專題1.3同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角（知識(shí)講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解“三線八角”模型特征；2．掌握同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的概念，并能從圖形中識(shí)別它們．【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的概念1.“三線八角”模型如圖，直線AB、CD與直線EF相交(或者說(shuō)兩條直線AB、CD被第三條直線EF所截)，構(gòu)成八個(gè)角，簡(jiǎn)稱為“三線八角”，如圖1.圖1圖1特別說(shuō)明：：⑴兩條直線AB,CD與同一條直線EF相交．⑵“三線八角”中的每個(gè)角是由截線與一條被截線相交而成．2.同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的定義在“三線八角”中，如上圖1，（1）同位角：像∠1與∠5，這兩個(gè)角分別在直線AB、CD的同一方，并且都在直線EF的同側(cè)，具有這種位置關(guān)系的一對(duì)角叫做同位角.（2）內(nèi)錯(cuò)角：像∠3與∠5，這兩個(gè)角都在直線AB、CD之間，并且在直線EF的兩側(cè)，像這樣的一對(duì)角叫做內(nèi)錯(cuò)角.（3）同旁內(nèi)角：像∠3和∠6都在直線AB、CD之間，并且在直線EF的同一旁，像這樣的一對(duì)角叫做同旁內(nèi)角.特別說(shuō)明：：(1)“三線八角”是指上面四個(gè)角中的一個(gè)角與下面四個(gè)角中的一個(gè)角之間的關(guān)系，顯然是沒有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)角.(2)“三線八角”中共有4對(duì)同位角，2對(duì)內(nèi)錯(cuò)角，2對(duì)同旁內(nèi)角．要點(diǎn)二、同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角位置特征及形狀特征特別說(shuō)明：：巧妙識(shí)別三線八角的兩種方法：(1)巧記口訣來(lái)識(shí)別：一看三線，二找截線，三查位置來(lái)分辨.(2)借助方位來(lái)識(shí)別根據(jù)這三種角的位置關(guān)系，我們可以在圖形中標(biāo)出方位，判斷時(shí)依方位來(lái)識(shí)別，如圖2．【典型例題】類型一、“三線八角”模型1.如圖，指出圖中直線AC，BC被直線AB所截的同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角．【答案】∠1與∠2，∠4與∠DBC是同位角；∠1與∠3，∠4與∠5是內(nèi)錯(cuò)角；∠3與∠4是同旁內(nèi)角，∠1與∠5是同旁內(nèi)角【分析】根據(jù)同旁內(nèi)角，內(nèi)錯(cuò)角和同位角的定義求解即可得到答案.解：∠1

