第三十四講基本不等式及其應(yīng)用回歸課本1.算術(shù)平均數(shù)如果a,b∈R+,那么 叫做這兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù).2.幾何平均數(shù)如果a,b∈R+,那么 叫做這兩個(gè)正數(shù)的幾何平均數(shù).3.重要不等式如果a,b∈R,則a2+b2≥2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),取“=”);均值定理:如果a,b∈R+,那么

(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),取“=”).均值定理可以敘述為:兩個(gè)正實(shí)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)大于或等于它們的幾何平均數(shù).5.已知x、y都是正數(shù),則(1)若x+y=S(和為定值),則當(dāng)x=y時(shí),積xy取最大值(2)若xy=P(積為定值),則當(dāng)x=y時(shí),和x+y取得最小值即兩個(gè)正數(shù)的和為定值,則可求其積的最大值;積為定值,則可求其和的最小值.應(yīng)用此結(jié)論要注意三個(gè)條件;“一正二定三相等”,即:①各項(xiàng)或各因式為正;②和或積為定值;③各項(xiàng)或各因式都能取得相等的值.考點(diǎn)陪練1.函數(shù)y=log2x+logx2的值域是()A.(-∞,-2] B.[2,+∞)C.[-2,2] D.(-∞,-2]∪[2,+∞)答案:D2.已知x+3y=2,則3x+27y的最小值為()答案:A答案:C答案:B答案:D類型頂一所證明扯不等定式解題遍準(zhǔn)備秤:證裕明不鋒等式澡是均歪值不牛等式卻的一河個(gè)基舍本應(yīng)吧用,附注意裙分析搞不等汁式的逆左右涉兩邊存的結(jié)遙構(gòu)特濃征,愿通過(guò)扛拆(捷添)鬧項(xiàng)創(chuàng)盒設(shè)一謊個(gè)應(yīng)軌用均畏值不轉(zhuǎn)等式送的條饞件.葡在解屢決本佩類問(wèn)次題時(shí)昂注意佳以下腦幾點(diǎn)或:(遭1)莊均值農(nóng)不等候式成猜立的昂前提鍬條件管;(訴2)籃通過(guò)河加減戶項(xiàng)的初方法謹(jǐn)配湊溪成算鍛術(shù)平盒均數(shù)膜、幾挑何平叼均數(shù)蒼的形抱式;絡(luò)(3跪)注置意“院1”嘗的代柱換;省(4繡)靈漸活變伍換基夫本不敞等式薄的形呢式并猜注意儉其變飄形式斤的運(yùn)跌用.【典巨例1估】證量明:園a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2≥a似bc參(a腰+b薦+c泰).[分貸析]栽利用獨(dú)a2+b2≥2菌ab密(a玻,b色∈R明)求接證即籃可.[證領(lǐng)明]伶∵a4+b4≥2掌a2b2,b4+c4≥2席b2c2,c4+a4≥2降c2a2,∴2上(a4+b4+c4)≥蠶2(案a2b2+b2c2+c2a2),即a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2,又a2b2+b2c2≥2團(tuán)ab2c,鬼b2c2+c2a2≥2參ab怪c2,c2a2+a2b2≥2及a2bc浪,∴2船(a2b2+b2c2+c2a2)≥妻2(句ab2c+西ab落c2+a2bc字),即a2b2+b2c2+c2a2≥a兇b2c+發(fā)ab危c2+a2bc粉=a反bc葛(a犁+b曠+c枯).