第第頁2020屆高三模擬考試數(shù)學試題2020.4本試卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷兩部分．滿分150分．考試用時120分鐘．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合，，則（）A． B． C． D．2．已知是虛數(shù)單位，是關于的方程的一個根，則（）A．4 B． C．2 D．3．“”是“為第二或第三象限角”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．2013年5月，華人數(shù)學家張益唐的論文《素數(shù)間的有界距離》在《數(shù)學年刊》上發(fā)表，破解了困擾數(shù)學界長達一個多世紀的難題，證明了孿生素數(shù)猜想的弱化形式，即發(fā)現(xiàn)存在無窮多差小于7000萬的素數(shù)對．這是第一次有人證明存在無窮多組間距小于定值的素數(shù)對．孿生素數(shù)猜想是希爾伯特在1900年提出的23個問題中的第8個，可以這樣描述：存在無窮多個素數(shù)，使得是素數(shù)，素數(shù)對稱為孿生素．數(shù)在不超過16的素數(shù)中任意取出不同的兩個，則可組成孿生素數(shù)的概率為（）A． B． C． D．5．已知函數(shù)，則下列結論正確的是（）A．的最小正周期為 B．的圖象關于點對稱C．在上單調遞增 D．是的一個極值點6．已知，若，，則（）A． B．2 C． D．47．函數(shù)的圖象大致為（）A．B．C．D．8．已知點是函數(shù)圖象上的動點，則的最小值是（）A．25 B．21 C．20 D．4二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分．9．2019年4月23日，國家統(tǒng)計局統(tǒng)計了2019年第一季度居民人均消費支出的情況，并繪制了餅圖（如圖），則下列說法正確的是（）A．第一季度居民人均每月消費支出約為1633元B．第一季度居民人均收入為4900元C．第一季度居民在食品煙酒項目的人均消費支出最多D．第一季度居民在居住項目的人均消費支出為1029元10．如圖，透明塑料制成的長方體容器內灌進一些水，固定容器一邊于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜度的不同，有下面幾個結論：A．沒有水的部分始終呈棱柱形B．水面所在四邊形的面積為定值C．隨著容器傾斜度的不同，始終與水面所在平面平行D．當容器傾斜如圖（3）所示時，為定值11．已知為雙曲線上的動點，過作兩漸近線的垂線，垂足分別為，，記線段，的長分別為，，則（）A．若，的斜率分別為，，則 B．C．的最小值為 D．的最小值為12．對，表示不超過的最大整數(shù)．十八世紀，被“數(shù)學王子”高斯采用，因此得名為高斯函數(shù)，人們更習慣稱為“取整函數(shù)”，則下列命題中的真命題是（）A．B．C．函數(shù)的值域為D．若，使得同時成立，則正整數(shù)的最大值是5三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．的展開式中二項式系數(shù)最大的項的系數(shù)為____________．（用數(shù)字作答）14．在平行四邊形中，，，點滿足，點滿足，則_________．15．已知橢圓的左，右焦點分別為，，直線過點且與在第二象限的交點為，若（為原點），則的坐標為________，的離心率為__________．16．三棱柱中，平面，，是邊長為的正三角形，是線段的中點，點是線段上的動點，則三棱錐外接球的表面積的取值集合為_____________（用區(qū)間表示）．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．在①是與的等差中項；②是與的等比中項；③數(shù)列的前5項和為65這三個條件中任選一個，補充在橫線中，并解答下面的問題．已知是公差為2的等差數(shù)列，其前項和為，________________________．（1）求；（2）設，是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．18．在中，角的對邊分別為，且．（1）求；（2）若，且為銳角三角形，求的面積的取值范圍．19．如圖，側棱與底面垂直的四棱柱的底面是平行四邊形，，．（1）求證：平面；（2）若，，，求與平面所成角的大小．20．已知拋物線的焦點為，直線與的交點為，，且當時，/．（1）求的方程；（2）直線與相切于點，且，若的面積為4，求．21．某省2020年高考將實施新的高考改革方案．考生的高考總成績由3門統(tǒng)一高考科目成績和自主選擇的3門普通高中學業(yè)水平等級考試科目成績組成，總分為750分．其中，統(tǒng)一高考科目為語文、數(shù)學、外語，自主選擇的3門普通高中學業(yè)水平等級考試科目是從物理、化學、生物、政治、歷史、地理6科中選擇3門作為選考科目，語文、數(shù)學、外語三科各占150分，選考科目成績采用“賦分制”，即原始分數(shù)不直接用，而是按照學生分數(shù)在本科目考試的排名來劃分等級并以此打分得到最后得分．