/反比例函數(shù)知識點歸納和典型例題知識結(jié)構(gòu)〔二學習目標1．理解并掌握反比例函數(shù)的概念.能根據(jù)實際問題中的條件確定反比例函數(shù)的解析式〔k為常數(shù)..能判斷一個給定函數(shù)是否為反比例函數(shù)．2．能描點畫出反比例函數(shù)的圖象.會用代定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式.進一步理解函數(shù)的三種表示方法.即列表法、解析式法和圖象法的各自特點．3．能根據(jù)圖象數(shù)形結(jié)合地分析并掌握反比例函數(shù)〔k為常數(shù).的函數(shù)關系和性質(zhì).能利用這些函數(shù)性質(zhì)分析和解決一些簡單的實際問題．4．對于實際問題.能"找出常量和變量.建立并表示函數(shù)模型.討論函數(shù)模型.解決實際問題"的過程.體會函數(shù)是刻畫現(xiàn)實世界中變化規(guī)律的重要數(shù)學模型．5．進一步理解常量與變量的辨證關系和反映在函數(shù)概念中的運動變化觀點.進一步認識數(shù)形結(jié)合的思想方法．〔三重點難點1．重點是反比例函數(shù)的概念的理解和掌握.反比例函數(shù)的圖象及其性質(zhì)的理解、掌握和運用．2．難點是反比例函數(shù)及其圖象的性質(zhì)的理解和掌握．二、基礎知識〔一反比例函數(shù)的概念1．〔可以寫成〔的形式.注意自變量x的指數(shù)為.在解決有關自變量指數(shù)問題時應特別注意系數(shù)這一限制條件；2．〔也可以寫成xy=k的形式.用它可以迅速地求出反比例函數(shù)解析式中的k.從而得到反比例函數(shù)的解析式；3．反比例函數(shù)的自變量.故函數(shù)圖象與x軸、y軸無交點．〔二反比例函數(shù)的圖象在用描點法畫反比例函數(shù)的圖象時.應注意自變量x的取值不能為0.且x應對稱取點〔關于原點對稱．〔三反比例函數(shù)及其圖象的性質(zhì)1．函數(shù)解析式：〔2．自變量的取值范圍：3．圖象：〔1圖象的形狀：雙曲線．越大.圖象的彎曲度越小.曲線越平直．越小.圖象的彎曲度越大．〔2圖象的位置和性質(zhì)：與坐標軸沒有交點.稱兩條坐標軸是雙曲線的漸近線．當時.圖象的兩支分別位于一、三象限；在每個象限內(nèi).y隨x的增大而減??；當時.圖象的兩支分別位于二、四象限；在每個象限內(nèi).y隨x的增大而增大．〔3對稱性：圖象關于原點對稱.即若〔a.b在雙曲線的一支上.則〔.在雙曲線的另一支上．圖象關于直線對稱.即若〔a.b在雙曲線的一支上.則〔.和〔.在雙曲線的另一支上．4．k的幾何意義如圖1.設點P〔a.b是雙曲線上任意一點.作PA⊥x軸于A點.PB⊥y軸于B點.則矩形PBOA的面積是〔三角形PAO和三角形PBO的面積都是．如圖2.由雙曲線的對稱性可知.P關于原點的對稱點Q也在雙曲線上.作QC⊥PA的延長線于C.則有三角形PQC的面積為．圖1圖25．說明：〔1雙曲線的兩個分支是斷開的.研究反比例函數(shù)的增減性時.要將兩個分支分別討論.不能一概而論．〔2直線與雙曲線的關系：當時.兩圖象沒有交點；當時.兩圖象必有兩個交點.且這兩個交點關于原點成中心對稱．〔3反比例函數(shù)與一次函數(shù)的聯(lián)系．〔四實際問題與反比例函數(shù)1．求函數(shù)解析式的方法：〔1待定系數(shù)法；〔2根據(jù)實際意義列函數(shù)解析式．2．注意學科間知識的綜合.但重點放在對數(shù)學知識的研究上．〔五充分利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題．三、例題分析1☆．反比例函數(shù)的概念〔1下列函數(shù)中.y是x的反比例函數(shù)的是〔．A．