即原拐命題鎖可得肯證.類型英二發(fā)求最自值解題絡(luò)準(zhǔn)備禽:1污.利衫用基撥本不辰等式參可以猶求一控些函千數(shù)或路代數(shù)均式的念最值針.2.編應(yīng)用鼓重要學(xué)不等滾式和窗基本胃不等廚式可淡以得比到一死些常伸用的呢不等跡式,逢主要衰有:類型光三降利用即均值童不等案式解毛應(yīng)用疫題解題草準(zhǔn)備用:均巷值不搭等式距作為匠求最友值的你常用諷工具蓋,經(jīng)積常在蛙有關(guān)江最優(yōu)富解的脫實(shí)際榆問(wèn)題濱中應(yīng)牙用.膝應(yīng)用金均值昨不等吧式解躍決實(shí)茶際問(wèn)娛題的鑄基本享步驟紛是:倉(cāng)①仔碌細(xì)閱蝴讀題賴目,鋸?fù)笍貏窭斫庀额}意康;②抄分析免實(shí)際剩問(wèn)題頸中的鋒數(shù)量探關(guān)系鼓,引拜入未躬知數(shù)也,并宴用它歲表示素其它砌的變捎量,抱把要飛求最跟值的微變量她設(shè)為腫函數(shù)籍;③斥應(yīng)用滾均值蓋不等袋式求壩出函勢(shì)數(shù)的辜最值淡;④蔑還原耳實(shí)際翻問(wèn)題鐮,作遞出解逢答.【典絕例3邀】某安工廠桂擬建剩一座貌平面征圖為骨矩形敞且面頌積為魯20確0寨m2的三稈級(jí)污五水處床理池助(平夜面圖睡如圖族所示泡).鄙如果應(yīng)池四溜周圍炮墻建然造單霧價(jià)為籍40扛0元責(zé)/m藏,中愉間兩播道隔圣墻建衡造單梳價(jià)為紛24省8元穗/m惹,池留底建遵造單歪價(jià)為拐80格元/瞇m2,水離池所代有墻崖的厚惱度忽降略不演計(jì).(1蜘)試烤設(shè)計(jì)忘污水必處理辨池的昨長(zhǎng)和牢寬,眉使總譯造價(jià)箱最低眨,并膜求出媽最低懼總造堅(jiān)價(jià);(2殘)若衣由于跳地形皮限制睡,該致池的擱長(zhǎng)和米寬都釣不能絨超過(guò)謹(jǐn)16嬌m北,試冠設(shè)計(jì)達(dá)污水寸池的需長(zhǎng)和差寬,切使總瞧造價(jià)落最低芳,并均求出銜最低英總造順價(jià).[反葉思感寄悟]恨不等搏式應(yīng)驗(yàn)用的碎特點(diǎn)互是:猶(1征)問(wèn)效題的琴背景壟是人常們關(guān)遺心的酸社會(huì)訓(xùn)熱點(diǎn)抵問(wèn)題厚,如撇“物時(shí)價(jià)?罪稅收始?銷明售?督市場(chǎng)荒信息便”等燃,題記目往暗往篇關(guān)幅較歡長(zhǎng).股(2險(xiǎn))建密立函褲數(shù)模涌型常編見(jiàn)的增有“鉤正(斯反)維比例料函數(shù)夫?一鋪次函源數(shù)?觸二次何函數(shù)果?指蒸數(shù)函肚數(shù)?歲對(duì)數(shù)掉函數(shù)第?三代角函嗓數(shù),浙以及廢”等課形式炊.解關(guān)函數(shù)籌應(yīng)用嗽題中府的最導(dǎo)值問(wèn)封題一征般利紫用二撤次函影數(shù)的身性質(zhì)私或基偵本不器等式列來(lái)解思決.錯(cuò)源慢一聰忽氣視等板號(hào)成薪立的宰條件[剖樣析]揚(yáng)解法紋一和透解法畏二的音錯(cuò)誤摔原因湊是等戀號(hào)同探時(shí)成械立的慮條件烏不具酒備,納因此擱使用慣基本錫不等班式一燦定要悼驗(yàn)證來(lái)等號(hào)拔成立碼的條恩件,奪只有余等號(hào)綿成立奔時(shí),盡所求初出的服最值傲才是勺正確國(guó)的.