第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)

目錄

1.指數(shù).............................................................................................1

1.1.〃次方根與分數(shù)指數(shù)幕..........................................................................1

1.2.無理數(shù)指數(shù)幕及其運算性質....................................................................10

2.指數(shù)函數(shù)........................................................................................18

2.1.指數(shù)函數(shù)的概念..............................................................................18

2.2.指數(shù)函數(shù)的圖象和性質.......................................................................26

3.對數(shù)............................................................................................49

3.1.對數(shù)的概念..................................................................................49

3.2.對數(shù)的運算..................................................................................57

4.對數(shù)函數(shù).........................................................................................65

4.1.對數(shù)函數(shù)的概念..............................................................................65

4.2.對數(shù)函數(shù)的圖象和性質.......................................................................73

4.3.不同函數(shù)增長的差異.........................................................................94

5.函數(shù)的應用（二）...................................................................................105

5.1.函數(shù)的零點與方程的解.......................................................................105

5.2.用二分法求方程的近似解....................................................................116

5.3.函數(shù)模型的應用............................................................................126

1.指數(shù)

1.1.〃次方根與分數(shù)指數(shù)幕

情境導入課程標準

第1頁共150頁

公元前五世紀，古希臘有一個數(shù)學

1

m

學派名叫畢達哥拉斯學派，該學派中的L通過對有理數(shù)指數(shù)幕a%a>0,且

一個成員希帕索斯考慮了一個問題：存1,犯〃為整數(shù)，且〃>0)含義的認識,

邊長為1的正方形其對角線長度是多少呢?他發(fā)現(xiàn)這一-長度了解指數(shù)幕的拓展過程。

既不能用整數(shù)表示,也不能用分數(shù)來表示，希帕索斯的發(fā)現(xiàn)導2.掌握有理數(shù)指數(shù)幕的運算|轆。

致了數(shù)學史上第一個無理數(shù)企的誕生。

自主預習,,明新知

1.〃次方根

如果y=a,那么x叫做。的n次方根，其中〃>1,且“GN*。

可用下表表示:

〃為奇數(shù)n為偶數(shù)

aGRa>Qa=0a<Q

x=\[aX=±Vo,x=0不存在

2.根式

(1)式子班叫做根式,〃叫做根指數(shù),a叫做被開方數(shù)。

(2)性質:當〃〉1,〃6N*時,

(a,n為奇數(shù),

②府［回,九為點數(shù)

3.分數(shù)指數(shù)幕的意義(a>O,/n,〃3N*,〃>1)

m___

正分數(shù)指數(shù)累a^=r\/a^

一%11

負分數(shù)指數(shù)幕an『二研

an丫。

0的正分數(shù)指數(shù)器等于0,0的負分數(shù)指數(shù)累沒有意

0的分數(shù)指數(shù)暴

義

4.有理數(shù)指數(shù)幕的運算性質(a>0力〉O,r,seQ)

(1)aras=q^;(2)(ay=a^;(3)(aby=aVo

第2頁共150頁

1.正數(shù)a的n次方根一定有兩個嗎?

提示:不一定。當〃為偶數(shù)時，正數(shù)。的n次方根有兩個，且互為相反數(shù)，當n為奇數(shù)時，正數(shù)a的n次方

根只有一個且仍為正數(shù)。

2.等式?！?府成立的條件是什么？

___8._______8

提示:教材要求?！?,實際應用時,只要師有意義即可，如：(-2"=〃可=2"

合作探究,,攻重難

類型一〃次方根的概念

【例1】(1)(多選)J(a-b)2+，(a-b)5的值可能是(AC)

A.OB.2屹-a)

C.2(a-b)D.a-b

解析若。泌，則原式=。/+。/=23-份,若a。,則原式=/?-a+a-/?=O。

(2)化簡:(yjci—1)?+J(1—a)2+，(1—a)3=a-l。

解析由(Va-1)2知\-1乞0,生1。故原式=a-l+|l-a|+l-a=a-l。

(3)若-5)(/一25)=(5.)瘍在，則x的取值范圍是-5,5］。

解析因為-5)(小一25)=J(X-5)2(%+5)=(5-x)>/%+5,所以1:所以-5W爛5。所以

實數(shù)x的取值范圍是-5人5。

反思感悟

根式化簡與求值的思路及注意點

(1)思路:首先要分清根式為奇次根式還是偶次根式，然后運用根式的性質進行化簡。(2)注意點:①

正確區(qū)分(黃)"與府兩式。②運算時注意變式、整體代換,以及平方差、立方差和完全平方、完全立

方公式的運用，必要時要進行討論。

【變式訓練】下列說法:

