第四章二元關(guān)系離散數(shù)學(xué)陳志奎主編人民郵電出版社前言在日常生活中，我們都十分熟悉關(guān)系這個(gè)詞的含義，例如夫妻關(guān)系，同事關(guān)系，上下級(jí)關(guān)系，位置關(guān)系等。在數(shù)學(xué)中，關(guān)系可表達(dá)集合中元素間的聯(lián)系。在計(jì)算機(jī)科學(xué)中，關(guān)系的概念也具有重要意義。例如，數(shù)字計(jì)算機(jī)的邏輯設(shè)計(jì)和時(shí)序設(shè)計(jì)中，都應(yīng)用了等價(jià)關(guān)系和相容關(guān)系的概念。在編譯程序設(shè)計(jì)、訊息檢索、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)等領(lǐng)域中，關(guān)系的概念都是不可缺少的，常常使用復(fù)合數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，諸如陣列、表格或者樹去表達(dá)數(shù)據(jù)集合。而這些數(shù)據(jù)集合的元素間往往存在著某種關(guān)系。在算法分析和程序結(jié)構(gòu)中，關(guān)系的概念起著重要作用。與關(guān)系相聯(lián)系著的，是對客體進(jìn)行比較，這些被比較的客體當(dāng)然是有關(guān)系的。根據(jù)比較結(jié)果的不同，計(jì)算機(jī)將去執(zhí)行不同的任務(wù)。2023/7/12PART01多重序元與笛卡爾乘積主要內(nèi)容PART01PART01關(guān)系的基本概念PART02PART01關(guān)系的運(yùn)算PART03PART01關(guān)系的性質(zhì)PART04PART01關(guān)系的表示PART05PART01關(guān)系的閉包運(yùn)算PART06PART01特殊關(guān)系PART07PART01關(guān)系型數(shù)據(jù)庫PART082023/7/134.1多重序元與笛卡爾乘積定義4.1由兩個(gè)元素x和y按一定順序排列成的二元組叫作序偶或有序?qū)?，記?lt;x,y>，其中x是序偶的第一元素，y是序偶的第二元素。與集合不同，序偶是元素順序相關(guān)的概念，即，而兩個(gè)序偶相等的充要條件是兩個(gè)序偶的第一元素相等且第二元素相等，即例如集合{1,2}和{2,1}表示同一個(gè)集合，而<1,2>和<2,1>則表示平面上不同的點(diǎn)，即不同的序偶。4序偶2023/7/14.1多重序元與笛卡爾乘積例4.1已知，求x和y。解：由序偶相等的充要條件可得解得x=3

,y=-2。應(yīng)該指出的是，序偶<a,b>兩個(gè)元素不一定來自同一個(gè)集合，他們可以代表不同類型的事務(wù)。例如，a代表操作碼，b代表地址碼，則序偶<a,b>就代表一條單址指令。5序偶2023/7/14.1多重序元與笛卡爾乘積把序偶的概念加以推廣，可以定義n重序元。例如，三重序元是一個(gè)序偶，它的第一元素是一個(gè)序偶，一般記作<<x,y>,z>，為方便起見把它簡記為<x,y,z>。依此類推，重序元是一個(gè)序偶，它的第一元素是(n-1)重序元，并可記作

。給定兩個(gè)n重序元和，于是可有因此可把n重序元改寫成，其中第i個(gè)元素通常稱作n重序元的第i個(gè)坐標(biāo)。6序偶2023/7/14.1多重序元與笛卡爾乘積定義4.2設(shè)A和B是任意兩個(gè)集合。若序偶的第一元素是A的一個(gè)元素，第二元素是B的一個(gè)元素，則所有這樣的序偶集合，稱為A和B的笛卡兒乘積，記作AxB，即

7笛卡爾乘積2023/7/14.1多重序元與笛卡爾乘積由排列組合的知識(shí)不難證明，如果，，則。笛卡兒乘積運(yùn)算具有以下性質(zhì)。1．對任意集合A，根據(jù)定義有

２．一般來說，笛卡兒乘積運(yùn)算不滿足交換律，即

（當(dāng)時(shí)）

8笛卡爾乘積2023/7/14.1多重序元與笛卡爾乘積笛卡兒乘積運(yùn)算具有以下性質(zhì)。3．笛卡兒乘積運(yùn)算不滿足結(jié)合律，即

9笛卡爾乘積2023/7/14.館1多重動(dòng)序元污與笛系卡爾猛乘積笛卡川兒乘引積運(yùn)糠算具推有以組下性障質(zhì)。4．笛隊(duì)卡兒慮乘積美運(yùn)算池對并途和交計(jì)運(yùn)算揀滿足疼分配輔率，悲即（1）（2）（3）（4）5撤.10笛卡蠅爾乘健積20妻23追/6棚/2鬼74.咽1多重蹤蝶序元籍與笛決卡爾高乘積設(shè)概是攪加標(biāo)億集合惜，與A對應(yīng)帳的指憂標(biāo)集頓合是擾集合喊的干笛卡季兒乘體積可次以表亮示成例如寫：對于n個(gè)集桐合的愉笛卡席爾乘外積來睬說，掠同理丸可有11笛卡祖爾乘奏積20脾23辰/6便/2鞋7PART01多重病序元是與笛凱卡爾禮乘積主要涉內(nèi)容PA賞RT01PART01關(guān)系姜的基謊本概墻念PA擋RT02PART01關(guān)系寧的運(yùn)鐮算PA視RT03PART01關(guān)系扇的性爺質(zhì)PA育RT04PART01關(guān)系畏的表飯示PA邪RT05PART01關(guān)系廉的閉揭包運(yùn)融算PA京RT06PART01特殊串關(guān)系PA完RT07PART01關(guān)系植型數(shù)恩據(jù)庫PA條RT0820甚23忍/6班/2挪7124.撫2關(guān)系笑的基漆本概毛念定義4.邊3設(shè)浸且姓為n個(gè)任饞意集粗合，地若集晚合茶，則緊稱R為反間的n元關(guān)沃系；當(dāng)n蠢=坑2，則努稱R為花到戚的厲二元哪關(guān)系幫，簡雀稱關(guān)系；若辯，則級(jí)稱R為空關(guān)紋系；若哪，蛛則稱R為全培關(guān)系跨；若毒，則變稱R為A上的n元關(guān)凱系。例4.癥4設(shè)集惜合安，全試給留出集杰合A上的逐小于蛛或等占于關(guān)我系，上大于斤或等狀于關(guān)悉系。解：槐令集狹合A上的初小于元或等總于關(guān)耍系為想，大星于或齒等于轎關(guān)系延為伏，挨根據(jù)娘定義4.嬌1應(yīng)有良：1320恩23蹈/6灰/2頑74.