C-D效用函數(shù)圖形第五章選擇在分析了消費(fèi)者選擇集及其偏好（可以由效用函數(shù)表示）之后，我們現(xiàn)在將兩者放在一起考慮并分析消費(fèi)者如何做出自己的最優(yōu)選擇。在數(shù)學(xué)方面，這是一個(gè)受約束的最優(yōu)化問題（aconstrainedmaximizationproblem）；在經(jīng)濟(jì)學(xué)方面，這是一個(gè)理性選擇問題（arationalchoiceproblem）。理性約束選擇x1x2理性約束選擇效用x1x2可行消費(fèi)束理性約束選擇效用x1x2可行消費(fèi)束理性約束選擇效用x1x2可行消費(fèi)束更受偏好的消費(fèi)束理性約束選擇效用可行消費(fèi)束x1x2更受偏好消費(fèi)束理性約束選擇效用x1x2x1*x2*理性約束選擇效用x1x2x1*x2*(x1*,x2*)是消費(fèi)者最偏好的、可負(fù)擔(dān)得起的商品束。在最優(yōu)選擇點(diǎn)上，無差異曲線不穿過預(yù)算線。x1x2x1x2消費(fèi)束(x1,x2)是無差異曲線和預(yù)算線的交點(diǎn)x1x2x1x2消費(fèi)束(x1,x2)是無差異曲線和預(yù)算線的交點(diǎn)，則在紅色線段上總能夠找到比(x1,x2)更好的點(diǎn)無差異曲線不穿過預(yù)算線是否就意味著相切呢？大多數(shù)情況下是如此，但存在例外。第一種例外：折拗的偏好（拐點(diǎn)解）第二種例外：角點(diǎn)解第一種例外：折拗的偏好x2*x2x1x1*無差異曲線在最優(yōu)消費(fèi)點(diǎn)上沒有切線第二種例外：角點(diǎn)解x1x1*x2（,0），無差異曲線與預(yù)算線不相切x1*

如果不考慮折拗偏好和角點(diǎn)解，無差異曲線與預(yù)算線相切是最優(yōu)選擇的必要條件。無差異曲線與預(yù)算線相切是最優(yōu)選擇的充分條件嗎？x2最優(yōu)消費(fèi)束非最優(yōu)消費(fèi)束三個(gè)切點(diǎn)中只有兩個(gè)最優(yōu)點(diǎn)。相切是最優(yōu)的必要、非充分條件。注意：最優(yōu)商品束可能不是唯一的。如果無差異曲線是嚴(yán)格凸的，那么在每一條預(yù)算線上只有一個(gè)最優(yōu)選擇。5.2消費(fèi)者需求一定價(jià)格和收入水平下的商品1和商品2的最優(yōu)選擇，稱為消費(fèi)者的需求束。需求函數(shù)是將最優(yōu)選擇即需求數(shù)量與不同的價(jià)格和收入值聯(lián)系起來的函數(shù)。

x1(p1,p2,m)，x2(p1,p2,m)不同的偏好下消費(fèi)者的最優(yōu)選擇不同理性約束選擇效用在給定價(jià)格和預(yù)算情況下的最受偏好消費(fèi)束稱為消費(fèi)者的一般需求。我們用x1*(p1,p2,m)和x2*(p1,p2,m)來表示一般需求。理性的受約束選擇效用當(dāng)x1*>0，x2*>0這樣的需求消費(fèi)束稱為內(nèi)點(diǎn)。假如購買消費(fèi)束(x1*,x2*)花費(fèi)$m，那么預(yù)算剛好花完。理性的受約束選擇效用x1x2x1*x2*(x1*,x2*)是內(nèi)點(diǎn)(x1*,x2*)在預(yù)算線上理性的受約束選擇效用x1x2x1*x2*(x1*,x2*)是內(nèi)點(diǎn)

(a)(x1*,x2*)在預(yù)算線上;p1x1*+p2x2*=m。理性的受約束選擇效用x1x2x1*x2*(x1*,x2*)是內(nèi)點(diǎn)