錯(cuò)源旨二乒忽停視均傘值不久等式坡應(yīng)用襲條件訓(xùn)致誤[答案](汗-∞派,-燃1]所∪[發(fā)3,萍+∞她)技法丑一銜快速矩解題牲(三聽(tīng)角換沒(méi)元)【典煩例1嚷】已蝕知a辯、b擁、c書(shū)、d斷∈R言,x盟、y凳∈R+,且宅x2=a2+b2,y2=c2+d2.求證深:x齊y≥哲ac雁+b符d.[快灑解]已聯(lián)想辨到圓鞏的參船數(shù)方猛程,慎設(shè)a麗=x俗co音sθ置,b解=x胖si附nθ未,c嚇=y甚co岡sφ華,d換=y哪si棟nφ寄,則秘ac憶+b努d=頸xy拍co穿sθ垂co斑sφ關(guān)+x溜ys娛in古θs色in趁φ=心xy編co隊(duì)s(稅θ-峰φ)殘≤x類y.[另茅解切堤入點(diǎn)憑]有藥a2+b2、c2+d2的形跪式出獲現(xiàn),炮就可穩(wěn)以用支a2+b2≥2怒ab或.由胡于a析、b主、c變、d暖∈R脾,故糠ac贊+b納d可隱能為朗正,四也可用能為煌負(fù).榴當(dāng)a墓c+囑bd誦<0魄時(shí),舊顯然氏不需費(fèi)證明罵,只局需考管慮a把c+煮bd告>0沈的情絲式?jīng)r.[證女明]窯證法稀一:當(dāng)a州c+效bd新<0到時(shí),多顯然鮮有x礦y≥峰ac敞+b兇d成久立.當(dāng)a盆c+賽bd帽≥0菠時(shí),x2y2=(間a2+b2)(娃c2+d2)=化a2c2+b2d2+a2d2+b2c2≥a2c2+b2d2+2股ab斑cd棉=(約ac買+b船d)2,即徐xy合≥a藥c+績(jī)bd巧.證法粒二:當(dāng)a善c+德bd崖<0副時(shí),師顯然傾有x惜y≥趙ac悔+b屢d成派立;當(dāng)a嫂c+拌bd津≥0掠時(shí),吊欲證謊xy娛≥a泉c+產(chǎn)bd驢,只濟(jì)需證鋒x2y2≥a2c2+b2d2+2照ab犯cd激.∵x2=a2+b2,y2=c2+d2,∴(蹦a2+b2)(雙c2+d2)=聚a2c2+b2d2+a2d2+b2c2≥a2c2+b2d2+2泥ab巨cd心.即x2y2≥a2c2+b2d2+2罵ab壞cd泥成立妖,因識(shí)此,練原不四等式凈成立圖.[方籠法與畜技巧逝]證蔽法一柜與證亞法二嘗基本江相同浪,只輩是形頃式不腰同而境已.續(xù)而快慮解聯(lián)快想到估圓的債參數(shù)通方程洽,進(jìn)撐行三破角代杠換,打又不壇必考必慮a棉c+催bd津的正綿負(fù)問(wèn)菜題,尸僅注孔意到嫌xy佳>0宿、-殖1≤銅co慚s(億θ-理φ)堂≤1勵(lì)就行兄了.[得奮分主壁要步迎驟]翻本題作證明河步驟喬簡(jiǎn)單喬,但拳需考兩慮a撐c+絮bd茂或正堤或負(fù)妥的兩六種情勢(shì)況.肢若a賢c+萄bd替<0拐,則獅(a敲c+思bd屑)2與x2y2的大駐小不蹦能確攝定,形證題推時(shí)需尚注意濫此處霜.[易誤丟分挪原因帳]沒(méi)皺有考拖慮到幕ac竊+b榜d≥唇0還拋是a察c+私bc掏<0近.技法尚二供如何繳解決范含有目多個(gè)減變量感的條騙件最耕值問(wèn)董題求解竹含有策多個(gè)芝變量湖的條辱件最肅值問(wèn)僅題,片一般脖方法領(lǐng)是利甜用給巾出的變條件久,通撇過(guò)代盜換減罩少變決量的乞個(gè)數(shù)障,將診問(wèn)題泳轉(zhuǎn)化棗為只毛含有苗一個(gè)涼變量災(zāi)的函斷數(shù)的立最值妻問(wèn)題膝進(jìn)行印解決奶.如宮果條泳件等僻式中發(fā)含有窗兩個(gè)內(nèi)變量美的和饒與積診的形艘式,幅可以脹直接捕利用透均值勾不等敏式對(duì)因兩個(gè)它正數(shù)豪的和臟與積疏進(jìn)行義轉(zhuǎn)化淹,然映后通仙過(guò)解盾