焦2關(guān)系訪的基愁本概穩(wěn)念例4.腳5令根據(jù)驅(qū)上面休的定蠶義可給知，論是啄上相的一紋元關(guān)非系，基是銀上呈的二不元關(guān)類系，晚是掌上的盾三元茂關(guān)系燈。若序笨偶忘屬妄于約，則糧記作勁或貍，否酬則記后作圾或。1420火23燭/6額/2斷74.戲2關(guān)系傷的基爹本概賤念定義4.踏4設(shè)痕為筋間的n元關(guān)漢系，遲為街間匯的n元關(guān)驚系，糟如果（1）n喜=概m；（2）若慌，則蘿；（3）把極和罰作為餅集合紙看，藥則稱n元關(guān)礙系矩和m元關(guān)殼系墾相等魄，記金作獎(jiǎng)。1520愈23僻/6螺/2孫74.鴿2關(guān)系康的基剪本概刪念定義4.欣5對任望意集藏合A，定劫義A上的零全域林關(guān)系話和A上的姻等價(jià)垃關(guān)系苗為榴：1620友23賤/6廣/2堂74.縫2關(guān)系鍵的基搶本概魯念例4.襪7設(shè)據(jù)，求懷以下尤關(guān)系（1）（2）（3）（4）解：（1）（2）（3）（4）1720瀉23化/6充/2終7PART01多重滲序元抱與笛載卡爾君乘積主要辯內(nèi)容PA架RT01PART01關(guān)系系的基桿本概簽?zāi)頟A汗RT02PART01關(guān)系并的運(yùn)哈算PA妙RT03PART01關(guān)系光的性據(jù)質(zhì)PA釘RT04PART01關(guān)系艇的表族示PA臉RT05PART01關(guān)系艘的閉兼包運(yùn)悠算PA晃RT06PART01特殊散關(guān)系PA碧RT07PART01關(guān)系溫型數(shù)呼據(jù)庫PA陣RT0820重23紫/6脊/2綠7184.辛3關(guān)系垮的運(yùn)甜算關(guān)系銀作為哭序偶若的集疫合，校集合傷的運(yùn)狂算并偽、交濤、相創(chuàng)對補(bǔ)章、絕檔對補(bǔ)禍和對睬稱差校都可巧以作才為關(guān)萬系的堪運(yùn)算雙。除膜此之雨外，灣關(guān)系止特有免的基鞭本運(yùn)豪算還只有以南下七峰種。1920培23綢/6河/2類74.笨3關(guān)系沈的運(yùn)圈算定義4.伸6設(shè)R是二悼元關(guān)肢系（1）R中所砍有序贈(zèng)偶的顆第一戶元素磚構(gòu)成膛的集筑合稱瓶為R的定聾義域待，記壓作姥，翼其形容式化壞表示鼻為（2）R中所撲有序倡偶的損第二趕元素朵構(gòu)成拖的集蛾合稱丟為沉的值圾域，僅記作秒，遣其形瞎式化此表示失為（3）R的定究義域喬和值嶄域的價(jià)并集鳳稱為R的域且，記件作給，糞其形昌式化循表示找為2020賤23房誠/6倆/2百74.爐3關(guān)系疾的運(yùn)遠(yuǎn)算例4.孫8，則2120蓄23寬/6庭/2葬74.慘3關(guān)系假的運(yùn)團(tuán)算定義4.侄7設(shè)R是二柿元關(guān)冬系，干將R中每新個(gè)序納偶的哭第一薄元素助同第與二元爪素交剪換后輔所得鉆到的但關(guān)系廊稱為R的逆關(guān)南系，簡蛋稱R的逆，記酒作肯，其怖形式飲化表繁示為定義4.富8設(shè)F，G為二劇元關(guān)任系，G對F的右合午成記作六，其好形式竿化定脾義為2220俊23昏/6悉/2岸74.槽3關(guān)系未的運(yùn)抵算例4.護(hù)9設(shè)肅，城，則類似漫的也池可以嶺定義捉關(guān)系污的左武合成溉，即2320州23度/6喪/2內(nèi)74.紡3關(guān)系科的運(yùn)雨算定義4.獸9設(shè)R是二脂元關(guān)方系，A是集渣合（1）R在A上的限制記作步，其伶形式壩化定夾義為（2）R在A下的像記作跪，其扒形式慢化定捏義為不難懲看出殊是R的子熔關(guān)系重，而仍是獎(jiǎng)的子絮集。2420頃23棋/6看/2己74.狐3關(guān)系渴的運(yùn)喊算例4.怎10設(shè)舞，時(shí)則為了探使關(guān)墓系運(yùn)嚷算表牧達(dá)式扯更為簽簡潔告，我巧們對車關(guān)系挽運(yùn)算什的優(yōu)勸先級(jí)盛作了撞進(jìn)一誘步規(guī)蜻定：虛首先儉，關(guān)惕系運(yùn)權(quán)算中某的逆竿運(yùn)算棋優(yōu)先澡于其招他運(yùn)良算，從而所忌有關(guān)漠系特傾有的天運(yùn)算餐都優(yōu)啦先于蟻其從摸集合臟繼承鼠而得愿的運(yùn)揚(yáng)算，份最后統(tǒng)，對拒于沒煎有規(guī)扇定優(yōu)洞先權(quán)灑的運(yùn)烘算以爆括號(hào)騎決定烏運(yùn)算喇順序堵。2520鑄23幫/6敗/2血74.賠3關(guān)系忍的運(yùn)戀算定理4.槳1設(shè)F是任妥意關(guān)助系，渠則（1）（2）,定理4.舌2設(shè)F，G，H是任山意關(guān)狠系，針則（1）（2）2620若23耀/6絮/2服74.誓3關(guān)系公的運(yùn)酷算定理4.婆3設(shè)F，G為任奏意關(guān)董系，妄則（1）（2）定理4.住4設(shè)R為A上的陣關(guān)系泡，則2720驚23冰/6夜/2擔(dān)74.遣3關(guān)系驚的運(yùn)哀算定理4.豎5設(shè)F，G，H為任棋意關(guān)散系，既則（1）（2）（3）（4）2820校23柔/6錫/2弊74.不3關(guān)系案的運(yùn)杜算定理4.迫6設(shè)F為關(guān)勸系，A，B為集款合，滑則2920徐23跡/6廚/2疏74.進(jìn)3關(guān)系朵的運(yùn)誓算上述臣的對繡關(guān)系饞的合尸成運(yùn)毒算可雕以推述廣到容一般批情況漂。如楚果芹是康從會(huì)到鄉(xiāng)豐的關(guān)百系，裹是鏡從婦到談的獎(jiǎng)關(guān)系預(yù)，…，霸是從茫到銜的趕關(guān)系素，則痰無括戒號(hào)表介達(dá)式廁表狀達(dá)了亦從安到嶺的關(guān)獲系。秩特別牲，當(dāng)和鴉時(shí)，谷也就捷是說遇當(dāng)集普合A上的西所有巷都是掘同樣伐的關(guān)略系時(shí)總，A上的腫合成竟關(guān)系姥可表甘達(dá)成單，掛并稱幻玉作關(guān)系R的冪。3020酸23畏/6始/2蒸74.翁3關(guān)系溪的運(yùn)派算3120痰23爽/6輪/2始74.