(b)(x1*,x2*)點(diǎn)的無差異曲線的斜率與預(yù)算約束線的斜率相等。最優(yōu)選擇---消費(fèi)者均衡最優(yōu)選擇(x1*,x2*)滿足全部收入都用于消費(fèi)

能給其帶來最高效用水平的消費(fèi)束

x1x2x1*x2*理性的受約束選擇(x1*,x2*)滿足兩個(gè)條件:(a)該點(diǎn)在預(yù)算線上;

p1x1*+p2x2*=m(b)在點(diǎn)(x1*,x2*)的預(yù)算約束的斜率為-p1/p2,與無差異曲線在該點(diǎn)的斜率剛好相等。從幾何上看，消費(fèi)者均衡條件是邊際替代率等于預(yù)算線的斜率，這表明消費(fèi)者消費(fèi)兩種商品的邊際效用之比必須等于商品的價(jià)格之比。計(jì)算一般需求-以柯布-道格拉斯函數(shù)為例假如消費(fèi)者有一個(gè)柯布-道格拉斯的效用函數(shù)。計(jì)算一般需求-以柯布-道格拉斯函數(shù)為例假如消費(fèi)者有一個(gè)柯布-道格拉斯的效用函數(shù)。

那么計(jì)算一般需求-以柯布-道格拉斯函數(shù)為例因此MRS為計(jì)算一般需求-以柯布-道格拉斯函數(shù)為例因此MRS為

在(x1*,x2*)點(diǎn),MRS=-p1/p2

因此計(jì)算一般需求-以柯布-道格拉斯函數(shù)為例因此MRS為

在(x1*,x2*)點(diǎn),MRS=-p1/p2

因此(A)計(jì)算一般需求-以柯布-道格拉斯函數(shù)為例(x1*,x2*)點(diǎn)剛好在預(yù)算線上(B)計(jì)算一般需求-以柯布-道格拉斯函數(shù)為例因此可知(A)(B)計(jì)算一般需求-以柯布-道格拉斯函數(shù)為例因此可知(A)(B)代入計(jì)算一般需求-以柯布-道格拉斯函數(shù)為例因此可知(A)(B)代入可得可簡化為計(jì)算一般需求-以柯布-道格拉斯函數(shù)為例計(jì)算一般需求-以柯布-道格拉斯函數(shù)為例將x1*代入

便有計(jì)算一般需求-以柯布-道格拉斯函數(shù)為例我們得到了柯布-道格拉斯效用函數(shù)的消費(fèi)者最優(yōu)可行消費(fèi)束。

為計(jì)算一般需求-以柯布-道格拉斯函數(shù)為例x1x2理性的受約束選擇當(dāng)x1*>0，x2*>0

且(x1*,x2*)在預(yù)算線上，

且

無差異曲線沒有結(jié)點(diǎn)，一般需求可通過解方程(a)p1x1*+p2x2*=y(b)在點(diǎn)(x1*,x2*)預(yù)算約束線的斜率為-p1/p2,與在該點(diǎn)的無差異曲線的斜率相等?？虏迹栏窭蛊们螅鹤顑?yōu)選擇的需求函數(shù)！其邊際替代率為：在(x1*,x2*),MRS=-p1/p2