第3頁共150頁

①g7=3;

②16的4次方根是±2;

③邇岸±5;

④+y)2=|x+y|；

⑤若x<2JUV(x-2)8+(Vx-V2)3=2-V2O

其中正確的是.②④⑤。(填序號)

解析g7=-3，①錯誤;16的4次方根有兩個，為±2,②正確;黃芯=5,③錯誤;是非負數(shù),

所以J。+y)2=b+y|,④正確而題意知JC-2<O,S^V(X-2)8+(Vx-V2)3=|A--2|+X-V2=2-X+X-V2=2-V2,(§)

正確。

類型二根式與分數(shù)指數(shù)幕的互化

【例2]把下列根式化成分數(shù)指數(shù)嘉的形式，其中a>0力>0。

(1)對;(2)矗;(3)岑;(4)J(-a)6。

-___6

解(1)7^=加。

63

(4)^/(—a)=Va^=a2=ao

反思感悟

指數(shù)的概念從整數(shù)指數(shù)擴充到實數(shù)指數(shù)后，當?<0時,滯有時有意義，有時無意義，如(-1)、口=-1,

1mm

但(-1)5就不是實數(shù)了。為了保證在安取任何實數(shù)時,a元都有意義，所以規(guī)定。>0。當被開方數(shù)中有負數(shù)

n

時，器指數(shù)不能隨意約分。

【變式訓練】把下列根式化成分數(shù)指數(shù)累。

(1)V8V^；(2)VaVa(?>0)；

⑶護?懷;⑷

Jx(Vx^)2

第4頁共150頁

解⑴脫唇口23?2、(23工2套。

II1,3313

(2)VaVa=Ja-(22=J02=(02^2=0^^

2.___211

⑶/AV^=〃而=b彳。

類型三有理數(shù)指數(shù)幕的運算

【例3】計算下列各式:

1

(1)(2滬23(232-0.01°5;

1/7、04

(2)0.064~-(-0+[(-2)3]~+16-0-75;

⑶（曠;s水＞…。

解⑴原式=1+3（丁-（磊）』+泠若

(2)原式=0.4"-1+(-2)-4+2-3=|-1嚀+92。

Zioolo

13

n

(3)原式Q2-a~2-b~2.b2=^-ab°=^；o

反思感悟

有理數(shù)指數(shù)幕運算的解題通法

（1）有括號的先算括號里的，無括號的先做指數(shù)運算。（2）先乘除后加減，負指數(shù)幕化成正指數(shù)幕的倒

數(shù)。（3）底數(shù)是負數(shù).先確定符號，底數(shù)是小數(shù)，先化成分數(shù)，底數(shù)是帶分數(shù)，先化成假分數(shù)。（4）若是根式.

應化為分數(shù)指數(shù)幕，并盡可能用器的形式表示，運用指數(shù)器的運算性質來解答。⑸運算結果不能同時含

有根式和分數(shù)指數(shù)鬲，也不能既有分母又含有負指數(shù)幕，形式力求統(tǒng)一。

【變式訓練】⑴化簡（/向力祓向3〉0力＞0）的結果為（A）

A.aB.bC.-D.-

ba

31

解析原式=竿|=。。

am4

第5頁共150頁

—?—=(a42力24)2=(a4b4)2=asb8。

a2b3

［核心素養(yǎng)達“明易錯?誤區(qū)警示口

［典例］計算:，5-2痣+J5+2傷。

【分析】將5-2遍和5+26配成平方形式。

(a+b)2=a2+2ab^b2=a2-i-b2^2ab;

22212

(a-b)=a-2ab+b=a+b-2ab0

22

【解】J^xt=J(V3-V2)+J(V3+V2)=|V3-V2|+|V3+V2|=V3-V2+V3+V2=2V3O

反思感悟

對于形如^/^^-^比何為/刈的雙重根式當滿足a>b>O,a+b=m,ab=n時，有Jzn±2F=VH±VF。

【變式訓練】⑴求值:,4—g+,4+后。

解原式?+

?號W哈取

(2)求值卬5+2遙+J7-4V5-J6-4或。

解

J(V3+V2)2+J(V3-2)2-J

=2

Vs+2A/6+V7—4V3-V6—4V2(2-V2)=V3+V2+2-V3-(2-V2)=2V2o

當堂檢測,提素養(yǎng)