楊3關(guān)系肝的運(yùn)懼算3220縣23磨/6惹/2亭7PART01多重聲序元啊與笛派卡爾以乘積主要脈內(nèi)容PA吵RT01PART01關(guān)系咳的基銳本概掩念PA兆R(shí)T02PART01關(guān)系礎(chǔ)的運(yùn)尿算PA井RT03PART01關(guān)系漿的性議質(zhì)PA目RT04PART01關(guān)系殖的表漆示PA糧RT05PART01關(guān)系懸的閉羅包運(yùn)竹算PA苗RT06PART01特殊天關(guān)系PA險(xiǎn)RT07PART01關(guān)系袍型數(shù)刮據(jù)庫PA沈RT0820號(hào)23摟/6意/2恢7334.博4關(guān)系即的性氧質(zhì)定義4.駐11設(shè)R為集褲合A上的珠二元筒關(guān)系（1）若爺對每園個(gè)澆，葵皆有階，曾則稱R為自反分的。其攀形式述化表換示為R是自顫反的（2）若槐對每拉個(gè)站，蕉皆有寇，干則稱R為反自枕反的。其在形式?；砻仁緸镽是反萬自反轉(zhuǎn)的（3）對燥任意形的惰，撥若膏，同則內(nèi)，就譽(yù)稱R為對稱眉的。其超形式棒化表佛示為R是對茂稱的（4）對識(shí)任意擱的淹，邊若逆，沒且怖，則x=藏y，就嘗稱R為反對特稱的。其零形式原化表帝示為R是反奮對稱伍的3420杏23童/6坑/2膝74.貸4關(guān)系燙的性保質(zhì)定義4.隔11設(shè)R為集迅合A上的圾二元趴關(guān)系（5）對攝任意消的衰，刻若君且捏，互則葵就蓮稱R為可傳烘遞的。其暴形式拋化表市示為R是可施傳遞芝的（6）存怕在它，凝并且售而徒，已則稱R為不可英傳遞味的。其鐮形式封化表恩示為R是不利可傳屈遞的3520豬23宋/6江/2鉗74.妥4關(guān)系巾的性旁質(zhì)例4.員11考慮霞自然扶數(shù)集瓦合狀上的裳普通回相等奔關(guān)系植“＝遠(yuǎn)”，晌大于嚼關(guān)系等“＞望”和私大于定等于至關(guān)系夜“≥呆”，拒則顯跳然有（1）“半＝”智關(guān)系巡壽是自咽反的犁、對疼稱的妄、反券對稱下的、婆可傳疏遞的物。（2）“密≥”鞠關(guān)系桶是反鳥自反京的、皂反對膨稱的睜、可聞傳遞園的。（3）“漆≥”魄關(guān)系鼓是自霜反的屑、反攤對稱殲的、鋒可傳舊遞的呀。例4.仆12空集R上的坐二元知空關(guān)刑系顯風(fēng)然是邀自反茅的、刻對稱回的、招反對猾稱的蜓、反刷自反湯的、扇可傳閑遞的是。3620室23戴/6鋒/2廊74.概4關(guān)系視的性乒質(zhì)定理4.面10設(shè)R為A的二粉元關(guān)服系，古則（1）R在A上自橋反當(dāng)愧且僅罷當(dāng)（2）R在A上反控自反磁當(dāng)且直僅當(dāng)（3）R在A上對夸稱當(dāng)搶且僅醋當(dāng)（4）R在A上反臨對稱聽當(dāng)且虹僅當(dāng)（5）R在A上可技傳遞曲當(dāng)且桶僅當(dāng)3720慘23炭/6瓜/2蔽7PART01多重為序元徑與笛國卡爾陜乘積主要嗽內(nèi)容PA霉RT01PART01關(guān)系統(tǒng)的基淺本概址念PA群RT02PART01關(guān)系愈的運(yùn)巴算PA刊RT03PART01關(guān)系紅的性蠅質(zhì)PA伏RT04PART01關(guān)系校的表搏示PA首R(shí)T05PART01關(guān)系殺的閉靜包運(yùn)庸算PA爛RT06PART01特殊麗關(guān)系PA疲RT07PART01關(guān)系召型數(shù)牙據(jù)庫PA汁RT0820雅23努/6馳/2弦7384.罪5關(guān)系如的表齒示定義4.尤12設(shè)A和B為任抽意的餡非空納有限井集，R為任午意一紗個(gè)從A到B的二堪元關(guān)蓬系。肢以怕中陡的每堪個(gè)元危素為供結(jié)點(diǎn)蘿。對桐每個(gè)皆畫較一條樣從x到y(tǒng)的有粒向邊層，這閱樣得艘到的許一個(gè)權(quán)圖稱啞為關(guān)計(jì)系保的關(guān)系尼圖。例4.蔑14設(shè)借，延，從A到B的二遷元關(guān)廚系R為，于是蓄有39關(guān)系示圖R的關(guān)憂系圖20管23暑/6昂/2責(zé)74.葬5關(guān)系栽的表臭示可以顏看出碧關(guān)系市圖明捏確地健反映惕了關(guān)耍系的慘某些跪性質(zhì)菌。如串果關(guān)遇系柳是自發(fā)反的粗，則柿每個(gè)載結(jié)點(diǎn)永上都衛(wèi)有一荷條從堆自身漁出發(fā)遙又指蹦向自塞身的爆環(huán)邊拔；如巷果關(guān)嗓系是攀反自踐反的饑，則亦任何準(zhǔn)結(jié)點(diǎn)刊上部碰沒有疼帶環(huán)萍的邊共；如份果一惕個(gè)關(guān)弊系蘿既不膊是自無反的牙，也暫不是根反自吩反的婦，則糕在某業(yè)些結(jié)資點(diǎn)上裕有帶牛環(huán)的殼邊，王而在訊某些袖結(jié)點(diǎn)航上沒春有帶己環(huán)的睛邊。如果兩關(guān)系異是對脾稱的改，則疊從一膠個(gè)結(jié)陵點(diǎn)到拖另一拌個(gè)結(jié)陪點(diǎn)間確必定享有往麗返兩旦條弧天線。需如果攤關(guān)系歉是反碰對稱米的，擴(kuò)則在滲兩個(gè)垃結(jié)點(diǎn)虜間只仔會(huì)存禿在單鐵向弧浪線。40關(guān)系殺圖20鉛23由/6樸/2懶74.餅5關(guān)系宇的表餓示圖4.被2給出浮了具歉有各控種性橡質(zhì)的勉關(guān)系奧的關(guān)島系圖易。當(dāng)金集合暑中元功素的嬌數(shù)目件較大祥時(shí)，診關(guān)系營的圖澆解表磁示就甲不是槳很方義便了規(guī)，由聯(lián)于計(jì)拘算機(jī)銜上表然達(dá)矩哭陣并課不困嘉難，荷所以蚊我們聚試圖旦尋求猾關(guān)系呼的矩卡陣表灰示。41關(guān)系泛圖20回23給/6倡/2鋸74.跨5關(guān)系拉的表闊示定義4.刻13給定論兩個(gè)掩有限處集合龍和韻，R是從X到Y(jié)的二努元關(guān)要系。幫如果種有則稱雀是R的關(guān)系鼓矩陣，記幫作42關(guān)系地圖20腔23輛/6榨/2按74.咳5關(guān)系熊的表餃?zhǔn)?3關(guān)系匪圖20盾23俊/6立/2巖74.專5關(guān)系帳的表嫌示44關(guān)系拾圖20遷23司/6嚷/2春74.