即：(A)(B)加上預(yù)算約束：具有柯布－道格拉斯偏好的消費(fèi)者在每種商品上花費(fèi)的貨幣總是他收入的一個(gè)固定份額，其大小由柯布－道格拉斯中的指數(shù)決定。Intryingto“dothebestshecangivenhercircumstances”,aconsumerchoosesabundle(x1,x2) tomaximizeutilityu(x1,x2)subjecttothebudgetconstraint.OptimizingMathematicallyForthetypical2-goodconsumerproblem,thisiswrittenformallyaswherethenotation“x1,x2”underneath“max”isreadas“choosethevariablesx1andx2tomaximize”.Thefunctionthatisbeingmaximized–i.e.u(x1,x2)–isoftenreferredtoastheobjectivefunction.Thisisanexampleofaconstrainedoptimizationproblem.BacktoGraphsBeginningwithanExampleWe’llreturntothisgeneralformulationoftheconsumer’sproblembutbeginwithamoreconcreteexample:Aconsumerfacespricesp1=20andp2=10andhas$200tospendonthegoodsx1andx2.HertastescanberepresentedbytheCobb-Douglasutilityfunction.Wecanthenwritethisconsumer’sconstrainedoptimizationproblemasSolvingtheProblem:Method1Onewaytoapproachthisisbyconvertingtheconstrainedoptimizationproblemintoanunconstrainedoptimizationproblem.Thisisdonebysolvingtheconstraintforx2=20–2x1andsubstitutingthisintotheobjectivefunctionu(x1,x2)tocreateanewfunctionWehavethereforeeliminatedtheconstraintbymakingitpartoftheobjectivefunction–andwecanthusre-writetheproblemasSolvingtheProblem:Method1Tosolveforthemaximumofasingle-variablefunction,wehavetofindwherethefunctionattainszeroslope–i.e.whereit’sderivativeiszero.Wethereforesetthederivativeoffwithrespecttox1tozeroandsolveforx1togetx1=5.Pluggingx1=5intothebudgetconstraintequationx2=20–2x1andsolvingforx2,wefurthermoregetthatx2=10.Thus,theoptimalbundleforthisconsumeris(x1,x2)=(5,10).SolvingtheProblem:Method2AsecondwaytoapproachthisproblemisthroughtheLagrangeMethod.JustasinMethod1,theLagrangeMethodbeginsbysettingupanewfunctionwhosefirstderivativeswillthenbesettozerotosolvefortheoptimum.ButunlikeinMethod1,theconstraintwillnowbeanexplicitpartofthisLagrangeFunction(x1,x2,l)that (1)beginswiththeobjectivefunction(u(x1,x2))andthen (2)addstheconstraintsettozeroandmultipliedbythenewvariablel (whichiscalledtheLagrangemultiplier).Forourproblem,thisgivesusobjectivefunctionconstraintsettozeroLagrangefunctionLagrangemultiplierSolvingtheProblem:Method2Justaswesetthederivativeofthenewf(x1)functiontozerotofindtheoptimuminMethod1,wenowsetthepartialderivativesoftheLagrangefunction(withrespecttoeachofthevariables)equaltozero:Noticethatthelastoftheseissimplythebudgetconstraint–sowetypicallytakethepartialderivativeswithrespecttothechoicevariables(x1,x2)andsimplyrememberthatthebudgetconstraintisthethirdequation.Theseequationstogetherareknownasthefirstorderconditions.Solvingtheseforx1andx2usuallygivestheoptimum.SolvingtheProblem:Method2Addingtheltermstobothsidesofeachoftheseequations,wegetandanddividingthembyeachother,wegetAnumberoftermscanthenbecancelled……leavinguswithSubtractingexponentsinthedenominatorfromexponentsinthenumeratorthenreducesthisto…orsimply(–MRS)forCobb–Douglasp1p2SothefirsttwofirstorderconditionsreducetothesimplefamiliarconditionthatSolvingtheProblem:Method2Wenowonlyhavecombinethiswiththethirdfirstordercondition–whichisjustthebudgetlineequation–sosolvefortheoptimum.Inparticular,wewritetheresultfromthefirsttwofirstorderconditionswithx1ontheleft-handside;i.e.x2=2x1.Wethensubstitutethisintothebudgetequationandsolveforx1togetx1=5.Substitutingthisbackintox2=2x1thengivesusx2=10.WethereforegetthesameoptimalbundleaswedidusingMethod1;thebundle(x1,x2)=(5,10).SolvingtheProblem:Method3Method1eliminatedtheconstraintbysubstitutingitintotheobjectivefunctionbeforesettingthefirstderivativetozero.Method2–theLagrangeMethod–insteadbeganwiththeLagrangefunctionbeforesettingthefirst(partial)derivativestozero.Bothofthesemethodsusemathematicaltechniqueswithoutappealingtotheeconomicintuitionsfromourgraphicalanalysis.Method3departsfromthisbyemployingeconomicintuitionasashortcut.Thesimpleeconomicintuitionitemploysisthat,atanyinteriorsolution,.SolvingtheProblem:Method3Weknowfromourgraphsthatthisconditionalwaysholdsatanyinteriorsolutionsintheconsumermodel.WecanthereforebeginwithourutilityfunctionandderiveWhenp1=20andp2=10,theintuitivetangencyconditionthenimpliesSolvingtheProblem:Method3ThisispreciselytheequationwederivedintheLagrangeMethodfromthefirst2firstorderconditions.Method3thenproceedspreciselyastheLagrangeMethoddidfromthisstep–by 1.Solvingthisequationforx2=2x1, 2.Substitutingitintothebudgetconstrainttoderivex1=5,andthen 3.Substitutingthisbackintox2=2x1togetx2=10.WecanalsoseetheintuitionforthisbyrecognizingthatourexampleisexactlytheonegraphedinthefirstgraphoftheChapter:OurCobb-Douglastastesarehomothetic,andtherayalongwhichMRS=–2isx2=2x1.Theoptimumoccurswherethisrayintersectsthebudget,whichisexactlywhatwefindinStep2.EquivalencebetweenMethods2and3TheequivalencebetweentheLagrangeMethodandMethod3canbeshownmoregenerallybywritingtheLagrangefunctionasandthefirst2firstorderconditionsasandAddingtheltermstobothsidesofeachequationandthendividingtheequationsbyoneanother,wegetMultiplybothsidesby–1BydefinitionMethod3thereforeuseseconomicintuitiontotakeashort-cutinMethod2.BacktoGraphs理性的受約束選擇假如x1*=0?或者x2*=0，情況會怎么變化?假如x1*=0或者x2*=0,那么在既定約束限制下效用最大化問題的一般需求的解(x1*,x2*)為邊角解(角點(diǎn)解)。用圖形找最優(yōu)選擇：繪制出無差異曲線和預(yù)算線，然后找出預(yù)算線與最高無差異曲線的接觸點(diǎn)，該接觸點(diǎn)的商品束組合就是最優(yōu)選擇。邊角解的例子–完全替代品的情況x1x2MRS=-1邊角解的例子–完全替代品的情況x1x2MRS=-1斜率=-p1/p2