第6頁共150頁

1.已知則（B）

A.cobB.a>b

C.a<bD.a<b

2.（多選）下列各式中有意義的是（AC）

A，V（-4）2nB，V（-4）2n+1

C.Va^D.VoS（aGR）

3.化簡（代方）支（退存）4（。>0）的結果是（C）

A.a16B.a8CdD.a23

4.若后工+3-4）。有意義，則實數(shù)a的取值范圍是［2,4）U（4,+8）。

解析由小2沙,且。-4加彳導e2,且存4。

5.計算（1+3（1+蠢）（1+^）（1+劫的值。

解原式上弛他舉例以1

_（1一a）（1+貴）（1+套）（1+表）

1-1

（1-a）（1+a）（1+表）

H-

（1一次）（1+?一1一擊V1

課時達標檢測（二十五）〃次方根與分數(shù)指數(shù)幕

基礎達標

1.下列各等式中成立的是m>o）（B）

A.a2=Va^B,a^=Va^

C.a5=±Va2D.a-2--y/a

322i2

解析因為a2=Va^,a3=Ma^,as=赤一5=：,所以成立的是a§=Vo1.

y/a

2.下列各式正確的是（D）

第7頁共150頁

4口=，(-5)2

B.y/(3—ir)2=3-it

C.府=|a|(〃>l,nGN*)

D.(VH)"=a(〃>\,nGN*)

2

解析V^=-VS,V(-5)=V5,A錯誤;J(3-n)2=|3-兀|=兀-3,B錯誤;當a<Q,n為奇數(shù)時,C錯誤。故選Do

3.若x?0,那么等式7^5^=-平萬成立的條件是(C)

A.x>0,y>0BX>0,y<0

C.x<0,y>0D.x<0,y<0

23

(xy>0,(x<0

解析因為“和,所以中0,?0。由卜孫>0,得|>0,

(y>0?！?/p>

n2

4.已知。>0,將下二=表示成分數(shù)指數(shù)幕，其結果是(C)

573

A.Q2B.QZC.Q6D.Q2

22157

n22o

解析--=67-^(tZ-a3)2=a~6=Q6o故選Co

Ja-Va^

5.把aJ-!根號外的。移到根號內等于(D)

A.V^B.-y/uC.yf-u。.-7—a

解析由題知a<0,所以aj^二小2.(一故選Do

3

6.(3-2x)W中x的取值范圍是(C)

A.(-CO,+8)B.(—8[)U6+8)

C.(一8,|)D.(|,+8)

解析(3-2x)==—工=近點不.要使該式有意義，需3-2x>0,即尤<|。

(3-2X)4V2-2町N

7,下列根式與分數(shù)指數(shù)基互化中正確的是(BC)

A.J(_2)2=-2B.7V?=2i

C.Vm24-n2=(/n2+/?2)3D.Q^=a弼

8.當。力￡R時,下列各式恒成立的是(BC)

第8頁共150頁

A.(V^-VF)4=a-0B.(Va+b)4=a+b

C.Va^-V~b^=\a\-\b\D.+b)4=a+b

解析對于A,可令a=16,〃=81,VH=2,V^=3,式子左邊為(2-3)4=l,右邊為16-81=-65.右邊，左邊，不成立；

對于B,由n次方根的定義，可知(VH)"=a,則(%彳萬4=。+8恒成立，故B對;對于C,由n次方根的性質知,

當n為偶數(shù)時,‘需三同，可知7^-加舊陰例恒成立，故C對;+b)4=|a+"，故D不成立，故選BC。

9.化簡:(y/a—1)2+^/(1—d)2+^/(1—a}3=a-1。

解析由(Na-l)?知a-1>0,<7>1o故原式=。-\+\\-a\+\-a=a-\。

10.若(處不1)4有意義，則實數(shù)a的取值范圍是^工,若(后FI)4=-a-l,則實數(shù)。的值為=1_。

解析要使(衍TA有意義，須滿足。+1汶即生-1;又(病TI)4=a+l,而已知為(正不I*-。/,所以有

a+1=-a-1,解得a=-1o

11.已知尹氏1,則喏=工。

解析由爭力=1彳掌槳

2V3U

12.計算或化簡：

2

(1)(-31)3+(0.002)-5-10(V5-2)-1+(V2-V3)0;