蒜5關(guān)系炊的表漫示45關(guān)系店圖20洗23止/6莖/2肉74.扣5關(guān)系顆的表睬示46關(guān)系寺圖20逼23勞/6裳/2暈7PART01多重診序元弟與笛召卡爾華乘積主要閥內(nèi)容PA惠RT01PART01關(guān)系吊的基派本概革念PA捕RT02PART01關(guān)系復(fù)的運(yùn)忌算PA管RT03PART01關(guān)系認(rèn)的性懷質(zhì)PA宴RT04PART01關(guān)系課的表蠶示PA借RT05PART01關(guān)系鼓的閉偽包運(yùn)套算PA勵(lì)RT06PART01特殊唇關(guān)系PA械RT07PART01關(guān)系尤型數(shù)忘據(jù)庫PA轟RT0820栗23痰/6迷/2嘴7474.傲6關(guān)系禮的閉小包運(yùn)拐算前面膚我們授已經(jīng)言介紹奶了如疊何使誼用關(guān)布系的物合成旺運(yùn)算弊去構(gòu)諒成新揉的關(guān)轟系，息下面爛我們錯(cuò)討論堵如何姿由給仁定的坊關(guān)系R構(gòu)成彼一個(gè)巷新的擱關(guān)系座并且樂和規(guī)應(yīng)具陪有某猶些性陰質(zhì)。把確構(gòu)保這寄些性導(dǎo)質(zhì)的絹那些或序偶稍補(bǔ)充舌到R中去黎就可掙構(gòu)成針。給夜定一學(xué)個(gè)二輸元關(guān)江系繭，世它規(guī)址定了述局部瘡的性下質(zhì)，阻希望兄求得厭的是顏具有趨全面閃性質(zhì)要的另姑一個(gè)披二元倍關(guān)系床。廚例如挖，由R構(gòu)成暢一個(gè)結(jié)可傳馳遞關(guān)肥系慌。在日稿常家秩族關(guān)匠系中蝴也有域類似諸的情功形。婆如果R是個(gè)俗父子控關(guān)系辮，則歡可能港是個(gè)歲祖先擾關(guān)系手；如窮果R是個(gè)宵子父腥關(guān)系攤，則渠可債能是貫個(gè)后舟代關(guān)所系。4820的23鄭/6乒/2蝦74.敗6關(guān)系態(tài)的閉苗包運(yùn)襖算定義4.宿14給定粘集合A，R是A上的壯二元碎關(guān)系水。如販果有另另一役個(gè)關(guān)奧系診滿喘足（1）費(fèi)是自肅反的畝（對祖稱的沉、可栗傳遞恐的）瘡。（2）愿。（3）對窄于任烤何自詠反的(對稱服的、覽可傳弟遞的)關(guān)系偵，如肯果有作，眼則凳，岔則稱努關(guān)系胖為黃的自反壞的（菌對稱攀的，厘可傳敢遞的騰）閉灶包。并造用鑄表示師的自介反閉荒包，窗用壤表藍(lán)示裙的對逮稱閉腹包，悠用獨(dú)表示的可菜傳遞術(shù)閉包兼。4920暗23加/6貼/2套74.毅6關(guān)系或的閉禁包運(yùn)氏算定理4.贊11給定辰集合X，R是X上的沫關(guān)系穿。于娃是可罩有（1）R是自反軟的當(dāng)且旅僅當(dāng)（2）R是對稱胡的當(dāng)且辱僅當(dāng)（3）R是可傳臟遞的當(dāng)且濕僅當(dāng)定理4.棋12設(shè)R是琴Ａ環(huán)上的誓二元宵關(guān)系下，則梳有（1）（2）（3）5020肺23獄/6窯/2吐74.研6關(guān)系敵的閉摘包運(yùn)描算不難揉看出標(biāo)，整梁數(shù)集諸合Ｚ通中，連小于皺關(guān)系姐“哥＜”咸的自昆反閉悉包是兔“襖”，攀對稱孝閉包朵是不陽等關(guān)肥系“濁”?。缓惚牭汝P(guān)賊系射的自膏反閉賀包是敵；對謹(jǐn)稱閉皂包是濱；刪不等亂關(guān)系助“耀”的蹈自反猜閉包厭是全屋域關(guān)疲系，權(quán)對稱膨閉包鋼是不令等關(guān)私系“岔”；當(dāng)空關(guān)熱系的豈自反資閉包處是恒千等關(guān)筑系拌，對柄稱閉辟包是丙空關(guān)嫂系。5120閑23池/6百/2噴74.析6關(guān)系嗓的閉蔬包運(yùn)鞭算例4.稅20給定弦集合獎(jiǎng)，居和晉是A上的益關(guān)系厲，試水求出仁和址，并哈畫出廁相應(yīng)智的關(guān)勒系圖歲來。解：關(guān)系R，S及其賓傳遞洋閉包榆，臂的皂關(guān)系漂圖如倦圖4.笑6所示旦。5220肚23毒/6塔/2狐74.論6關(guān)系壇的閉愛包運(yùn)旅算定理4.驕13設(shè)X是含霉有n個(gè)元洽素的脊集合民，R是X上的盈二元千關(guān)系序。于命是可粱有例4.狠21設(shè)集劑合慎，R是X中的希二元住關(guān)系缸，R的關(guān)睜系圖灣如圖4.愉7所示躬，試用畫出R的可慈傳遞狠閉包謊的殿關(guān)系朽圖。解：R的可感傳遞詢閉包艇的關(guān)跟系圖渠如圖4.鋸8所示蔽。53圖4.按7群R的關(guān)待系圖圖4.狠8雷t噸(R質(zhì))的關(guān)探系圖20勁23藝/6惹/2款74.扒6關(guān)系牙的閉深包運(yùn)俯算定理4.胸15設(shè)A是集電合，R是集殺合A上的害二元男關(guān)系繼。于販?zhǔn)强删┯校?）（2）（3）5420刑23徒/6仆/2毀7PART01多重羨序元截與笛胃卡爾地乘積主要吹內(nèi)容PA并RT01PART01關(guān)系貞的基宰本概尺念PA視RT02PART01關(guān)系肯的運(yùn)染算PA法RT03PART01關(guān)系碰的性傘質(zhì)PA璃RT04PART01關(guān)系繁的表摘示PA鋒RT05PART01關(guān)系駛的閉呼包運(yùn)孟算PA償RT06PART01特殊防關(guān)系PA泉RT07PART01關(guān)系斬型數(shù)幅據(jù)庫PA挨RT0820鵲23靠/6楊/2棄7554.撇7特殊仇關(guān)系定義4.思15給定懸非空彩集合S，及恭非空為集合糾，訂如果速有（1）（2）則稱盞集合A是集塔合S的覆蓋。例如摟，設(shè)勿集合版，熱并且坦給定S的各四子集是的集濤合快和的；顯跌然集語合A和集慎合B都是凈集合S的覆啄蓋。染即覆掀蓋不地唯一。56集合室的覆屬蓋20救23蔥/6摸/2扒74.膨7特殊聚關(guān)系定義4.康16給定皆非空斃集合S，及陽非空問集蛋，趁如果掛有（1）（2）冬或（3）則稱肢集合A是集賤合攜的一討個(gè)劃分。劃訓(xùn)分中刷的元拉素浙稱宋為劃游分的類。如獲果劃械分是拳個(gè)有齒限集獅合，望則劃虧分的秩是劃加分的鄭類的椒數(shù)目開。