根據(jù)高考綜合改革方案，將每門等級考試科目中考生的原始成績從高到低分為，，，，，，，共8個等級．參照正態(tài)分布原則，確定各等級人數(shù)所占比例分別為3%，7%，16%，24%，24%，16%，7%，3%．等級考試科目成績計入考生總成績時，將至等級內的考生原始成績，依照等比例轉換法則，分別轉換到91～100，81～90，71～80，61～70，51～60，41～50，31～40，21～30八個分數(shù)區(qū)間，得到考生的等級成績．舉例說明：某同學化學學科原始分為65分，該學科等級的原始分分布區(qū)間為58～69，則該同學化學學科的原始成績屬等級．而等級的轉換分區(qū)間為61～70，那么該同學化學學科的轉換分計算方法為：設該同學化學學科的轉換等級分為，，求得．四舍五入后該同學化學學科賦分成績?yōu)?7．為給高一學生合理選科提供依據(jù)，全省對六個選考科目進行測試，某校高一年級2000人，根據(jù)該校高一學生的物理原始成績制成頻率分布直方圖（見右圖）．由頻率分布直方圖，可以認為該校高一學生的物理原始成績服從正態(tài)分布，用這2000名學生的平均物理成績作為的估計值，用這2000名學生的物理成績的方差作為的估計值．（1）若張明同學在這次考試中的物理原始分為86分，等級為，其所在原始分分布區(qū)間為82～93，求張明轉換后的物理成績（精確到1）；按高考改革方案，若從全省考生中隨機抽取100人，記表示這100人中等級成績在區(qū)間內的人數(shù)，求最有可能的取值（概率最大）；（2）①求，（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點作代表）；②由①中的數(shù)據(jù)，記該校高一學生的物理原始分高于84分的人數(shù)為，求．附：若，則，，．22．（1）若，恒成立，求實數(shù)的最大值；（2）在（1）的條件下，求證：函數(shù)在區(qū)間內存在唯一的極大值點，且．2020屆高三模擬考試數(shù)學試題參考答案及評分標準2020.4一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．CABDDBAC二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分．9．ACD10．AD11．ABD12．BCD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．14．015．116．四、解答題：本題共6小題，共70分．17．（1）解：若選①是與的等差中項，則，即．解得．所以．若選②是與的等比中項，則，即．解得．所以．若選③數(shù)列的前5項和為65，則．又，所以是首項為，公差為4的等差數(shù)列．由的前5項和為65，得．解得．所以．（2）．．所以；所以．所以中的最大項為．顯然．所以．所以不存在，使得．18．（1）山題設條件及正弦定理，得．由，得．由，得．所以．又（若，則，．這與矛盾），所以．又，得．（2）在中，由正弦定理，得，即．所以．的面積．由為銳角三角形，得，，所以，從而，即．所以．繼而．所以的取值范是．19．（1）證法1：取的中點，連接、．設，連接．由題意，是線段的中點，是線段的中點，所以是的中位線，所以．由題意，，，，所以，又，所以四邊形是平行四邊形．所以．又，所以．又平面，平面，所以平面．證法2：．又平面，所以平面．（2）在中，，，由余弦定理，得．可見，所以．以為坐標原點，以，，所在方向分別為軸，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標系，則，，，．所以，，．設為平面的法向量，則即令，則．可見，就是平面的一個法向量，所以與平面所成的角為90°．20．（1）解法1：設，．由消去，得．判別式，．因此，解得．所以的方程為．解法2：設，．由消去，得．判別式，．由拋物線的定義，，解得．所以的方程為．（2）方法1：即為，求導得．設，當時，，因此直線的斜率為．又因為，所以，因此．由，得．，則，．因此．直線即為．因此點到直線的距離為．所以的面積為．由題意，，即，．又因為，所以．方法2：由方法1可得，直線的斜率為．因此直線的方程為．令，則．設直線與軸交于點，則點的坐標為．設，由方法1可知，，．因為，所以的面積與的面積相等．的面積由題意，，即，．又因為，所以．方法3：設的中點為，由方法1可知，，．因此，．又因為的橫坐標也為，所以軸．因此的面積為由題意，，即，．又因為，所以．21．（1）設張明轉換后的物理等級分為，由，求得．所以，張明轉換后的物理成績?yōu)?4分．由題意，．下分兩種解法：解法1：由得解得．又，所以．所以，最有可能的取值是10．解法2：，．所以；．于是，當時，；當時，．所以時，最大．故最有可能的取值是10．（2）①解：．．②由①中的數(shù)據(jù)，，，所以．所以．所以由題意，．所以．22．（1）解：令，則．可見，；．故函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增．所以，當且僅當時，函數(shù)，取最小值1．由題意，實數(shù)．所以．（2）由（1），．令，則．令．①當時，，，，所以．可