(2)-(a4)i3o

212

解⑴原式=G1*(3(P+(+廠-襄+]=管尸+500緒0(V5+2)+1=1+10V5-10V5-20+1=等。

331111151311

(2)原式=(成?。-5)鼠[(々-5)-5.?-5)13]5=(〃0)§.(成.0一2”二(。-4戶二4一2。

素養(yǎng)提升

13.已知集合A={-〃,7^,4},-V^,鼻2,L且A二比則a+b=3o

解析由集合中元素的互異性，可知?存7鬲W0,所以。>0,所以4={-〃/,4},8={??！?2"},又A=8,所以

。=1,4=2',即。=1力=2,所以a+b=3o

第9頁共150頁

14.設於尸檢渚0<。<1，試求加H/U-a）的值，并進一步求X焉）成7令LM+）+…+/（需）的值。

4

解因為加）+川⑷嘲孑忌=念器系小派=1,

4a

所以4高）+/篇）Mrh）+?,MHS=%篇）必需）L［焉）坎焉）LI

仆）+/產）］+…+［產）+DJ=500。

J\10017J\10017J110017J\10017

1.2.無理數(shù)指數(shù)幕及其運算性質

情境導入課程標準

1.通過對實數(shù)指數(shù)幕。氣。>0,且

a#1,aWR）含義的認識，了解指數(shù)幕

的拓展過程。

參照教材Pios探究中5/的意義,試說明無理數(shù)指數(shù)幕

2.掌握實數(shù)指數(shù)幕的運算性質。

28也是一個確定的實數(shù)。

自主預習,,明新知

1.無理數(shù)指數(shù)器的概念

一般地，無理數(shù)指數(shù)暴??（?>0,a為無理數(shù)）是一個確定的實數(shù)。這樣，我們就將指數(shù)累“標〉0）中指數(shù)x

的取值范圍從整數(shù)逐步拓展到了實數(shù)。實數(shù)指數(shù)嘉是一個確定的實數(shù)。

2.實數(shù)指數(shù)器的運算，性質

整數(shù)指數(shù)基的運算性質也適用于實數(shù)指數(shù)基，即對于任意實數(shù)r,s,均有下面的運算性質。

（1）aras=ar￥s（a>0,r,s￡R）;

（2）（/）'=q%（a>0/,s￡R）;

（3）3。）'=47/（。>0/>0/￡R）o

1.2強是一個實數(shù)嗎?

第10頁共150頁

提示:根據(jù)無理數(shù)指數(shù)幕的概念,2面是一個實數(shù)。

2.實數(shù)指數(shù)幕的運算性質與有理數(shù)指數(shù)器的運算性質相同嗎?

提示:相同

合作探究■攻重難

類型一無理數(shù)指數(shù)幕的運算

【例1】計算下列各式的值:

（1）（向后X海百產母

TT7TT4TT

（2）a6QTa~~（6z>0）;

/373仃\2遮

解⑴原式二（2亍X3行）=29x32=4608。

IT17Tt4TT

⑵原式=港+丁虧=a°=1o

反思感悟

進行無理數(shù)指數(shù)幕的運算時，注意運算性質的正用、逆用。注意無理數(shù)指數(shù)鬲也是一個實數(shù)。

【變式訓練】⑴計算3乂）+（22勺魚+1后的值為（B）

A.17B.18C.6D.5

解析31txe）”+（22底）底+1傷=（3、3"+22夜x企+1=1兀+24+1=18。

⑵計算下列各式：

（2）（m3-m~6）12=zn2no

___nrx/^,—\/3f—

解析①原式=（武3-苒）2百=（7Tl"）275=/。

ITTtIT

②原式二（租彳—7）12二（相憶）12二機2"。

第11頁共150頁

類型二條件求值

11

[例2]已知成+a-5=3,求下列各式的值：

33

(1)〃+〃”;(2)屋+。-2；(3)\。

a2-a~2

11

]

解(1)將成+。-5=3兩邊平方彳導〃+〃"+2=9,故a+a=lo

22

(2)將〃+/=7,兩邊平方彳導/+或2+2=49,故a+a=41o

⑶原式=立續(xù)

a2-a^2

1_i11

-1

_(a2-a2)(a+a2.a-2+a-)

-IZI

a2-a~2

1=

=a+l+a7+l=80

反思感悟

解決條件求值問題的一般方法整體代入法

對于條件求值問題，一般先化簡代數(shù)式，再將字母取值代入求值，但有時字母的取值不知道或不易

求出，這時可將所求代數(shù)式恰當?shù)刈冃?，構造出與已知條件相同的結構，從而通過“整體代入法”巧妙地

求出代數(shù)式的值。

【變式訓練】⑴已知戶、=(,求享常的值。

?3Vx-vyVx+vy

板Vx+VyvG-y夕_(4+⑸2(V^-Vy)2_4V%y

tn^t*———一一一一一一_

\[x-y[y\[x+\[yx-yx-yx-y0

因為戶;J=l，

11^2

所以原式=±m(xù)=-24I|=-8V3O

2~3"

