第二節(jié)行列式的性質(zhì)一、行列式的性質(zhì)行列式DT

稱為行列式D

的轉(zhuǎn)置行列式.性質(zhì)1

行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.記a11a1na2n

an1

an2

anna12a

aD

=

21

22an1an2

a1n

a2n

anna21DT

=

a12

a22a11證明

記

D

=

det

aij

的轉(zhuǎn)置行列式bn1

bn2

bnnb1nb11

b12b22

b2n

,DT

=

b21即bij

=

a

ji

(i,

j

=

1,2,,

n),

按定義(

)p11

p2

2tTpnn1

p1

2

p2

npn-

1

bD

=a

a

.b

b

=

(-

1)t

a又因?yàn)樾辛惺紻可表示為D

=

(-

1)t

a

a

a

.p11

p2

2

pnnD

=

DT

.1b11

b12

b1nb

b

bD

=

21

22

2n

,故 證畢說明

行列式中行與列具有同等的地位,因此行列式的性質(zhì)凡是對行成立的對列也同樣成立.性質(zhì)2

互換行列式的兩行（列）,行列式變號.證明

設(shè)行列式bn1

bn2

bnn是由行列式D

=det

aij變換i,j

兩行得到的,于是(

)tbip

bjp

bnpi

j

n1

p11-

1

bD

=ta

ajp

aip

anpi

j

n11

p=

(-

1)(

)npn1

p1taip

ajp

a

,j

i-

1

a=其中1i

jn

為自然排列,t為排列p1

pi

pj

pn

的逆序數(shù).設(shè)排列p1

pi

p

j

pn

的逆序數(shù)為t1

,則有即當(dāng)k

?

i,

j

時,

bkp

=

akp

;

當(dāng)

k

=

i,

j

時,bip

=

a

jp

,

bjp

=

aip

,例如推論1

如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零.證明互換相同的兩行，有D

=-D,\

D

=

0.(-

1)t

=

-(-

1)t1

,故11npnjpi1

p1

ip

jt(-

1)

aD

=

-a

a

a

=-D.證畢8321

7

5

7

1

58

,

6

6

2

=

-

6

6

2

.5

8

5

31

7

5

1

7

56

6 2

=

-3

53

5

8

6

6性質(zhì)3

行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù)

k

，等于用數(shù)

k

乘此行列式.

an1

an2

ann

an1

an2

annai

2

aina11

a12

a1n

a11

a12

a1n

kai1

kai

2

kain

=

k

ai1

推論2

行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面．推論3

行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零．證明an1

an2

annkai1

kai

2

kainai1

ai

2

aina11

a12

a1nan1

an2

annai1

ai

2

ainai1

ai

2

aina11

a12

a1n=

k

=

0.性質(zhì)4

若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和.則D等于下列兩個行列式之和：

ann

a￠nia11

a12

(a1i

+

a1i

)

a1na

a

(a

+

a￠

)

aD

=

21

22

2i

2i

2n

an1

an2

(ani

+

an￠i

)

anna1na2na1ia2￠ian1a

D

=

21

a1i

a1na11a2i

a2n+a21ani

annan1a11例如性質(zhì)5

把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列(行)對應(yīng)的元素上去，行列式不變．

a1

ja2

janja1ia2ianijiaan121a1na2

janja1na2

janja1

ja2

janja11a21an1a11

(a1i+

ka1

j

)

(a2i+

ka2

j

)