與∠2，∠4

與∠DBC

是同位角；∠1

與∠3，∠4

與∠5

是內(nèi)錯(cuò)角；∠3

與∠4

是同旁內(nèi)角，∠1

與∠5

是同旁內(nèi)角.【點(diǎn)撥】本題主要考查了同旁內(nèi)角，同位角和內(nèi)錯(cuò)角的定義，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握同旁內(nèi)角，同位角和內(nèi)錯(cuò)角的定義.舉一反三：【變式】（1）圖1中，∠1、∠2由直線被直線所截而成．（2）圖2中，AB為截線，∠D是否屬于以AB為截線的三線八角圖形中的角？【答案】(1)EF，CD；AB；（2）不是．【分析】（1）根據(jù)三線八角的定義求解即可；（2）根據(jù)三線八角的定義求解即可；解：（1）∠1、∠2兩角共同的邊所在的直線為截線，而另一邊所在的直線為被截線．所以圖1中，∠1、∠2由直線EF，CD被直線AB所截而成．（2）因?yàn)椤螪的兩邊都不在直線AB上，所以∠D不屬于以AB為截線的三線八角圖形中的角．【點(diǎn)撥】此題主要考查了“三線八角”，熟練掌握：“三線八角”的定義是解答此題的關(guān)鍵．類型二、同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的辨別2.根據(jù)圖形填空：（1）若直線被直線所截，則和_____是同位角；（2）若直線被直線所截，則和_____是內(nèi)錯(cuò)角；（3）和是直線被直線______所截構(gòu)成的內(nèi)錯(cuò)角；（4）和是直線，______被直線所截構(gòu)成的_____角．【答案】（1）；（2）；（3）；（4），同位【分析】（1）（4）根據(jù)圖形及同位角的概念可直接進(jìn)行求解；（2）根據(jù)圖形及內(nèi)錯(cuò)角的概念可直接進(jìn)行求解；（3）根據(jù)圖形及內(nèi)錯(cuò)角的概念可直接進(jìn)行求解；解：由圖可得：（1）若直線被直線所截，則和是同位角；故答案為；（2）若直線被直線所截，則和是內(nèi)錯(cuò)角；故答案為；（3）和是直線被直線所截構(gòu)成的內(nèi)錯(cuò)角；故答案為；（4）和是直線，被直線所截構(gòu)成的同位角；故答案為，同位．【點(diǎn)撥】本題主要考查內(nèi)錯(cuò)角及同位角的概念，熟練掌握同位角及內(nèi)錯(cuò)角的概念是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】如圖∠1、∠2、∠3、∠4、∠5中，哪些是同位角？哪些是內(nèi)錯(cuò)角？哪些是同旁內(nèi)角？【答案】同位角有∠1和∠5；∠4和∠3；內(nèi)錯(cuò)角有∠2和∠3；∠1和∠4；同旁內(nèi)角有∠3和∠5；∠4和∠5；∠4和∠2．【分析】同位角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個(gè)角都在兩直線的同側(cè)，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對(duì)角叫做同位角．內(nèi)錯(cuò)角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個(gè)角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的兩旁，則這樣一對(duì)角叫做內(nèi)錯(cuò)角．同旁內(nèi)角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個(gè)角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對(duì)角叫做同旁內(nèi)角．依此即可得出答案．解：∵∠1和∠5在截線AC同側(cè)，在被截直線BE，CE同方向所成的角；∠4和∠3，在截線CE的上方，被截直線DB、EB的左側(cè)，∴同位角有∠1和∠5；∠4和∠3，共2對(duì)；∵∠2和∠3在截線BD兩側(cè)，被截直線AC與CE內(nèi)部；∠1和∠4在截線BE兩側(cè)，被截直線AC與CE內(nèi)部，∴內(nèi)錯(cuò)角有∠2和∠3；∠1和∠4,共2對(duì)；∵∠3和∠5在截線CD同側(cè)，被截直線CB與DB內(nèi)部；∠4和∠5在截線CE同側(cè)，被截直線CB與EB的內(nèi)部；∠4和∠2在截線BE同側(cè)，被截直線DB與DE的內(nèi)部，∴同旁內(nèi)角有∠3和∠5；∠4和∠5；∠4和∠2，共3對(duì).【點(diǎn)撥】本題考查了同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角，三線八角中的某兩個(gè)角是不是同位角、內(nèi)錯(cuò)角或同旁內(nèi)角，完全由那兩個(gè)角在圖形中的相對(duì)位置決定．在復(fù)雜的圖形中判別三類角時(shí)，應(yīng)從角的兩邊入手，具有上述關(guān)系的角必有兩邊在同一直線上，此直線即為截線，而另外不在同一直線上的兩邊，它們所在的直線即為被截的線．同位角的邊構(gòu)成“F“形，內(nèi)錯(cuò)角的邊構(gòu)成“Z“形，同旁內(nèi)角的邊構(gòu)成“U”形．【變式2】如圖，找出標(biāo)注角中的同位角、內(nèi)錯(cuò)角和同旁內(nèi)角．【答案】同位角有∠4與∠8、∠4與∠7、∠2與∠3；內(nèi)錯(cuò)角有∠1與∠3、∠7與∠6、∠6與∠8；同旁內(nèi)角有∠1與∠4、∠3與∠8，∠1與∠7．【分析】根據(jù)同位角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中,若兩個(gè)角都在兩直線的同側(cè)，并且在第三條直線(截線)的同旁，則這樣一對(duì)角叫做同位角；

內(nèi)錯(cuò)角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個(gè)角都在兩直線的之間,并且在第三條直線(截線)的兩旁,則這樣一對(duì)角叫做內(nèi)錯(cuò)角；