若蘭劃分拒是個(gè)妨無限祖集合共，則儲(chǔ)劃分竄的秩胸是無小限的滴。劃撥分是步覆蓋讓的特倉定情睡況，拒即A中元觸素互郊不相愚交的義特定寄情況肅。57集合嘉的劃辯分20晉23宮/6嘆/2勻74.廢7特殊昆關(guān)系例如設(shè)者，都試考勝察S的各幟子集豎的下梢列集險(xiǎn)合。顯然裕集合A和B是S的覆住蓋，濫當(dāng)然C，D，E也都朱是S的覆烘蓋；則同時(shí)C，D，E也還黎是S的劃慰分，擊并且C的秩善是2，D的秩滋是1，E的秩畏是3；而F既不螞是覆慣蓋也占不是霉劃分叮；集幟合S的最反大劃喚分是傾以S的單握個(gè)元蚊素為最類的烤劃分隊(duì)，如元上面紫的E；S的最濟(jì)小劃兄分是銷以S為類繳的劃賺分，稀如上匠面的D。58集合灶的劃懇分和枕覆蓋20旋23例/6殺/2腥74.億7特殊叔關(guān)系定義4.伐17設(shè)A和用是非穿空集躺合S的兩寧種劃灣分，樸并可們表示難成如果統(tǒng)的每永一個(gè)泡類足，都可是A的某夜一個(gè)樂類謎的況子集塑，則箱稱劃雨分插是劃瓶分A的加細(xì)，并軟說成訊是雪加細(xì)旋了A。如袖果慰是A的加什細(xì)和革，狐則稱嚴(yán)是A的真加蚊細(xì)。劃分嚼全集E的過錫程，礎(chǔ)可看及成是攏在表漲達(dá)全滔集E的文拆氏圖嚼上劃謹(jǐn)出分烈界線罪的過網(wǎng)程。大設(shè)A，B，C是全國集E的三禾個(gè)子解集。拆由A，B和C生成獸的E的劃纖分的勞類，嶺稱為極小縮慧項(xiàng)或完全宵交集。對充于三晶個(gè)子迅集A，B和C來說慘，共排有甩個(gè)獨(dú)極小葡項(xiàng)，廉分別應(yīng)用意來表缸示。59集合滋的劃農(nóng)分和話覆蓋20烏23耍/6壁/2檔74.斤7特殊傭關(guān)系由圖4.９可軍知并且蜜是蹄互不拘相交挎的，一般描情況快，如翼果憲是全乒集E的n個(gè)子刮集，饞則由張這n個(gè)子凡集能殿夠生征成拉個(gè)極補(bǔ)小項(xiàng)擺，分監(jiān)別用雀來表炸示它來們。棉這些若極小瞞項(xiàng)互隸不相件交，鑒并且瞇并起珍來等闖于全凈集E。60集合梳的劃字分和勾覆蓋20件23頓/6畫/2傘74.叔7特殊泊關(guān)系定義4.托18設(shè)X是任幸意集騎合,殿R是集剪合X中的準(zhǔn)二元介關(guān)系棉。如爬果R是自斑反的芹、對畏稱的音和可寄傳遞損的，攪也就李是說,如果炭有（1）（2）（3）則稱R是等價(jià)獨(dú)關(guān)系。如果R是集序合A上的憂等價(jià)押關(guān)系帶，則R的定勻義域瘋是耗集合A自身傳，所毛以稱R是定獄義于甚集合A上的渾關(guān)系獄。實(shí)繳數(shù)集臭合中奏數(shù)的犬等于饅關(guān)系株，全廣集的晉各子最集間柴的相姨等關(guān)評系，暴命題鈔集合在中等叢價(jià)命繞題間音的恒浩等關(guān)先系等碑，都帳是等上價(jià)關(guān)仍系。61等價(jià)宇關(guān)系20病23份/6土/2蠶74.伸7特殊島關(guān)系例4.徐22給定季集合疫，R是A上的蔥二元驕關(guān)系頑，并吳且R給定孩成，管試證搜明R是一款個(gè)等讓價(jià)關(guān)移系，岡并畫油出R的關(guān)竟系圖炭和寫滴出R的關(guān)趴系矩加陣。解：R的關(guān)獸系矩錫陣如割下：在圖4.偶10中給膛出了R的關(guān)詞系圖賓。由R的關(guān)沉系矩脫陣和仿關(guān)系顧圖可肢以看威出，R是等滑價(jià)關(guān)券系。62等價(jià)及關(guān)系R的關(guān)纖系圖20惱23蹲/6癢/2玩74.碼7特殊彈關(guān)系設(shè)繼是贈(zèng)正整何數(shù)集絞合，m是正慌整數(shù)乏。對味于超來說湯，嬌可將R定義嘆成這里昨，“旅”松等價(jià)卸于命靜題“確當(dāng)用m去除x和y時(shí)，吹它們艦都有盒同樣扛的余濕數(shù)”危。故狂關(guān)系R也稱芹為模m同余類關(guān)系。63等價(jià)奇關(guān)系20令23師/6版/2恒74.石7特殊堅(jiān)關(guān)系定義4.貸19設(shè)m是個(gè)蒸正整即數(shù)和折。如梢果對廈于某肆一個(gè)腦整數(shù)n，有,則稱x模等搖價(jià)于y，并烤記作整數(shù)m稱為等價(jià)姓的模餅數(shù)。顯然儲(chǔ)，這浩里是瞎用“鏈”表呆示模m等價(jià)開關(guān)系R。定理4.酷17任何花集合存中破的模m相等沒關(guān)系是一勿個(gè)等項(xiàng)價(jià)關(guān)夢系。64等價(jià)辦關(guān)系20疏23哪/6袍/2顯74.濫7特殊后關(guān)系定義4.豬20設(shè)R是集膠合A上的杠等價(jià)姨關(guān)系掀：對辜于任愛何澆來說亂，可秤把集撥合印規(guī)定飄成并稱遣它是象由x關(guān)于R的等價(jià)閉類。為了救簡單京起見自，有籠時(shí)也染把沉就寫劑成岸或蟻。乳不難阿看出白，集股合應(yīng)是腿由集番合A中與x有等熱價(jià)關(guān)田系R的那悄些元勉素所榨組成擇的。65等價(jià)玩類20走23幕/6釣/2尼74.證7特殊毀關(guān)系例4.孤23設(shè)心，R是A上的挨等價(jià)紙關(guān)系辦，并亦把R給定挪成試畫走出等贈(zèng)價(jià)關(guān)門系圖待，求停出A中各洲元素佩關(guān)于R的等親價(jià)類聾。解：憐等價(jià)叨關(guān)系嘴如圖4.淚11所示旨。由元等價(jià)春關(guān)系正圖不胸難看項(xiàng)出圖4.艦11等價(jià)蹲關(guān)系臘圖66等價(jià)輛類20閉23遠(yuǎn)/6消/2桿74.書7特殊膨關(guān)系定理4.衣18設(shè)A是一潔個(gè)集崗合，R是A上的綢等價(jià)留關(guān)系輕。如蒸果偵，堵則定理4.謊19設(shè)R是集行合A上的轟等價(jià)狹關(guān)系陷。于沸是可勇有（1）對淡于所笑有的隸，或員者半或寺者仍。（2）67等價(jià)笨類20議23乒/6炸/2鳴74.墓7特殊積關(guān)系定理4.薦20設(shè)R是非泰空集淡合A上的捷等價(jià)冷關(guān)系稀。R的等處價(jià)類哪的集櫻合是A的一挑個(gè)劃折分。嫌根據(jù)殘定理4.縮慧18和定布理4.已19就能曾夠證算明此敗定理控。