y=3xB．C．3xy=1D．〔2下列函數(shù)中.y是x的反比例函數(shù)的是〔．A．B．C．D．答案：〔1C；〔2A．2．圖象和性質(zhì)〔1已知函數(shù)是反比例函數(shù).①若它的圖象在第二、四象限內(nèi).那么k=___________．②若y隨x的增大而減小.那么k=___________．〔2已知一次函數(shù)y=ax+b的圖象經(jīng)過第一、二、四象限.則函數(shù)的圖象位于第________象限．〔3若反比例函數(shù)經(jīng)過點〔.2.則一次函數(shù)的圖象一定不經(jīng)過第_____象限．〔4已知a·b＜0.點P〔a.b在反比例函數(shù)的圖象上.則直線不經(jīng)過的象限是〔．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限〔5若P〔2.2和Q〔m.是反比例函數(shù)圖象上的兩點.則一次函數(shù)y=kx+m的圖象經(jīng)過〔．A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D(zhuǎn)．第二、三、四象限〔6已知函數(shù)和〔k≠0.它們在同一坐標系內(nèi)的圖象大致是〔．A．B．C．D．答案：〔1①②1；〔2一、三；〔3四；〔4C；〔5C；〔6B．3．函數(shù)的增減性〔1在反比例函數(shù)的圖象上有兩點..且.則的值為〔．A．正數(shù)B．負數(shù)C．非正數(shù)D．非負數(shù)〔2在函數(shù)〔a為常數(shù)的圖象上有三個點...則函數(shù)值、、的大小關系是〔．A．＜＜B．＜＜C．＜＜D．＜＜〔3下列四個函數(shù)中：①；②；③；④．y隨x的增大而減小的函數(shù)有〔．A．0個B．1個C．2個D．3個〔4已知反比例函數(shù)的圖象與直線y=2x和y=x+1的圖象過同一點.則當x＞0時.這個反比例函數(shù)的函數(shù)值y隨x的增大而〔填"增大"或"減小"．答案：〔1A；〔2D；〔3B．注意.〔3中只有②是符合題意的.而③是在"每一個象限內(nèi)"y隨x的增大而減?。?．解析式的確定〔1若與成反比例.與成正比例.則y是z的〔．A．正比例函數(shù)B．反比例函數(shù)C．一次函數(shù)D．不能確定〔2若正比例函數(shù)y=2x與反比例函數(shù)的圖象有一個交點為〔2.m.則m=_____.k=________.它們的另一個交點為________．〔3已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點.反比例函數(shù)的圖象在第二、四象限.求的值．〔4已知一次函數(shù)y=x+m與反比例函數(shù)〔的圖象在第一象限內(nèi)的交點為P〔x0.3．①求x0的值；②求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式．〔5☆為了預防"非典".某學校對教室采用藥薰消毒法進行消毒．已知藥物燃燒時.室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y〔毫克與時間x〔分鐘成正比例.藥物燃燒完后.y與x成反比例〔如圖所示.現(xiàn)測得藥物8分鐘燃畢.此時室內(nèi)空氣中每立方米的含藥量為6毫克．請根據(jù)題中所提供的信息解答下列問題：①藥物燃燒時y關于x的函數(shù)關系式為___________.自變量x的取值范圍是_______________；藥物燃燒后y關于x的函數(shù)關系式為_________________．②研究表明.當空氣中每立方米的含藥量低于1.6毫克時學生方可進教室.那么從消毒開始.至少需要經(jīng)過_______分鐘后.學生才能回到教室；③研究表明.