且p1>p2.邊角解的例子–完全替代品的情況x1x2MRS=-1斜率=-p1/p2

且p1>p2.邊角解的例子–完全替代品的情況x1x2MRS=-1斜率=-p1/p2

且p1>p2.邊角解的例子–完全替代品的情況x1x2MRS=-1斜率=-p1/p2

且p1<p2.邊角解的例子–完全替代品的情況當(dāng)效用函數(shù)為U(x1,x2)=x1+x2,最優(yōu)可行消費(fèi)束為(x1*,x2*)

在該點(diǎn)且如果p1<p2如果p1>p2.邊角解的例子–完全替代品的情況x1x2MRS=-1斜率=-p1/p2

且p1=p2.邊角解的例子–完全替代品的情況x1x2當(dāng)p1=p2，預(yù)算約束線上的所有消費(fèi)束都是受到同等最優(yōu)偏好的可行消費(fèi)束。當(dāng)p1＜p2介于0和m/P1之間的任何數(shù)量當(dāng)p1＝p2當(dāng)p1＞p20

（二）完全替代品（角點(diǎn)解）x2無差異曲線預(yù)算線x1x2無差異曲線預(yù)算線x1無差異曲線預(yù)算線小結(jié)當(dāng)邊際替代率的絕對值大于預(yù)算線的斜率的絕對值時(shí)，最優(yōu)選擇位于橫軸；反之，最優(yōu)選擇處于縱軸。如果邊際替代率的斜率等于預(yù)算線的斜率，將不存在唯一的最優(yōu)選擇。

