1第六章譜分析SpectralAnalysis到目前為止，時(shí)刻變量的數(shù)值一般都表示成為一系列隨機(jī)擾動(dòng)的函數(shù)形式，一般的模型形式為：我們研究的重點(diǎn)在于，這個(gè)結(jié)構(gòu)對(duì)不同時(shí)點(diǎn)和上的變量和的協(xié)方差具有什么樣的啟示。這種方法被稱為在時(shí)間域(timedomain)上分析時(shí)間序列的性質(zhì)。在本章中，我們討論如何利用型如和的周期函數(shù)的加權(quán)組合來描述時(shí)間序列數(shù)值的方法，這里表示特定的頻率，表示形式為：上述分析的目的在于判斷不同頻率的周期在解釋時(shí)間序列性質(zhì)時(shí)所發(fā)揮的重要程度如何。如此方法被稱為頻域分析(frequencydomainanalysis)或者譜分析(spectralanalysis)。我們將要看到，時(shí)域分析和頻域分析之間不是相互排斥的，任何協(xié)方差平穩(wěn)過程既有時(shí)域表示，也有頻域表示，由一種表示可以描述的任何數(shù)據(jù)性質(zhì)，都可以利用另一種表示來加以表達(dá)。對(duì)某些性質(zhì)來說，時(shí)域表示可能簡單一些；而對(duì)另外一些性質(zhì)，可能頻域表示更為簡單?！?.1母體譜我們首先介紹母體譜，然后討論它的性質(zhì)。散6云.1喉.1達(dá)母學(xué)體譜瞇及性代質(zhì)鍋假設(shè)喘是一匪個(gè)具淋有均避值鞏的協(xié)仔方差持平穩(wěn)腰過程伏，第民個(gè)自少協(xié)方騎差為合：般假設(shè)蛙這些相自協(xié)排方差怎函數(shù)任是絕借對(duì)可虎加的班，那么度自協(xié)托方過失生成從函數(shù)貧為：陡這里承表示柳復(fù)變判量。之將上活述函悅數(shù)除眼以尤，并報(bào)將復(fù)賓數(shù)育表示險(xiǎn)成為方指數(shù)惑虛數(shù)夜形式磁，傅，那么貍得到忠的結(jié)廢果(興表達(dá)就式)然稱為戀變量括的母崖體譜秘：耕注意班到譜爺是監(jiān)的函妙數(shù)：串給定接任何蹈特定倘的嘴值和剪自協(xié)訊方差恨的序澤列界，原筑那么上們都可輔以計(jì)姓算穿的數(shù)晌值。座利用單De知M到oi始vr冰e定瞎理，愿我們插可以材將王表示儀成為鉆：資因此純，譜真函數(shù)善可以圣等價(jià)買地表傅示成喇為：茶注意警到對(duì)螺于協(xié)墓方差沒平穩(wěn)接過程累而言燦，有顛：袋，因泳此上嗚述譜磁函數(shù)完化簡廣為：嬸利用尼三角束函數(shù)施的奇解偶性抽，可戰(zhàn)以得油到：凈假設(shè)未自協(xié)蚊方差盛序列榨是絕瘋對(duì)可來加的蘭，首那么可姐以證球明上扁述譜洪函數(shù)濱存在法，并惑且是基的實(shí)脈值、益對(duì)稱噴、連敗續(xù)函帽數(shù)。燭由于竊對(duì)任歸意案，有偷：騰，因懶此羽是周鳴期函燃數(shù)，主如果蛛我們較知道蠟了私內(nèi)的速所有堤的值宅，我從們可輸以獲安得任澡意捎時(shí)的憑值。識(shí)§句6兔.廁2惱不蘿同過墨程下鐘母體忍譜的澇計(jì)算突假設(shè)吩隨機(jī)須過程朋服從英過程區(qū)：源這里伸：，，酒根據(jù)罪前面陪關(guān)于膏過程張自協(xié)怒方差鄰生成菊函數(shù)亭的推省導(dǎo)：爐因此桃得到察過程征的母淘體譜好為：畢例如樂，對(duì)浙白噪串聲過貫程而狡言，雙，這足時(shí)它嚷的母屋體譜伐函數(shù)鉤是常鏟數(shù)：喝下面涌我們贊考慮糟過程桌，燈此時(shí)驚：爸，那么懸母體誘譜為西：菜可以害化簡子成為廳：窄顯然忘，當(dāng)活時(shí)，滋譜函浙數(shù)忍在渴內(nèi)是充的單藥調(diào)遞扭減函溜數(shù)；唱當(dāng)受時(shí)，續(xù)譜函輝數(shù)壁在深內(nèi)是嘆的單歌調(diào)遞叔增函字?jǐn)?shù)。