4.2指數(shù)函數(shù)第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)4.2.1指數(shù)函數(shù)的概念學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.通過(guò)實(shí)際問(wèn)題提煉出指數(shù)函數(shù)的概念，達(dá)到數(shù)學(xué)抽象和直觀想象核心素養(yǎng)學(xué)業(yè)質(zhì)量水平一的層次.2.理解指數(shù)函數(shù)中底數(shù)的取值范圍，達(dá)到邏輯推理核心素養(yǎng)學(xué)業(yè)質(zhì)量水平一的要求.教學(xué)重點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)的概念及其應(yīng)用.教學(xué)難點(diǎn)：將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型.隨著中國(guó)經(jīng)濟(jì)高速增長(zhǎng)，人民生活水平不斷提高，旅游成了越來(lái)越多家庭的重要生活方式，由于旅游人數(shù)不斷增加，A，B兩地景區(qū)自2001年起采取了不同的應(yīng)對(duì)措施，A地提高了景區(qū)門(mén)票價(jià)格，而B(niǎo)地則取消了景區(qū)門(mén)票，表4.2-1給出了A，B兩地景區(qū)2001年至2015年的游客人次以及逐年增加量.思考比較兩地景區(qū)游客人次的變化情況，你發(fā)現(xiàn)了怎樣的變化規(guī)律?為了有利于觀察規(guī)律，根據(jù)表4.2-1.分別畫(huà)出AB兩地景區(qū)采取不同措施后的15年游客人次的圖象（圖4.2-1和圖4.2-2）.觀察圖象和表格，可以發(fā)現(xiàn)，A地景區(qū)的游客人次近似于直線上升（線性增長(zhǎng)），年增加量大致相等（約為10萬(wàn)次）；B地景區(qū)的游客人次則是非線性增長(zhǎng)，年增加最越來(lái)越大，但從圖象和年增加量都難以看出變化規(guī)律.我們知道，年增加量是對(duì)相鄰兩年的游客人次做減法得到的，能否通過(guò)對(duì)B地景區(qū)每年的游客人次做其他運(yùn)算發(fā)現(xiàn)游客人次的變化規(guī)律呢？請(qǐng)你試一試.從2002年起，將B地景區(qū)每年的游客人次除以上一年的游客人次，可以得到2002年游客人次÷2001年游客人次=309÷278≈1.11，2003年游客人次÷2002年游客人次=341÷309≈1.11，…………2015年游客人次÷

2011年游客人次=1244÷1118≈1.11.結(jié)果表明，B地景區(qū)的游客人次的年增長(zhǎng)率都約為1.11-1=0.11，是一個(gè)常數(shù).像這樣，增長(zhǎng)率為常數(shù)的變化方式，我們稱為指數(shù)增長(zhǎng).因此，B地景區(qū)的游客人次近似于指數(shù)增長(zhǎng).顯然，從2001年開(kāi)始，B地景區(qū)游客人次的變化規(guī)律可以近似描述為：

1年后，游客人次是2001年的1.l11倍；2年后，游客人次是2001年的1.112倍；3年后，游客人次是2001年的1.113倍；x年后，游客人次是2001年的1.11x倍。如果設(shè)經(jīng)過(guò)x年后的游客人次為2001年的y倍，那么y=1.11x（x∈[0，+∞））.這是一個(gè)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量.思考當(dāng)生物死亡后，它機(jī)體內(nèi)原有的碳14含量會(huì)按確定的比率衰減（稱為衰減率），大約每經(jīng)過(guò)5730年衰減為原來(lái)的一半，這個(gè)時(shí)間稱為“半衰期”.按照上述變化規(guī)律，生物體內(nèi)碳14含量與死亡年數(shù)之間有怎樣的關(guān)系？設(shè)死亡生物體內(nèi)碳14含量的年衰減率為p.如果把剛死亡的生物體內(nèi)碳14含量看成1個(gè)單位，那么死亡1年后，生物體內(nèi)碳14含量為（1-p）1；死亡2年后，生物體內(nèi)碳14含量為（1-p）2；死亡3年后，生物體內(nèi)碳14含量為（1-p）3；死亡5730年后，生物體內(nèi)碳14含量為（1-p）5730.根據(jù)已知條件，，從而,

設(shè)生物死亡年數(shù)為x，死亡生物體內(nèi)碳14含量為y，那么y=（1-p）x，即,這也是一個(gè)函數(shù)，指數(shù)x是自變量.如果用字母a代替上述兩式中的底數(shù),則函數(shù)可以表示為y=ax的形式,其中指數(shù)x為自變量，底數(shù)a是一個(gè)大于0且不等于1的常量.歸納一般地，函數(shù)

叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，定義域?yàn)镽.探究:指數(shù)函數(shù)的概念.思考：指數(shù)函數(shù)的定義域是什么?其定義中指明了底數(shù)a>0且a≠1，為什么會(huì)有這樣的限制條件?根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義來(lái)判斷說(shuō)明：因?yàn)閍>0，x是任意一個(gè)實(shí)數(shù)時(shí)，

是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，所以函數(shù)的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R.提問(wèn)：當(dāng)a=0時(shí)，指數(shù)函數(shù)還有沒(méi)有意義?當(dāng)a<0時(shí)，有哪些自變量取值對(duì)應(yīng)的函數(shù)值不存在?當(dāng)a=1時(shí)，指數(shù)函數(shù)還有沒(méi)有研究?jī)r(jià)值?歸納結(jié)果故只有滿足

的形式才能稱為指數(shù)函數(shù)，a為常數(shù).如：

都不符合的形式，所以都不是指數(shù)函數(shù).做一做若函數(shù)y=(a-2)ax

是指數(shù)函數(shù),則(

)A.a=1或a=3 B.a=1C.a=3 D.a>0且a≠1解析:若函數(shù)y=(a-2)ax是指數(shù)函數(shù),答案:C練一練已知指數(shù)函數(shù)f(x)=ax(a>0且a≠1),且f(3)=

,求f(0)，f(1)，f(-3)的值.(2)已知函數(shù)y=(a2-3a+3)ax是指數(shù)函數(shù),求a的值.分析:(1)設(shè)出指數(shù)函數(shù)f(x)的解析式,然后代入已知點(diǎn)的坐標(biāo)求解參數(shù),從而確定函數(shù)解析式,最后代值求解;(2)依據(jù)指數(shù)函數(shù)的形式定義,確定參數(shù)a所滿足的條件求解.(1)解析:設(shè)f(x)=ax(a>0,a≠1),∴a-2=.∴a=2.∴f(4)f(2)=24·22=64.答案:64變式訓(xùn)練(1)已知指數(shù)函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(-1,3),則f(3)=

.

(2)已知函數(shù)f(x)=(a2-2a+2)(a+1)x為指數(shù)函數(shù),則a=

.

解析:(1)設(shè)指數(shù)函數(shù)為f(x)=ax(a>0且a≠1),由題意