此派定理截說明嫌非空駱集合錦的劃借分和軌集合盯中的搞等價(jià)籃關(guān)系濤之間警，存濁在一漿種自煌然對者應(yīng)關(guān)頂系。定義4.秀21設(shè)R是非硬空集輔合A上的紅等價(jià)婚關(guān)系幅。以R的所啊有等鉗價(jià)類坐作為省元素和的集仰合禁稱猾為S關(guān)于R的商集，記蒼作陰，也艷可寫踢成68商集20覺23民/6肆/2似74.螞7特殊縱關(guān)系下面目來考似察集宜合A中的體兩個(gè)畜特殊臟等價(jià)算關(guān)系腔：全蜻域關(guān)豆系鼓和恒著等關(guān)裳系淋。圈顯然茂這兩金種關(guān)父系都曉是A上的糞等價(jià)攪關(guān)系箏。由愁全域頃關(guān)系挨所生韻成的咽商集要僅真包含艱一個(gè)拌元素A，而帥由恒獅等關(guān)貫系所盯生成菊的商浙集棒中的悼每個(gè)緊元素殺都是壇由A中的柿單個(gè)續(xù)元素條所組緩成的撒。絡(luò)所對叢應(yīng)的介劃分握是A的最屑小劃坊分，盤所對弓應(yīng)的但劃分私是A的最恭大劃事分。焦這兩狹種劃漂分被德稱為A上的平凡振劃分。6920液23領(lǐng)/6鍋/2冊74.塔7特殊嗽關(guān)系例4.柿24令R是整值數(shù)集名合Z中的乖“模3同余夫”關(guān)售系，R可給牛定成試求Z的元保素所忽生成跪的R等價(jià)技類。解：俘等價(jià)娘類是70等價(jià)排類20抄23恥/6管/2膜74.秤7特殊筍關(guān)系定理4.啊21設(shè)C是非洪空集責(zé)合A的一乏個(gè)劃骨分，除則由齡這個(gè)塌劃分他所確潛定的柔下述隱關(guān)系R：必定診是個(gè)滾等價(jià)尼關(guān)系嚷，并融稱R為由悼劃分C導(dǎo)出趟的A上的滅等價(jià)賞關(guān)系筋。71等價(jià)鑄類20唯23婦/6移/2矩74.順7特殊麥關(guān)系72等價(jià)薯類20搬23敬/6殲/2質(zhì)74.索7特殊販關(guān)系定義4.諷22給定饅集合A中的杜二元?jiǎng)濌P(guān)系R，如勉果R是自暖反的銅、對去稱的鞭，則教稱借是相容和關(guān)系。也浸就是少說，趙可以臥把鵝規(guī)定俱成：（1）（2）顯然蠟，所病有的最等價(jià)亞關(guān)系邪都是終相容格關(guān)系蝴，但肯相容閱關(guān)系芹并不鍋一定哀是等育價(jià)關(guān)衰系。努下面浪舉例織說明乖相容樸關(guān)系繳。設(shè)集緒合屆，A中的販關(guān)系不難合看出R是自甩反的校和對抓稱的釣，因龜此R是個(gè)昨相容艱關(guān)系淺。如辯果，古，則捉稱x和y是相休容的蜜。73相容僅關(guān)系20譯23艘/6燃/2均74.鄙7特殊莊關(guān)系令宜，爆，欣，櫻，鼻。這王里洞并往且東但兩，即島該相輪容關(guān)爹系不銀是可肺傳遞蕩的。聲把R寫出濱來是乒：圖4.機(jī)12給出首了該盞相容忌關(guān)系R的圖夕。由于躬相容券關(guān)系抽的自朱反性筐和對揭稱性球，關(guān)嗎系圖躺中的千所有較結(jié)點(diǎn)疊上都裁有環(huán)察邊；的有相儉容關(guān)階系的賺兩個(gè)速結(jié)點(diǎn)芽間都刮有往泡返弧穩(wěn)線。板如果幫找們綠刪除鳥全部駐結(jié)點(diǎn)桐上的飛環(huán)邊呈，并心且用角一條牛直線量取代爆兩結(jié)外點(diǎn)間霞的兩圾條弧多線，染這樣監(jiān)就可禍以把嘉圖4.平12化簡堤成圖4.劫13。74相容雷關(guān)系20紙23馬/6示/2丹74.觀7特殊專關(guān)系還可祝寫出最該關(guān)來系R的矩者陣如會(huì)下：由于款相容原關(guān)系童是自喇反的哈，因貧而矩謠陣對亮角線寒上的勤各元授素都數(shù)應(yīng)是l；相孩容關(guān)賞系是枯對稱勤的，懷所以料矩陣振關(guān)于釋主對品角線紗也是陽對稱敢的。墨這樣煌，僅鄰給出懷關(guān)系的矩陣味下部鏈的三象角形泛部分招也就碑夠了辜。簡瓶化后怪的關(guān)劃系矩施陣如妨圖4.絮14所示令別，妨和雄。在集節(jié)合缺，煩和奴中，與同一清個(gè)集繼合內(nèi)群的元即素都陰是相榜容的佩。這夜些集絞合的計(jì)并集挪就是蓬給定胃的集淹合X，亦藍(lán)即添。綿因此川，集賴合粘定義梳了集虜合X的一忽個(gè)覆雜蓋，劫但它驢不能剝構(gòu)成膠集合杏的一旦個(gè)劃察分。75相容芝關(guān)系20晌23陽/6轎/2優(yōu)74.泉7特殊袋關(guān)系定義4.亭23設(shè)哭是集蒸合X中的竊相容滿關(guān)系熄。假雄定防。如路果任葬何一躬個(gè)濃，久都與素其他慣所有騎的元督素有搶相容亡關(guān)系碑，而華中碗沒有士能與A中所喚有元惕素都捎有相滾容關(guān)骨系的賤元素哭，則垮子集仆稱為最大韻相容讀類。尋找床最大歷相容饞類的弓方法族有兩航種：關(guān)系還圖法和關(guān)系晶矩陣膛法。76最大凱相容丘類20止23滾/6賞/2紛74.慣7特殊傷關(guān)系關(guān)系體圖法胸。關(guān)系箭圖法懶的實(shí)直質(zhì)在揉于尋隙找出翁“最來大完輕全多抗邊形蘋”。杠所謂徒最大凝完全蘿多邊則形，鋤系指油每一息個(gè)頂艦點(diǎn)都奮與其嚼他所汽有頂貫點(diǎn)相旨連結(jié)督的多營邊形淹。（1）集員合中旨僅關(guān)觀系到默它自怕身的沒結(jié)點(diǎn)乒，是宜一個(gè)鋪?zhàn)畲笮焱耆嵌噙吀鹦?。?）不淘都與濕其它酷的結(jié)襪點(diǎn)相廉連接牢的一倦條直失線所壟連接寄的兩侵個(gè)結(jié)段點(diǎn)構(gòu)謎成一侍個(gè)最捧大完敗全多進(jìn)邊形免。（3）三飼角形撐的三鑼個(gè)頂濫點(diǎn)構(gòu)未成一緩個(gè)最穗大完拉全多摸邊形齊，對情角線淘相連賣的四規(guī)邊形鐮的四懇個(gè)頂袖點(diǎn)構(gòu)帆成一襪個(gè)最吼大完糾全多艱邊形丘，正遇五角暗星的拼五個(gè)做頂點(diǎn)推構(gòu)成陜一個(gè)絞最大醒完全腸多邊日形，宿正六容邊形著的六毯個(gè)頂效點(diǎn)也孔是一惜個(gè)最椒大完邀全多右邊形倦。一牲個(gè)最當(dāng)大完介全多泊邊形踢對應(yīng)袍一個(gè)皂最大故相容傅類。77關(guān)系偵圖法20縮慧23盈/6專/2櫻74.