(2)已知a,b是方程f-6x+4=0的兩實數(shù)根，且a泌>0,求名的值。

y/a+y/D

解因為a,b是方程P6x+4=0的兩實數(shù)根，所以槨1;①

因為a>Z?>0,所以VH〉VF。

2__

>^2'_CL+b—2y/ob_6_2^4_1

乂Ib+VFJ一a+b+2疝/6+2機―5'

第12頁共150頁

類型三指數(shù)器等式的證明

【例3】設a,b,c都是正數(shù)，且3“=4。=6。,求證:乂三+入

cab

111

證明令3。=4b=6°=，,則3=ta,2=t2b,6=tco

111111

因為3x2=6,所以加《五=坨即-+荔=-，

a2bc

反思感悟

對于指數(shù)幕等式的證明問題常常將等式化為同底指數(shù)幕，利用幕的指數(shù)相等來證明。解決此類問

題的關鍵是通過指數(shù)運算進行等價代換,以及利用參數(shù)找到已知條件與結論的關系，這樣才能使問題

迅速得到解決。

【變式訓練】對于正整數(shù)a,b,c(agEc)和非零實數(shù)x,y,z,w,若衣=枕=<5=70母1，3=：+2￡,求a,h,c

的值。

11

解因為相=70"',或=70對1。

1111

同理/)而二70，,。m二705。

所以。正胸(7=70泰70'?705,

11.1.1

即(a〃c)m=70%yz,

又工=工+工+之所以abc=70o

wxyz

因為a,b,c是正整數(shù)且-/>v=cz=70'Vl,

所以a,b,c均不為1,所以\<a<b<ca

又70=2x5x7,所以a=2,b=5,c=7o

當堂檢測,

第13頁共150頁

A3冗-6B32n-V3

C(A)2n—\/3D(A)2n+V3

33

解析I)國.9兀二3一四.32兀=3271-6

2.計算(2①)-4的結果是(D)

A.V2B.-V2C.2

解析(2%-%e卜￥)=2/

3?計算瑞=_2遮

v

4.若10'=3,10=4jij102A"V=-_O

~4~

解析10^^4

5.計算(或化簡)下列各式：

(1)4四+叱23-2痘.64巨；

11

0、a-ba+b-2a2-b2

T-iT°

Q2+62Q2—￡>2

W(1)原式=(22)e+1.23-2代.(26)號

二22⑶2.23-2g2-4

=21=2。

111111

⑵原式=空畢學嚀字

a2+b2d2-b2

iiii

=a2-b2-(Q2-b2)=0o

課時達標檢測（二十六）無理數(shù)指數(shù)幕及其運算性質

基礎達標

第14頁共150頁

L下列運算中正確的是(D)

A.a2丘a3&=a6丘B(yǎng).(-<22)3=(-a3)2

C.（Va-2）°=lD.(-a2四/工a1°低

解析@2在a3保=a5e故A錯誤;（-。2）3=_戶3=_&6,（_43）2=。6,故B錯誤;當a=4時,（傘-2）。無意義，故C錯

誤;（r2巧5=-ai°n故D正確。

n2n

2.化簡中的值為(B)

TC1171IT

A.QMB.a-eC.Q3D.a-i

n,2ir

解析原式=返+嚴-三L

3.計算(3四莊)3四的值為(B)

A.2908B.2916

C.2924D.2932

解析原式=(3@2孝)3四=36*22=2916。

4.設a=V24,/j=V12,c=V6,!iIiJa,b,c的大小關系是(D)

A.a>b>cB.h>c>a

C.b>a>cD.a<b<c

解析腦2=243</?”二]24cd2=66,所以a<b<co

5.設x,y都是正數(shù)，且爐三產,)=9尢，貝I」x的值為(B)

A《B,V3C.1D.V9

解析因為xf且y=9x,所以產=（9x）,即戶="于是爐=9彳導產V30故選B。

6.下列根式與分數(shù)指數(shù)基的互化正確的是(CD)

1

A.-V^=(-^)2

B.^/y2=y3(j<0)

C-=狐7(x>0)

Q/----------------31

D.[-%)2]4=%2(X>O)