(ani+

kanj

)r

+

kr·k例如例１1

-

1

2

-

3

1-

3

3

-

7

9

-

5D

=

2

0

4

-

2

13

-

5

7

-

14

64

-

4

10

-

10

2二、應(yīng)用舉例計(jì)算行列式常用方法：利用運(yùn)算ri

+

krj

把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值．·

3ˉ1

-

1

2

-

3

1D

=·

3ˉ解-

3

3

-

7

9

-

52

0

4

-

2

13

-

5

7

-

14

64

-

4

10

-

10

21

-

1

2

-

3

10

0

-

1

0

-

22

0

4

-

2

13

-

5

7

-

14

64

-

4

10

-

10

2r2

+

3r11-12-

3100-10-

20204-13-

57-1464-

410-10210

0

-

1

0

-

22

0

4

-

2

13

-

5

7

-

14

64

-

4

10

-

10

22

-

3-

1r2

+

3r11

·

-

2)ˉ·

-

3)ˉr2

-

2r1-

4)·ˉr

?

r1-12-310-21-530204-100-10-20022-2

2 4

-1-12-

3100-10-

20204-10-

21-

530022-

2ˉ

3

1r4

-

4r1r

-

3r1-12-310-21-53001-12000-100022-2-

4

3

r

+

r1-12-310-21-53001-1200-10-20022-2

3

2

-r

+

rˉ·

-

2)ˉ1-

12-

310-

21-

53001-

12000-

100000-

6-

5

4

r

+

4r=

-

-

2)-1)-

6)

=

12.1

-1

2

-3

10

-2

1

-5

3-

0

0

1

-1

20

0

0

-1

00

0

0

4

-6r5

-

2r3·4ˉ例2bnnb1nakkc1k

b11

cnk

bn1c11cn1a1ka110設(shè)D

=ak

1akka1ka11D1

=

det(aij

)

=

ak1bnnb1n

,b11

,

D2

=

det(bij

)