殖7特殊懇關(guān)系例4.胃27在圖4.揀15中，步給出墊了兩聰個(gè)相盈容關(guān)樹系圖書。試早求出殃它們英的所飄有最剃大完輪全多深邊形,并求前出與叉它們臺(tái)相應(yīng)蛙的最清大相偏容類績。解：殲圖（a）的菌最大服完全軌多邊雀形有緒：四劈燕邊形12奶34線段25，36和56；與忍它們尾相應(yīng)獨(dú)的最竹大相業(yè)容類松分別振是：{1，2，3，4}，{2，5}，{3，6)，{5，6}。圖皇（b）的健最大殖完全度多邊捎形有乒：三命角形12黃3，13盜6，35禽6和孤絨立結(jié)柱點(diǎn)4；與姨它們桶相對臘應(yīng)的杠最大爆相容刻類分噸別是亡：{1，2，3}，{1，3，6}，{3，5，6}和{4嘩}。圖4.震15相容灰關(guān)系流圖78關(guān)系減圖法20什23扁/6穩(wěn)/2威74.舟7特殊械關(guān)系關(guān)系明矩陣涂法。首先址制定爛簡化歌了的朱關(guān)系帶矩陣舌，繼高之按沖下列保步驟貓求出逐各最國大相脅容類萬。（1）僅燒與它產(chǎn)們自畏身有買相容孝關(guān)系眼的那羨些元鋸素，廳能夠脖分別縣單獨(dú)戴地構(gòu)善成最貫大相舌容類膛，因半此從杠矩陣蒜中刪束除這額些元訴素所晌在的營行和悉列。（2）從騙簡化村矩陣疊的最趣右一童列開嫩始向毒左掃租描，偽直到剛發(fā)現(xiàn)測至少采有一墊個(gè)非賀零記卷入值候的列鍬。該只列中榴的非海零記第入值船，表醋達(dá)了籠相應(yīng)蕉的相姥容偶尤對。社列舉夕出所墨有這慘樣的匠偶對拉。（3）繼僅續(xù)往蹦左掃跌描，期直到日發(fā)現(xiàn)癢下一狼個(gè)至舍少有皂一個(gè)回非零錄記入此值的扯列。求列舉神出對腿應(yīng)于億該列紋中所薦有非估零記大入值行的相憂容偶經(jīng)對。諒在這儲(chǔ)些后影發(fā)現(xiàn)錄的相耀容偶寄對中轎，如掀果有旁某一喇個(gè)元昌素與淚先前伸確定男了的幟相容浮類中血的所創(chuàng)有元冶素都常有相誼容關(guān)渡系，樂則將仗此元花素合必并到餃該相凡容類億中去雪；如炕果某跪一個(gè)常元素知僅與訓(xùn)先前走確定散了的擾相容貪類中獨(dú)的部怒分元章素有貸相容定關(guān)系路，則至可用槳這些騎互為撞相容賞的元令素組渣成一矮個(gè)新核的相維容類焰。刪盒除已碰被包孫括在躲任何步相容桃類中通的那察些相店容偶思對，堂并列腿舉出此尚未回被包路含在橡任何惠相容插類中嶼的所豪有相刺容偶理對。（4）重東復(fù)步丑驟（3），需直到李掃描爭過簡恰化矩韻陣的洪所有授列。最后桂，僅脾包含災(zāi)孤立穿元素憤的那壩些相捉容類配，也攝是最歐大相輔容類買。79關(guān)系鍋矩陣勸法20最23憤/6魂/2香74.弟7特殊糾關(guān)系例4.有29與圖4.古15（b）中病的相衛(wèi)容關(guān)法系圖漲相對退應(yīng)的消簡化鳴矩陣艷如下贊圖所摧示，射試求寶各最撫大相員容類賠。解：逗這里飽結(jié)點(diǎn)4是個(gè)喉孤立您結(jié)點(diǎn)娛，故鎮(zhèn)在矩汪陣中擇刪除擇了相檢應(yīng)的兩行和繼列。趴根據(jù)圾步驟湖（2）和哪（3）可畢有：（a）{鑄4已}（b）{券4嫂}，{申5，6區(qū)}（c）{罵4見}，{攝5，6己}，{什3，5岡}，{袖3，6鳳}，合宇并后雅有{彩4僑}，{押3胃,鄰5桿,貌6復(fù)}（d）{參4草}，{工3，5，6生}，{隔2，3行}（e）{晶4騎}，{放3，5，6貢}，{尸2，3外}，{減1，2槐}，{才1發(fā),眨3原}，{傭1，6犯}，合蛾并后嘴有{煎4凳}，{遇3啟,灣5燃,億6豆}，{興1，2，3客}，{禮1絕,閣3，6袖}這些內(nèi)相容友類都參是最掘大相慢容類鼓。80關(guān)系熊矩陣獸法20栗23貝/6元/2雙74.懷7特殊伯關(guān)系定義4.撥24設(shè)R是集哪合A上的寇二元慌關(guān)系六。如炭果R是自住反的哲、反肚對稱通的和細(xì)可傳皮遞的如，亦趟即有（1）（2）（3）則稱R是集許合A中的偏序挽關(guān)系，簡幻玉稱偏序。序序偶<A黎,≤應(yīng)>稱為偏序睜集合。這里踩用符顫號(hào)“儀≤”癢表示氏偏序化。這換樣，計(jì)符號(hào)暗“≤況”就界不單掏純意農(nóng)味著山實(shí)數(shù)睜中的瓣“小助于或陪等于跡”關(guān)坑系。遙事實(shí)少上，徐這是翠從特忠定情卵況中追，借判用符洽號(hào)“塊≤”皇去表悲示更門為普燈遍的躁偏序蓮關(guān)系尚。對裙于偏旅序關(guān)百系來堡說，風(fēng)如果參有生且x≤y，則鄙按不腹同情拍況稱焰它是筑“x小于悲或等照于y”，槐“y包含x”，恭“x在y之前宜”等柴等。81次序描關(guān)系20產(chǎn)23東/6億/2盾74.蛙7特殊館關(guān)系設(shè)R是實(shí)頓數(shù)集睛合。探“小洪于或帖等于拼”關(guān)捕系≤乒是R中的蓮偏序伸關(guān)系濫；這億個(gè)關(guān)姐系的憂逆關(guān)曠系“調(diào)大于夾或等定于”烤關(guān)系售≥也銷是話中的抓偏序赤關(guān)系晴。設(shè)講是A的冪雷集，拘亦即X是A的子迅集的窩集和脹。X中的驗(yàn)包含演關(guān)系偶，是朋個(gè)偏禽序關(guān)桑系；天這個(gè)種關(guān)系宮的逆簡關(guān)系江也是翁個(gè)偏擁序關(guān)養(yǎng)系。設(shè)詠是正透整數(shù)亮集合懲，且,當(dāng)且斧僅當(dāng)敞存在z，能雄使玻，才折有“x整除y”(可寫陣成x|競y)，換亭言之巡壽，“y是x的整薯倍數(shù)沫”。跡“整處除”掙和“猶整倍屢數(shù)”步互為國逆關(guān)鑒系，喬它們撓都是旨中憂的偏存序關(guān)納系。82次序榨關(guān)系20凝23薪/6濁/2澡74.凈7特殊樓關(guān)系例4.藏30設(shè)參，控≤是拘中摩的“姿整除恐”關(guān)書系。咐試表享達(dá)出悔“整拿除”幼和“獻(xiàn)整倍瘦數(shù)”億關(guān)系京。解：北“整決除”患關(guān)系喊≤可隊(duì)規(guī)定昂成≤“整頌倍數(shù)抄”關(guān)奧系是命≥≥實(shí)數(shù)賓集合R中的勢“小晝于“遇關(guān)系<和“批大于尖”關(guān)莊系>，都潛不是畜偏序端關(guān)系氧，因止為它獻(xiàn)們都忽不是度自反彈的。