同旁內(nèi)角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中,若兩個(gè)角都在兩直線的之間,并且在第三條直線(截線)的同旁,則這樣一對(duì)角叫做同旁內(nèi)角,結(jié)合圖形進(jìn)行分析即可．解：同位角有∠4與∠8、∠4與∠7、∠2與∠3；內(nèi)錯(cuò)角有∠1與∠3、∠7與∠6、∠6與∠8；同旁內(nèi)角有∠1與∠4、∠3與∠8，∠1與∠7．【點(diǎn)撥】本題主要考查了三線八角,解題關(guān)鍵是掌握同位角的邊構(gòu)成“”形,內(nèi)錯(cuò)角的邊構(gòu)成“”形,同旁內(nèi)角的邊構(gòu)成“”形．【變式3】分別指出下列圖中的同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角．【答案】圖1中同位角有：∠1與∠5，∠2與∠6，∠3與∠7，∠4與∠8；內(nèi)錯(cuò)角有：∠3與∠6，∠4與∠5；同旁內(nèi)角有：∠3與∠5，∠4與∠6.；圖2中同位角有：∠1與∠3，∠2與∠4；同旁內(nèi)角有：∠3與∠2．【分析】根據(jù)兩直線被第三條直線所截，兩個(gè)角都在截線的同旁，又分別處在被截的兩條直線同側(cè)的位置的角是同位角，可得同位角；兩個(gè)角在截線的兩側(cè)，被截兩直線的中間的角是內(nèi)錯(cuò)角，可得內(nèi)錯(cuò)角；兩個(gè)角在截線的同側(cè)，被截兩直線的中間的角是同旁內(nèi)角，可得同旁內(nèi)角．解：如圖1，

同位角有：∠1與∠5，∠2與∠6，∠3與∠7，∠4與∠8；

內(nèi)錯(cuò)角有：∠3與∠6，∠4與∠5；

同旁內(nèi)角有：∠3與∠5，∠4與∠6．

如圖2，

同位角有：∠1與∠3，∠2與∠4；

同旁內(nèi)角有：∠3與∠2．【點(diǎn)撥】本題考查了同位角、內(nèi)錯(cuò)角，同旁內(nèi)角，解答此類題確定三線八角是關(guān)鍵，可直接從截線入手．對(duì)平面幾何中概念的理解，一定要緊扣概念中的關(guān)鍵詞語(yǔ)，要做到對(duì)它們正確理解，對(duì)不同的幾何語(yǔ)言的表達(dá)要注意理解它們所包含的意義．類型三、同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角大小之間的關(guān)系5.兩條直線被第三條直線所截，和是同旁內(nèi)角，和是內(nèi)錯(cuò)角．（1）根據(jù)上述條件，畫出符合題意的示意圖；（2）若、，求，的度數(shù)【答案】（1）答案見解析；（2）∠1=162°，∠2=54°．【分析】（1）根據(jù)同旁內(nèi)角兩個(gè)角都在截線的同旁，又分別處在被截的兩條直線的中間位置的角，內(nèi)錯(cuò)角兩個(gè)角都在截線的兩側(cè)，又分別處在被截的兩條直線的中間位置的角，可得答案；（2）根據(jù)∠1與∠3互補(bǔ)，可得角的度數(shù)．解：（1）如圖，下圖為所求作．（2），，，又，，，，．【點(diǎn)撥】本題考查了內(nèi)錯(cuò)角，同旁內(nèi)角，利用了鄰補(bǔ)角的定義，列出方程，求出∠3的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式】復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題我們常會(huì)把它分解為基本問題來(lái)研究，化繁為簡(jiǎn)，化整為零這是一種常見的數(shù)學(xué)解題思想．（1）如圖1，直線，被直線所截，在這個(gè)基本圖形中，形成了______對(duì)同旁內(nèi)角．（2）如圖2，平面內(nèi)三條直線，，兩兩相交，交點(diǎn)分別為、、，圖中一共有______對(duì)同旁內(nèi)角．（3）平面內(nèi)四條直線兩兩相交，最多可以形成______對(duì)同旁內(nèi)角．（4）平面內(nèi)條直線兩兩相交，最多可以形成______對(duì)同旁內(nèi)角．【答案】（1）2；（2）6；（3）24；（4）【分析】（1）根據(jù)同旁內(nèi)角的概念找出所有的同旁內(nèi)角，即可得出答案；（2）根據(jù)同旁內(nèi)角的概念找出所有的同旁內(nèi)角，即可得出答案；（3）畫出四條直線兩兩相交的圖形，然后根據(jù)同旁內(nèi)角的概念找出所有的同旁內(nèi)角，即可得出答案；（4）根據(jù)同旁內(nèi)角的概念結(jié)合前