第15頁共150頁

解析A錯,-a=-表(后0),而(.”=7^(爛0);B錯5g))；C正確,xW=3=e)4=[e)(x>O);D正

o______________3_131

確,尸=%2r，=燧(》>0)。故選CD。

7.已知函數(shù)人工廠”(1一,g(x)=",則7U),g(x)滿足(AC)

A.火-x)+g(-x)=g(x)-y(x)

B./U)-g(x)=7t'

C，X2x)=W)gU)

D.^)]2-[g(x)]2=l

向單析A正確<-x)=^—-一■=/>),g(-x)=---=g(x),所以/(-x)+g(-x)=g(x)式x);B不正

確/(*g(x戶藝二號工言二H；C正確。2%)上宇=2亦；-孫)g(x);D不正

確,內)]2-吩)]2=(耍)2_(號二)2=(號二+'二).(耍一號二)=乎.T=1。故選AC。

20212022

8.(V3+V2)x(V3-V2)=_V32V2_O

解析(V3+V2)202lx(V3-V2)2022=(V3+V2)2021X(V3-A/2)2021X(V3-V2)=[(V3+V2)(V3-V2)]2

02I

X(V3-V2)=V3-V2O

IqTl-3

9.如果a=3力=384,那么aQ)7=3x2"。。

1]7l—33

解析a?y=3(等y=3[(128)為"-3=3x23

10.已知2*+2」=5,則4A+4-A=23,2X-2-X=±V21□

解析9+4-=(2工+2唳2=52-2=23,因為(2、-2")2=(2/2呼4=21,所以2工-2*'=土同。

11.化簡下列各式：

111212

(1)(-X3y-3)(3%~y3)(-2%6y3);

11_1_3_4

(2)2%W(-3%，y-§):(-6%-5y一彳)。

111212111122

11_1_3_4

(2)2X4(-3x4y-3)-?(-6%~2y_3)

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1.1,3_1,4

=[2X（-3）-?（-6）]%4+4+2y3+3

=x2yo

12.已知函數(shù).*x）=g=（a>O,a聲1,a為常數(shù),x6R）。

⑴若人〃?）=6,求長加）的值;

⑵若川）=3,求心）昭）的值。

解⑴因為加）=6,所以學二=6,

所以式加）=匕矢=6。

（2）因為火1）=3,所以竺，=3,所以a+al=6,

所以42）=雪:山等2幺17。

/11\211-

因為（成+。一，=。+?！?2=8,所以成+Q一5=2迎，

11

所以/?=平S

----------素養(yǎng)提升----------

13.在算式2大+2國+2楮+2神=29中,“大、國、精、神''分別代表四個不同的數(shù)字，且依次從大到小，則“國”

字所對應的數(shù)字為（B）

A.4B.3C.2D.1

解析由29=16+8+4+1=24+23+22+2°,可得“國”字所對應的數(shù)字為3,故選B。

14.A4紙是生活中最常用的紙規(guī)格。A系列的紙張規(guī)格特色在于:①AO、Al、A2...A5,所有尺寸

的紙張長寬比都相同;②在A系列紙中，以前一個序號的紙張的兩條長邊中點連線為折線對折裁剪分

開后，可以得到兩張后面序號大小的紙，比如1張A0紙對裁后可以得到2張A1紙,1張A1紙對裁后可

以得至I」2張A2紙，依此類推。這是因為A系列紙張的長寬比為近：1這一特殊比例，所以具備這種特

性。已知A0紙規(guī)格為84.1厘米xl18.9厘米。118.9+84.1句.412厲,那么A4紙的長度約為（C）

A.14.8厘米B.21.0厘米

C.29.7厘米D.42.0厘米

解析設A4紙的長度為x厘米則A3紙的長度為厘米，以此類推可以得到:詈=（魚產=4,解得

戶29.7,故選Co

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15.(教材習題回放)(1)當〃=1,2,3,10,100,1000,10000,100000,...時,用計算工具計算(1+"\〃6?4*)的

值;

(2)當〃越來越大時,(1+￡)”的底數(shù)越來越小，而指數(shù)越來越大，那么(1+；)”是否也會越來越大?有沒

有最大值?