=

bn1D

=

D1

D2

.證明證明0pkk=

p11

pkk

;p11設(shè)為

D1

=

pk1對

D1

作運(yùn)算

ri

+

krj，把

D1

化為下三角形行列式對

D2

作運(yùn)算

ci

+

kc

j

,把

D2

化為下三角形行列式0pnk=

q11

qnn

.q11設(shè)為

D2

=

qn1,0qnnpkkc1k

q11

cnk

qn1c11cn1p11

pk

1D

=對

D

的前

k

行作運(yùn)算

ri

+

krj，再對后

n

列作運(yùn)算

ci

+

kc

j

,把

D

化為下三角形行列式故

D

=

p11

pkkq11

qnn

=

D1

D2

.計(jì)算4階行列式1111d

2c2b21a1b1c1da2d

2

+

1

dc2

+

1

cb2

+

1

ba2

+

1

aD

=已知abcd

=1)例3解11112dd

2c

cbb21a1b1c1daa2D

=11111dd

2cc21bb211a1b1c1daa21+d

1c

1b

1a

1d

2b21

1c2

c1

1d1

1a2

a1

1=

abcdd

1c

1b

1a

1d

21

1a2

a1

1b2

b1

1c2

c1

1db

+

(-

1)3=

0.-

a11a23a32

-

a12a21a33

-

a13a22a31,=

a11a22a33

+

a12a23a31

+

a13a21a3232

3331232221a

aa

aaaa11

a12

a13例如a22a33

-

a23a32=

a11a23a31

-

a21a33

)+

a12a21a32

-

a22a31

)+

a1333313332

33

31a13

aa21

a23a12

aa11

aa22

a23

-

a

a21

a23

+

a=

a三、余子式與代數(shù)余子式1

、引例

三階行列式可用三個相應(yīng)的二階行列式的線性組合表示：2、余子式與代數(shù)余子式的定義a

ij在

n

階行列式中，把元素 所在的第

i

行和第

j

列劃去后，留下來的

n

-

1

階行列式叫做元素a

ij

的余子式，記作(

)ijijM

，i

+

j記

A

=

-

1Mij

.叫做元素的代數(shù)余子式．ija例如24232221a31

a32

a33

a34a41

a42

a43

a44a

a

a

aa11

a12

a13

a14D

=41

42

44a

a

aa11

a12

a14M

23

=

a31

a32

a342323A=

(-

1)2+3

M23=

-M

.,34333231a41

a42

a43

a44a

a

aa21

a22

a23

a24a11

a12

a13

a14D

=

aa34

,a21

a23

a24a33a41

a43

a44M12

=

a311212A=

(-

1)1+2

M12=

-M

.a11

a12

a13a22a31

a32

a33M44

=

a21444444a23

,

A=

(-

1)4+4

M

=

M

.行列式的每個元素分別對應(yīng)著一個余子式和一個代數(shù)余子式.代數(shù)余子式的乘積，即D

=

aij

A．ij引理

一個

n

階行列式，如果其中第

i

行所有元素除

aij外都為零，那末這行列式等于aij

與它的四．行列式按行（列）展開定理證當(dāng)

aij

位于第一行第一列時,a110

0a

a

aD

=

21

22

2n

an1

an2

ann即有D

=

a11

M11

.11A

=

(-

1)1+1

M11=

M

,又從而11D

=

a11

A11

.在證一般情形,

此時

a110an1D

=把D的第i行依次與第i

-1行,第i

-2行,第1行對調(diào),得an1D

=

(-

1)i

-1

ai

-1,1a1

j

a1n

aaiijj

0

anj

ann0

aaiijj

0

ai

-1,

j

ai

-1,n

anj

ann對調(diào),再把D的第j列依次與第j

-1列,第j

-2列,第1列得anj

0

0

ai

-1,

j-1

ai

-1,n

an,

j-1

ann(-

1)j-1

ai

-1,

jD

=

(-

1)i

-1ijaaijaaiijj00=

(-

1)i

+

j-2

ai

-1,

jai

-1,

j-1ai

-1,nanjan,

j-1annaaiijj00=

(-

1)i

+

j

ai

-1,

jai

-1,

j-1ai

-1,nanjan,

j-1ann

a1n

0anna110

an1D

=中的余子式Mij

.余子式仍然是aij

在aaiijj00元素aij

在行列式ai

-1,jai

-1,j

-1ai

-1,n

中的anjan

,

j

-1anna1

jaaiijjanj故得annanj

a

aan,

j-1i-1,ni-1,

j-1i-1,

jD

=

(-1)i+

j

aaij

Mij

.i+

j=

(-1)于是有ai

-1,n

=

aij

Mij

,aaiijj

0

0

ai

-1,

j

ai

-1,

j-1

anj

an,

j-1

ann

0

0

aaiijj定理

行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即D

=ai1Ai1

+ai2

Ai2

++ain

Ain,

i

=1,2,,n證anna1na11

a12

0

++

0

+

ainD

=

ai1

+

0

++

0 0

+

ai

2

++

0

an1

an2D=a1j

A1j

+a2j

A2j

++anjAnj,

j

=1,2,,na11

a12=

ai1ann

ann

an1

an2ai

2a1na1n

a11

a12

0

0

+

0

0

annainan1

an2a1nan1

an2a11

a12

++

0

0

=

ai1

Ai1

+

ai

2

Ai

2

+

+

ain

Aini

=

1,2,,

n)例41

3

-

42

0

1

-

11

-

5

3

-

33

1

-

1

2D

=

-

5-

5

-

5

3

05

1

-

1

1-

11

1

3

-

10

0

1

0c1

+

-

2)c3c4

+

c3511-

11

1

-

1-

5-

50=

(-1)3+3511-

620-

5-

502-

5

-

5=

(-1)1+3

-

6=

40.r2

+

r1推論

行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即a

j

1

A

j

1a1

na

in

,a

jna

nna11a

i

1+

+

a

jn

A

jn

=

a

j

1an1證明

把行列式

D

=

det(aij

)

按第

j

行展開，有=

0, i

?

j

.=

0,

i

?

j.ai

1

Aj

1

+

ai

2

Aj

2

+

+

ain

Ajna1i

A1

j

+

a2i

A2

j

+

+

ani

Anja

i