定理及其證明費馬定理：設在的某鄰域內有定義，而且在這個領域上有（其中為局部最大值）或者（其中為局部最小值），當在處可導時，則有．證明：因為假設存在，由定義可得左導數和右導數均存在且滿足：當時，，所以當時，，所以所以以上是對于這種情況進行的證明，同理也可證明這種情形羅爾定理：設在上連續(xù)，在上可導，若，則必有一點使得．證明：分兩種情況，若為常值，結論顯然成立．若不為常值，根據最大、最小值定理（有界閉區(qū)間上的連續(xù)函數具有最大值和最小值）可知，必在內某一點處達到最大值或最小值，再有費馬定理可得，．拉格朗日中值定理：設在上連續(xù)，在上可導，則一定有一點使．證明：分兩種情況，若恒為常數，則在上處處成立，則定理結論明顯成立．若在不恒為常數時，由于在上連續(xù)，由閉區(qū)間連續(xù)函數的性質，必在上達到其最大值和最小值，有一種特殊情況時，定理成立，這就是上面所證明過的羅爾定理．考慮一般情形，．做輔助函數．由連續(xù)函數的性質及導數運算法則，可得在上連續(xù)，在上可導，且，這就是說滿足剛剛的特殊情況，因此在內至少有一點，使得．即．定理得證．柯西中值定理：若和在上連續(xù)，在上可導，且，則一定存在使．證明：首先能肯定，因為如果，那么由拉格朗日中值定理，在內存在零點，因此與假設矛盾．還是做輔助函數．由，再由拉格朗日中值定理，可以證明定理成立．泰勒中值定理：若在點的某個鄰域內有直到階連續(xù)導數，那么在此鄰域內有．其中．是介于與之間的某個值．證明：做輔助函數．由假設容易看出在或上連續(xù)，且，，化簡后有．在引進一個輔助函數．根據羅爾定理，至少存在一個，使至少存在一個根.證明不等式不等式是數學中的重要內容和工具。在微分學中,微分中值定理在證明不等式中起著很大的作用.(1)拉格朗日定理適用于已知函數導數的條件，證明涉及函數（值）的不等式(2)泰勒公式適用于已知函數的高階導數的條件，證明涉及函數（值）或低階導函數（值）的不等式.例2求證分析：根據不等式兩邊的代數式選取不同的,應用拉格朗日中值定理得出一個等式后,對這個等式根據取值范圍的不同進行討論,得到不等式.證明：當時，顯然設對在以1與為端點的閉區(qū)間上用拉格朗日中值定理，有介于1與之間的，使,即當時，，，但此時注意與均為負值，所以仍有，即對不等式恒成立.當時，，，所以有.注：學會把隱藏的條件找出來，即，然后就可以利用定理，這個結果以后可以作為結論用.例3證明當時，證法一分析：要證成立，只要證成立，只要證成立，只要證成立，只要證成立，證明：設由在上連續(xù)，在內可導,且，知在上嚴格遞減，由，即成立，知成立，即成立，所以成立.證法二證明：要證，只要證成立(1)設，由在上連續(xù)，在內可導,且于是，即故原式成立.注：證明某些不等式時，可轉化為區(qū)間兩端點函數值大小的比較或化為右邊為0的不等式，轉化為區(qū)間內任意一點函數值與端點函數值或與趨于端點極限值的比較，然后利用單調性證明.能用單調性定理證明的不等式，都可用拉格朗日中值定理證明，因為單調性定理就是拉格朗日中值定理證明的.相同的一道題可以有多種解法.討論函數的單調性,并利用函數的單調性求極值利用拉格朗日中值定理能夠很方便的判斷出函數的單調性,其方法是:若函數在上連續(xù),在內可導,則有:如果在內,則在上單調增加;如果在內,則在上單調減少.另外,在內除有個別點外,仍有(或),則在上仍然是單調增加(或減少)的,即連續(xù)函數在個別點處無導數并不影響函數的單調性.再利用函數的單調性及函數圖像上峰值點與各值點的性質,便可以很方便地求出函數的極值。其方法為:確定函數的定義域,并求出,然后求出定義域內的所有駐點,并找出連續(xù)但不存在的所有點,討論所有駐點和不可導點左右兩側附近的符號變化情況,從而確定函數的極值點,并求出相應的極大值或極小值.例4求證時,證明：令因為在上連續(xù),在內可導,且=當時,,所以當時,是單調增加的.故當時,,即,從而例5求的極值.解：函數的定義域為.而,令,即,解得駐點,且該函數在定義域內沒有導數不存在的點.而當時,;當時,.所以,是函數的極小值點,其極小值為.利用函數的單調性可證明某些不等式注：在求極值時，若極值的懷疑有導數不存在的點時，只能用列表法.求極限對于有些求極限的題，如果使用洛必達法則,則求導數的計算量很大.微分中值定理為求這樣一些較難的極限提供了一種簡單而有效的方法.其方法是對極限題中的某些部分構造輔助函數,使用微分中值定理,然后求出極.例6求,其中.解：對應用拉格朗日中值定理,有===其中泰勒公式泰勒公式事實上就是含有高階導數的微分中值定理.它不僅在理論分析中具有很重要的作用,下面的例子說明它的應用.例7求在處的泰勒公式.解由于==，因此+求近似值微分中值定理為我們提供了一種計算近似值的方法,只要構造出一個適當的函數,應用微分中值定理就可以得出其近似值.例8求的近似值.解：是函數在處的值.令,即.由微分中值定理得=.用來證明函數恒為常數導數是研究函數性態(tài)的重要工具,但用導數研究函數性態(tài)的著眼點在局部范圍.而在整體上或比較大的范圍運用導數這一工具來研究函數性態(tài),主要工具還是微分中值定理,它是應用導數研究整體性問題的重要工具.證明函數恒為常數這是函數的整體性質,在這個應用中微分中值定理很實用.例9設在上連續(xù),,且在內恒有.其中為小于1的常數,試證:為常數函數.證明：,不妨設,則,而,所以有=,其中.同理,,其中所以,其中.又在上連續(xù),從而有界.故.即(當時同樣成立),從而,，.故在上為常數函數.[1]歐陽光中,朱學炎，陳傳璋.數學分析[M].上海:高等教育出版社.2006[2]侯謙民.中值定理的推廣[J].武漢職業(yè)技術學院學報.2003(02)[3]胡付高.微分中值定理的推廣及其應用[J].孝感學院學報.2000(04)[4]張弘.HYPERLINK"/KCMS/detail/detail.aspx?filename=CQJT2004S10