邊角解的例子–非凸性偏好的情況x1x2更好邊角解的例子–非凸性偏好的情況x1x2邊角解的例子–非凸性偏好的情況x1x2哪點(diǎn)是最優(yōu)可行消費(fèi)束？邊角解的例子–非凸性偏好的情況x1x2最優(yōu)可行消費(fèi)束x1x2最優(yōu)選擇ZX注意：切點(diǎn)不是最優(yōu)偏好可行消費(fèi)束拐點(diǎn)解的例子–完全替代品的情況x1x2U(x1,x2)=min{ax1,x2}x2=ax1拐點(diǎn)解的例子–完全替代品的情況x1x2MRS=0U(x1,x2)=min{ax1,x2}x2=ax1拐點(diǎn)解的例子–完全替代品的情況x1x2MRS=-￥MRS=0U(x1,x2)=min{ax1,x2}x2=ax1拐點(diǎn)解的例子–完全替代品的情況x1x2MRS=-￥MRS=0MRS在該點(diǎn)沒有定義U(x1,x2)=min{ax1,x2}x2=ax1拐點(diǎn)解的例子–完全替代品的情況x1x2U(x1,x2)=min{ax1,x2}x2=ax1拐點(diǎn)解的例子–完全替代品的情況x1x2U(x1,x2)=min{ax1,x2}x2=ax1哪點(diǎn)是最優(yōu)可行消費(fèi)束?拐點(diǎn)解的例子–完全替代品的情況x1x2U(x1,x2)=min{ax1,x2}x2=ax1最優(yōu)可行消費(fèi)束拐點(diǎn)解的例子–完全替代品的情況x1x2U(x1,x2)=min{ax1,x2}x2=ax1x1*x2*拐點(diǎn)解的例子–完全替代品的情況x1x2U(x1,x2)=min{ax1,x2}x2=ax1x1*x2*(a)p1x1*+p2x2*=m拐點(diǎn)解的例子–完全替代品的情況x1x2U(x1,x2)=min{ax1,x2}x2=ax1x1*x2*(a)p1x1*+p2x2*=m

(b)x2*=ax1*拐點(diǎn)解的例子–完全替代品的情況(a)p1x1*+p2x2*=m;(b)x2*=ax1*.拐點(diǎn)解的例子–完全替代品的情況(a)p1x1*+p2x2*=m;(b)x2*=ax1*.將(b)中的x2*代入(a)式中得p1x1*+p2ax1*=m拐點(diǎn)解的例子–完全替代品的情況(a)p1x1*+p2x2*=m;(b)x2*=ax1*.將(b)中的x2*代入(a)式中得p1x1*+p2ax1*=m

從而可得拐點(diǎn)解的例子–完全替代品的情況(a)p1x1*+p2x2*=m;(b)x2*=ax1*.將(b)中的x2*代入(a)式中得p1x1*+p2ax1*=m

從而可得拐點(diǎn)解的例子–完全替代品的情況(a)p1x1*+p2x2*=m;(b)x2*=ax1*.將(b)中的x2*代入(a)式中得p1x1*+p2ax1*=m

從而可得一個(gè)包含一個(gè)單位商品1和一個(gè)單位商品2的消費(fèi)束的成本為p1+ap2;

m/(p1+ap2)這樣的消費(fèi)束是消費(fèi)者可承受的。拐點(diǎn)解的例子–完全替代品的情況x1x2U(x1,x2)=min{ax1,x2}x2=ax1中性物品好商品中性商品x2*x1*x1*（，）=（m/P1,0）好商品中性商品x1*（，）=（0,

m/P2）x2*x1*劣等品x1x2x2*x1*x1*（，）=（m/P1,0）離散商品X2X101234最優(yōu)選擇預(yù)算線需求零單位離散商品X2X101234最優(yōu)選擇需求1單位x1x2Better凹形偏好x1x2x1x2哪個(gè)是最優(yōu)消費(fèi)束？x1x2最優(yōu)選擇注意：切點(diǎn)解X不是最優(yōu)消費(fèi)點(diǎn)XZPitfall1:ExampleSupposeourconsumerwhofacespricesp1=20andp2=10andhas$200tospendnowhasquasilineartastesthatcanbedescribedbythefunctionPitfall1:ExampleSupposeourconsumerwhofacespricesp1=20andp2=10andhas$200tospendnowhasquasilineartastesthatcanbedescribedbythefunctionTheMRSforthisutilityfunctionis–a/x1,and,usingourMethod3,wecanthenconcludethatwhichwecansolveforx1=a/2.Plugging