1/9.(1)求動點P的軌跡方程；(2)若已知D(0，3)，M、N在動點P的軌跡上且DM=λDN,求實數(shù)λ的取值范圍.返回第二十七頁，共二十八頁，編輯于