解⑴(1+；)1=2;(1+3==2.25;(1+y需)03704;

Z1

(1+g=1.110^2.5937;

z1、1°0

(1+擊)=LOP叫2.7048;

Z1000

\1+Tooo)=1.001|00(,?2.7169;

Z1X10000

(1+-^)=1.00011()00()^2.7181;

V100007

Z.X100000

iooo(x,

fl+—--)=1.000Ol=2.71830

V100000/

⑵由(1)知，當n越來越大時,(1+的值也會越來越大，但沒有最大值。

2.指數(shù)函數(shù)

2.1.指數(shù)函數(shù)的概念

情境導入課程標準

1.通過具體實例，了解指數(shù)函

數(shù)的實際意義。

將一張紙連續(xù)對折，折疊次數(shù)X與對應的層數(shù)y的關系為

2.理解指數(shù)函數(shù)的概念。

y=2peN*)。對折后的面積S(設原面積為1)與折疊的次數(shù)x的關

系為S=(?yeN*)。這就是我們要學習的指數(shù)函數(shù)。

自主預習,,明新知

1.指數(shù)函數(shù)

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函數(shù)用數(shù)。>0,且存1)叫做指數(shù)函數(shù).其中指數(shù)X是自變量，定義域是Ro

2.指數(shù)型函數(shù)模型

形如y=5僅WR,且R0：a>0,且存1)的函數(shù)是指數(shù)型函數(shù)模型。

1.(1)為什么指數(shù)函數(shù)的底數(shù)。>0,且存1?

(2)指數(shù)函數(shù)的解析式有什么特征？

提示:⑴①如果。=0,當x〉0時d恒等于0,沒有研究的必要;當后0時"'無意義。

②如果a<0,例如)=(-4尸,這時對于產生，…該函數(shù)無意義。

③如果。=1,貝!J產產是一個常量，沒有研究的價值。

為了避免上述各種情況，所以確定。>0,且存1。

⑵①a>0,且存1;②小的系數(shù)為1；③自變量x的系數(shù)為1。

2.(1)函數(shù)產24是指數(shù)函數(shù)嗎？

⑵函數(shù)尸一定是指數(shù)函數(shù)嗎？

提示:⑴不是。

(2)不一定。

,攻重難

類型一指數(shù)函數(shù)的概念

[例1](1)給出下列函數(shù)：

①y=4';②y=f;③y=-4》;

④y=G4)x；⑤廣武;⑥尸；⑦產廿.。

其中為指數(shù)函數(shù)的有①⑤(填所有正確的序號)。

解析②不是指數(shù)函數(shù)，因為底數(shù)不能是自變量;對于③,-4'是-1與4,的乘積，故③不是指數(shù)函數(shù)；

對于④，底數(shù)-4<0,故④不是指數(shù)函數(shù);對于⑥，指數(shù)不是自變量x,而是x的函數(shù)式故⑥不是指數(shù)函數(shù);對

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于⑦，底數(shù)X不是常數(shù),故⑦不是指數(shù)函數(shù)。由指數(shù)函數(shù)的概念可知，①⑤是指數(shù)函數(shù)。

(2)若函數(shù)產(2仆1)。是自變量)是指數(shù)函數(shù)，則a的取值范圍是(C)

A.(0,l)U(l,+oo)B.[0,l)U(l,+oo)

c.(|,i)u(i,+OT)D《,+8)

解析依題意得2a-1〉0,且2a-1#1,解得心，且分1。

反思感悟

(1)判斷一個函數(shù)是否為指數(shù)函數(shù)的根據(jù)就是定義，與定義相符就是,否則就不是。⑵指數(shù)函數(shù)產爐

中,4>0且存1。

【變式訓練】⑴給出下列函數(shù):①y=23'；②y=3叫③y=3';④尸昌⑤尸(-2)、其中為指數(shù)函數(shù)的

有③(填所有正確的序號)。

解析①中3-的系數(shù)是2,故①不是指數(shù)函數(shù);②中產3戶?的指數(shù)是x+1,不是自變量乂故②不是指

數(shù)函數(shù);③中3'的系數(shù)是1,幕的指數(shù)是自變量x,且只有3、一項，故③是指數(shù)函數(shù);④中,產%3的底數(shù)為自

變量，指數(shù)為常數(shù),故④不是指數(shù)函數(shù);⑤中，底數(shù)-2<0.故⑤不是指數(shù)函數(shù)。

(2)若函數(shù)段)=(a2-3a+3)。是指數(shù)函數(shù)，則(C)

A.a=l或a=2B.a=l

C.a=2D.a>0且a^l

解析由指數(shù)函數(shù)的定義相產一：￡+1'解得4=2。

(a>0且a。1,

類型二指數(shù)函數(shù)的解析式

【例2】(1)指數(shù)函數(shù)y=/(x)的圖象經過點(-23),那么44)*2)=(D)