牛對(duì)鵝過程壺而言失，有塊：和這時(shí)索只要燃，那么閣有：嘴，因族此譜假設(shè)函數(shù)戚為：畫該譜你函數(shù)熟的性友質(zhì)為的：當(dāng)咱時(shí)，字譜函活數(shù)拴在誦內(nèi)是養(yǎng)的單仔調(diào)遞疊增函源數(shù)；撤當(dāng)烈時(shí)，芳譜函鑄數(shù)乓在輪內(nèi)是耗的單茂調(diào)遞央減函拍數(shù)。泡一般元地，歪對(duì)判過程唱而言凍：叼那么母準(zhǔn)體譜磁函數(shù)汗為：撕如果濱移動(dòng)繡平均邁和自膠回歸駝算子虹多項(xiàng)的式可鐘以進(jìn)嘆行下默述因悼式分蓬解：儉那么母莖體譜挎函數(shù)良可以植表示各為：疲從母泛體譜燥函數(shù)舒中計(jì)味算自臥協(xié)方撫差漸如果微我們知知道綠了自晌協(xié)方鼓差序烤列響，督原那么優(yōu)上我你們就強(qiáng)可以絨計(jì)算璃出任貢意昨的譜案函數(shù)綿的數(shù)照值。境反過撥來也聾是對(duì)鄉(xiāng)的：混如果紙對(duì)所京有在腦內(nèi)的鐮，已猴知譜繳函數(shù)狹的數(shù)漫值，臟那么對(duì)副任意質(zhì)給定擠的整芳數(shù)匠k待，我嫂們也跑能夠藏計(jì)算鼻k很階自漸協(xié)方孤差該。這攝意味潛著母豬體譜理函數(shù)永和自琴協(xié)方側(cè)差序容列老包含杯著相斃同的漠信息寧。雀其中挖任何皆一個(gè)踐都無朗法為巾我們免提供辨另外繩一個(gè)米無法紀(jì)給出賣的推鄙斷。燙下面芳的命峽題為霸從譜皮函數(shù)支計(jì)算抗自協(xié)默方差塞提供檢了一曉個(gè)有然用的淹公式德：嶺命題題6.再1質(zhì)說假設(shè)賞是絕惹對(duì)可奇加的賣自協(xié)召方差肯序列能，那么棉母體軌譜函皆數(shù)與克自協(xié)宿方差是之間粒的關(guān)融系為簡：基上述步公式捎也可毅以等仿價(jià)地欠表示兆為：然利用凍上述悔譜公稱式，牢可以蓬實(shí)現(xiàn)鑼譜函繩數(shù)與猴自協(xié)站方差陪函數(shù)住之間館的轉(zhuǎn)測換。框解釋串母體帆譜函墨數(shù)葡假設(shè)糠，那么妄利用律命題挨6.蠅1可敏以得良到時(shí)條間序旺列的健方差素，即杏，計(jì)拴算公膠式為給：缺根據(jù)勺定積念分的聚幾何濾意義運(yùn)，上津式說繡明母是體譜綠函數(shù)利在區(qū)遮間糧內(nèi)的桂面積亮就是嘗，也預(yù)就是怖過程方的方峰差。修更一調(diào)般的織，由廈于譜棄函數(shù)蝶是非反負(fù)的澆，對(duì)物任意抽，如資果我向們能尾夠計(jì)曠算：茂這個(gè)背積分浙結(jié)果漆也是恒一個(gè)鞠正的汁數(shù)值昌，可煮以解傻釋為附的方洗差中所與頻朵率的動(dòng)絕對(duì)請(qǐng)值小元于盆的成謎分相斃關(guān)的錦局部鵲。注縱意到層譜函誦數(shù)也公是對(duì)爪稱的民，因埋此也竟可以群表示墳為：于這個(gè)梯積分絡(luò)表示熟頻率條小于棗的隨仿機(jī)成陳分對(duì)攏方差次的貢帽獻(xiàn)。掛但是宗，頻且率小前于裕的隨烘機(jī)成造分對(duì)勉方差巴的貢山獻(xiàn)意壩味著艘什么也？為暮了探僻索這沒個(gè)問伯題，課我們傾考慮竭更為濃特殊聯(lián)一些援的時(shí)型間序森列模鼓型：嫁這里返和共是零陰均值汽的隨卷機(jī)變壩量，餅這意本味著蛛對(duì)所瓦有時(shí)才間干t遠(yuǎn)，有茂。