較但它麥們是限實(shí)數(shù)滅集合紹中的欺另一哪種關(guān)外系——擬序必關(guān)系。83次序樸關(guān)系20便23悅/6婦/2賽74.蜜7特殊珍關(guān)系定義4.術(shù)25設(shè)R是集希合A中的廈二元探關(guān)系神。如統(tǒng)果R是反根自反妖的和器可傳因遞的襪，亦莫即有（1）（2）則稱R是擬序著關(guān)系，并抓借用勿符號(hào)成“<”表批示鉛。在上聾述定唉義中宇，沒陜有明課確列艙舉反魚對稱斑性的任條件伏，事碗實(shí)上鬼關(guān)系<若是翅反自份反的維和可雕傳遞具的，俘則一煮定是航反對火稱的茶，否脈則會(huì)排出現(xiàn)郵矛盾蹈。這極是因紡為，賀假定x<斗y和y<能x，因米為<是可酷傳遞押的，易可得福出y<庸x，而<是反羞自反叉的，袖故<總是糟反對最稱的板。根據(jù)肆偏序泡關(guān)系懇和逆級(jí)序關(guān)禿系的減定義庫，不訴難得駝出實(shí)數(shù)胳集合吵中的摘小于抬關(guān)系<和大峰于關(guān)仁系>都是鹿擬序獅關(guān)系烤。子欠集的瘋集合織中的川真包中含關(guān)犬系雄和謹(jǐn)都是市擬序栗關(guān)系偉。84次序瞎關(guān)系20棉23襯/6回/2砍74.幟7特殊綠關(guān)系定理4.滑22設(shè)R是集鹿合A上的樂二元欺關(guān)系嘉。于翁是可誕有（1）如仔果R是個(gè)脹擬序吸關(guān)系鞠，則悉是瓶一個(gè)桿偏序咐關(guān)系敗。（2）如速果R是個(gè)肝偏序肅關(guān)系瓜，則待是個(gè)飼擬序指關(guān)系車。定理4.狂23設(shè)<怨A,≤>是個(gè)取偏序放集合脅。如破果對風(fēng)于每尼一個(gè)蠻，或鬧者狠或者達(dá)，蹄亦即則稱宣偏序村關(guān)系擴(kuò)≤是全序決關(guān)系簡稱全序，序欠偶<少A,≤>稱為全序淋集合。A中具廈有全逢序關(guān)諷系的盡各元伶素，沸總能闊按線帆性次滋序爛排列象起來拾，這葉里當(dāng)繪且僅局當(dāng)i≤j，才帳有侮≤,故全壤序也稅稱為簡單抹序或線性內(nèi)序，因偽此，支序偶<彼A,≤>在這甩種情稿況下幟也被繁稱為線性漁序集或鏈。85次序害關(guān)系20無23印/6運(yùn)/2蛙74.善7特殊宮關(guān)系設(shè)≤兔是集騎合P中的浮偏序袋關(guān)系姿。對非于桌，繁如果芹有x≤y或y≤x,則A中的械元素x和y稱為可比陡的。在脈偏序紹集合更中，圓并非僻任何趣兩個(gè)眉元素x和y都存粥在有x≤y或y≤x的關(guān)彼系。兆事實(shí)科上，酸對于獸某些x和y來說憶，x和y可能碌沒有坡關(guān)系秋。在奶這種牲情況低下，廣稱x和y是不可炕比的。正智是由涂于這佛種原踩因，賊才把求≤稱捆作“檔偏”濁序關(guān)拾系。荒在全椅序集產(chǎn)合中析，任調(diào)何兩仁個(gè)元命素都晌是可治比的貢。設(shè)R是實(shí)湊數(shù)集貢合，a和b是R的元噴素。斜對于啄每一扮個(gè)實(shí)灑數(shù)a，設(shè)申和S是集摔合并慕且言≥0忽}。如負(fù)果a<尼b，則遣，職因此算是一危個(gè)全添序集鄰合。手如果A是個(gè)蕩含有聰多于爛一個(gè)眨元素技的集可和，朋則劉不是部一個(gè)即全序怨集合鼻。例告如，白設(shè)置，收于是86次序細(xì)關(guān)系20孫23熔/6炮/2種74.很7特殊霧關(guān)系設(shè)R是實(shí)煙數(shù)集須合且性。申假定R上的把關(guān)系當(dāng)是否一般蹲的“調(diào)大于吩或等希于”陷關(guān)系復(fù)。對乳于P中的棒任何縱兩個(gè)劃序偶戶和釘，鹿可以癢定義流一個(gè)灣關(guān)系S如果膨，泰則有,因此S是P中的傳全序憤關(guān)系溜。并前稱它知是字母帝次序始關(guān)系或字母億序。例亦如，爽試考君察下昆列序遠(yuǎn)偶可以貍看出泳，這誕些序蝕偶之畝間有攀字母石次序膝關(guān)系筍。87次序蛋關(guān)系20賣23告/6可/2秒74.傭7特殊突關(guān)系定義4.扭26設(shè)<A捉,≤>是一物個(gè)偏馬序集灑，如均果對鏈任何夜，x≤y和鉛，而饑且不通存在悄任何攜其他積元素款能注使x≤z和z≤y，即(屋x≤頸≤z≤暑成立壇，則控稱元良素y蓋覆x。在哈燭斯圖巧中，穴用小樓圈表驅(qū)示每栽個(gè)元巴素。叮如果廳有歌，且x≤y和嶼，則伯把表兵示x的小鎮(zhèn)圈畫坑在表鑼示y的小書圈之位下。攜如果y蓋覆x，則將在x和y之間擁畫上蠻一條聞直線陸。如嗓果x≤y和耀，鳳但是y不蓋副覆x，則涌不能然把x和y直接動(dòng)用直側(cè)線聯(lián)婚結(jié)起恭來，鼠而是闊要經(jīng)袋過A的一堵個(gè)或圣多個(gè)虧元素危把它孟們聯(lián)壩結(jié)起諒來。字這樣痛，所睛有的雙邊的舊方向焰都是槽自下酸朝上慨，故靠可略桑去邊亂上的遭全部桑箭頭畢表示濁。88偏序重集20懷23惹/6桌/2感74.爭7特殊瓣關(guān)系例4.羞32設(shè)集朋合梳，≤瞎是X上的未偏序島關(guān)系彈。并炎定義罪成：涉如果x整除y，則x≤y。試油畫<鼻X接,≤>的哈坑斯圖役。解：潤在圖4.托19給出拍了整吹除關(guān)某系的鴨哈斯宇圖。例4.樂33設(shè)集蚊合斤，傷是它糊的冪帖集。侄的元封素間猾的偏癢序關(guān)淚系≤僚是包馳含關(guān)主系喘。償試畫隨出襖≤>的哈廉斯圖兔。解：股在圖4.金19中給誓出了瓜≤岸的護(hù)哈斯詞圖89哈斯揀圖圖4.沸19整除雕關(guān)系冬的哈高斯圖圖4.觀2020姨23脂/6魔/2獲74.敲7特殊春關(guān)系定義4.里27設(shè)<P稅,≤>是一飛個(gè)偏頌序集央合，驅(qū)并有租，（1）若技成立抹，則腫稱元左素y為Q的最小厘元，通圍常記上作0。（2）若努成立野，則鍛稱元?jiǎng)h素y稱為Q的最大白元，通彼常記壩作1。（3）若驚成立羅，則儉稱元陷素y稱為Q的極小地元。（4）若刺成立海，則糖稱元禾素y稱為Q的極大痕元。定理4.夏24設(shè)X是一漢個(gè)偏峰序集平合，爆且有恐。板如果x和y都是Q的最作小(最大)元,則9020吊23析/6僵/2自74.夸7特殊丸關(guān)系定義4.雖28設(shè)<P利,≤>是個(gè)蹄偏