A.8B.16C.32D.64

解析設於)=優(yōu)(?！?,且存1),因為y戈x)的圖象經過點(-2,：),所以2t/(x)=25所以

旭加2)=24x22=64。

(2)(2022?北京卷)已知函數(shù)/(x)=A^則對任意實數(shù)x,有(C)

A：/(-x)+/(x)=0

B』-x)次x)=0

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C.f(-x)+f(x)=l

D￡-x)-/(x)=q

解析由/(刈=袤,可得於刈=*=島，所以/(-x)+/(x)=|^=l。

反思感悟

(1)求指數(shù)函數(shù)的解析式時,一般采用待定系數(shù)法，即先設出函數(shù)的解析式，然后利用已知條件，求出

解析式中的參數(shù)，從而得到函數(shù)的解析式，其中掌握指數(shù)函數(shù)的概念是解決這類問題的關鍵。⑵求指數(shù)

函數(shù)的函數(shù)值的關鍵是掌握指數(shù)函數(shù)的解析式。

【變式訓練】⑴若函數(shù)危)=?a-3)"是指數(shù)函數(shù)，則噌)的值為(B)

A.2B.2V2C.-2V2D.-2

解析因為函數(shù)危尸(果-3”是指數(shù)函數(shù),所以梟3=1,。＞0,存1,解得〃=8,所以段)=8,,所以

/(1)=V8=2V2O故選B。

(2)已知函數(shù)段)是指數(shù)函數(shù)，且/(一0=M則於尸上」

解析設段)=出3〉0,且存1),由-1)=叁得4=55-2=5-5,所以”=5,所以段)=5、

類型三指數(shù)函數(shù)的實際應用

【例3】(1)某市2020年城鄉(xiāng)居民人均收入比2010年翻了一番，設從2011年起,城鄉(xiāng)居民人均

收入每一年比上一年都增長p%。下面給出了依據(jù)“到2020年城鄉(xiāng)居民人均收入比2010年翻一番”列

出的關于〃的四個關系式中正確的是(B)

A.(l+p%)xl0=2B.(l+p%)i°=2

C]o(i+?%)=2D.l+10xp%=2

解析設2010年城鄉(xiāng)居民人均收入為因為從2011年起城鄉(xiāng)居民人均收入每一年比上一年都

增長p%o貝！Ja(l+p%)i°=2。,可得(1+p%嚴=2。

(2)某公司擬投資100萬元，有兩種投資方案可供選擇:第一種是年利率10%,按單利計算,5年后收

回本金和利息;第二種是年利率9%,每年按復利計算一次,5年后收回本金和利息。哪一種投資更有利?

第一種投資比第二種投資5年后可多得利息多少萬元?(結果精確到0.01萬元XL09&1.411

6,1.095=1.5386)

解本金100萬元,年利率10%,按單利計算,5年后的本息和是100x(1+10%x5)=150(萬元)。

第21頁共150頁

本金100萬元,年利率9%,每年按復利計算一次,5年后的本息和是100x(1+9%)5々153.86(萬元)。

由此可見，按年利率9%每年按復利計算一次要比按年利率10%單利計算投資更有利，

5年后可多得利息約3.86萬元。

反思感悟

解決這類問題的關鍵是理解增長(衰減)率的意義:增長(衰減)率是所研究的對象在“單位時間”內

比它在“前單位時間”內的增長(衰減)率，切記并不總是只和開始單位時間內的比較。

【變式訓練】某種細菌經60分鐘培養(yǎng)，可繁殖為原來的2倍，且知該細菌的繁殖規(guī)律為產10心,

其中左為常數(shù)J表示時間(單位:小時),y表示細菌個數(shù),10個細菌經過7小時培養(yǎng),細菌能達到的個數(shù)為

(B)

A.640B.1280C.2560D.5120

解析由題意可得在函數(shù)產10曲中，當r=l時,產20,所以20=10e*,e*=2,則y=10eh=10-2l若t=7,

則可得此時的細菌數(shù)為)=10x27=1280。

當堂檢測,’提素養(yǎng)

L下列各函數(shù)中，是指數(shù)函數(shù)的是(D)

人.尸(-3尸B.y=-3V

C.y=3*iD.y=《)

解析由指數(shù)函數(shù)的定義可知，只有D項符合題意。故選D。

2.碳14的半衰期為5730年,那么碳14的年衰變率為(C)

1/1\5730:1

B/-)￥產。D.14^

5730\2J\2J

解析設年衰變率為x,則尸3?？倓t卡機故選C。

3.已知指數(shù)函數(shù)於)的圖象經過點(2,4),則始)認一以的