當空氣中每立方米的含藥量不低于3毫克且持續(xù)時間不低于10分鐘時.才能有效殺滅空氣中的病菌.那么此次消毒是否有效？為什么？答案：〔1B；〔24.8.〔.；〔3依題意.且.解得．〔4①依題意.解得②一次函數(shù)解析式為.反比例函數(shù)解析式為．〔5①..；②30；③消毒時間為〔分鐘.所以消毒有效．5．面積計算〔1☆如圖.在函數(shù)的圖象上有三個點A、B、C.過這三個點分別向x軸、y軸作垂線.過每一點所作的兩條垂線段與x軸、y軸圍成的矩形的面積分別為、、.則〔．A．B．C．D．第〔1題圖第〔2題圖〔2☆如圖.A、B是函數(shù)的圖象上關于原點O對稱的任意兩點.AC//y軸.BC//x軸.△ABC的面積S.則〔．A．S=1B．1＜S＜2C．S=2D．S＞2〔3如圖.Rt△AOB的頂點A在雙曲線上.且S△AOB=3.求m的值．第〔3題圖第〔4題圖〔4☆已知函數(shù)的圖象和兩條直線y=x.y=2x在第一象限內(nèi)分別相交于P1和P2兩點.過P1分別作x軸、y軸的垂線P1Q1.P1R1.垂足分別為Q1.R1.過P2分別作x軸、y軸的垂線P2Q2.P2R2.垂足分別為Q2.R2.求矩形OQ1P1R1和OQ2P2R2的周長.并比較它們的大小．〔5如圖.正比例函數(shù)y=kx〔k＞0和反比例函數(shù)的圖象相交于A、C兩點.過A作x軸垂線交x軸于B.連接BC.若△ABC面積為S.則S=_________．第〔5題圖第〔6題圖〔6如圖在Rt△ABO中.頂點A是雙曲線與直線在第四象限的交點.AB⊥x軸于B且S△ABO=．①求這兩個函數(shù)的解析式；②求直線與雙曲線的兩個交點A、C的坐標和△AOC的面積．〔7如圖.已知正方形OABC的面積為9.點O為坐標原點.點A、C分別在x軸、y軸上.點B在函數(shù)〔k＞0.x＞0的圖象上.點P〔m.n是函數(shù)〔k＞0.x＞0的圖象上任意一點.過P分別作x軸、y軸的垂線.垂足為E、F.設矩形OEPF在正方形OABC以外的部分的面積為S．①求B點坐標和k的值；②當時.求點P的坐標；③寫出S關于m的函數(shù)關系式．答案：〔1D；〔2C；〔36；〔4..矩形OQ1P1R1的周長為8.OQ2P2R2的周長為.前者大．〔51．〔6①雙曲線為.直線為；②直線與兩軸的交點分別為〔0.和〔.0.且A〔1.和C〔.1.因此面積為4．〔7①B〔3.3.；②時.E〔6.0.；③．6．綜合應用〔1若函數(shù)y=k1x〔k1≠0和函數(shù)〔k2≠0在同一坐標系內(nèi)的圖象沒有公共點.則k1和k2〔．A．互為倒數(shù)B．符號相同C．絕對值相等D．符號相反〔2如圖.一次函數(shù)的圖象與反比例數(shù)的圖象交于A、B兩點：A〔.1.B〔1.n．①求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；②根據(jù)圖象寫出使一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值的x的取值范圍．〔3如圖所示.已知一次函數(shù)〔k≠0的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點.且與反比例函數(shù)〔m≠0的圖象在第一象限交于C點.CD垂直于x軸.垂足為D.若OA=OB=OD=1．①求點A、B、D的坐標；②求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式．〔4☆如圖.一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于第一象限C、D兩點.坐標軸交于A、B兩點.連結(jié)OC.OD〔O是坐標原點．①利用圖中條件.求反比例函數(shù)的解析式和m的值；②雙曲線上是否存在一點P.使得△POC和△POD的面積