進(jìn)釀一步贏假設(shè)少序列陳和憤是序儲(chǔ)列不馳相關(guān)強(qiáng)和相者互不蓄相關(guān)歡的：，固，對(duì)亂所有丸的虎j另和勾k龍這時(shí)茅的方杰差是國：膨因此竟，對(duì)貌這個(gè)袍過程督來說蹄，具繞有頻癢率夫的周橡期成驚分對(duì)塔的方譯差的蓮奉獻(xiàn)盡局部窄是榴。內(nèi)如果好頻率耕是有棟順序幣的：筆，那么鐵的方胞差中編由頻預(yù)率小識(shí)于或贈(zèng)者等避于乘的周芒期形臨成的憶局部舒是：識(shí)。引這種翅情形普下殼的際k雅階自禾協(xié)方從差為弓：持因?yàn)檠磉^程曠的均遼值和跡自協(xié)政方差示函數(shù)蜂都不球是時(shí)遍間的磨函數(shù)虛，因章此這盯個(gè)過稼程是悅協(xié)方貨差平堂穩(wěn)過屠程。呈但是主，可澤以驗(yàn)襯證此張時(shí)的喬自協(xié)最方差跌序列額不是竟絕對(duì)虹可加竊的。氧雖然榆在上獸述過哪程中濾，我穿們已拴經(jīng)過獨(dú)程的揉方差鉤分解壺為頻團(tuán)率低昌于某冒種程帝度的份周期閃成分免的貢查獻(xiàn)，免我們召能夠放這樣爭做的闖原因坡在于吳這個(gè)仿過程烈是比沸較特鋸殊的燕。對(duì)忍于一靜般的拴情形半，著思名的獎(jiǎng)譜表別示定鹿理(醒th鑄e心sp爪ec言tr明al殿r鵲ep跌re輔se歸nt催at乎io糕n刺th壓eo銅re賣m)估說明章：任高何協(xié)獎(jiǎng)方差吵平穩(wěn)撈過程傍都可款以表竭示成勾為不抄同頻角率周志期成步分的糠和形販?zhǔn)健V對(duì)任議意給咱定的猜固定維頻率生，我脆們定踩義隨具機(jī)變帆量砍和彎，并洞假設(shè)凳可以羞將一主個(gè)具各有絕恥對(duì)可笑加自高協(xié)方訓(xùn)差的課協(xié)方丈差平老穩(wěn)過陪程表駛示為據(jù)：太這里撇需要盞對(duì)隨權(quán)機(jī)變股量炕和撈的相粒關(guān)性愧給出憐更為秋具體犯的假嗎設(shè)，椒但是割上述孤公式裂便是紋譜表撓示定裙理的賣一般候形式帆。殖§麻6庸.角2弓樣蝶本周超期圖數(shù)唐Sa撕mp諒le鴨P糖er辟io朋do林gr奏am方對(duì)一胞個(gè)具嫌有絕套對(duì)可還加自英協(xié)方磨差的令協(xié)方攔差平那穩(wěn)過壟程雄，我穿們已蓄經(jīng)定勾義在責(zé)頻率湊處的萍譜函度數(shù)值攜為：，島注意緊到母剝體譜渣是利皆用臘表示枯的，彩而媽表示胞的是惰母體爺?shù)亩镫A矩短性質(zhì)法。理給定芽由購表示居的償T春個(gè)樣榨本，祖我們倡可以星利用針下述講公式幟計(jì)算迷直到忘階的扛樣本初自協(xié)抓方差勿：，廚對(duì)于訴給定王的忘，我瞇們可便以獲浮得母詠體譜蜂密度顏對(duì)應(yīng)嘆的樣頁本情緣形，鍋我們痰稱其閥為樣菊本周兇期圖乳：悶樣本箭周期搶圖也梢可以捏表示傾成為幣如下迷形式劫：細(xì)類似紐地，券我們夢可以暢證明芬樣本走周期臂圖下錢的面蘭積等閘于樣竟本方憂差：票樣本年周期拒圖也欠是關(guān)艘于原皮點(diǎn)對(duì)僑稱的塊，因言此也備有：鄙更為惰重要賄的是養(yǎng)，譜島表示氣定理列在樣可本情境形也財(cái)有類獲似的孫表示變。我堪們將而要說暑明，冒對(duì)于意平穩(wěn)幸過程穩(wěn)的任胃意一棄個(gè)容朗量為謀的觀欺測值素序列到，存謙在頻蠶率謙和系通數(shù)痛，吉，姓使得刺期的年值可三以表挨示成場為：豆其中遺：說當(dāng)賴時(shí)，背與領(lǐng)不相碎關(guān)；遲當(dāng)咐時(shí)，曬與涌不相管關(guān)；刃對(duì)于馳所有匯的蘇和供，芹與盜不相趨關(guān)。上的樣企本方柿差是勒，該桑方差沿中可然以歸因因于吧頻率牢為縱的周距期成竿分的裹局部錄由樣郵本周賺期圖日給出換。星我們技對(duì)樣轉(zhuǎn)本容圖量是筍奇數(shù)富的情稈形展渾開討陳論上俱述譜紋表示款模式診。這街時(shí)閘可以詳表示爪成為被由碧個(gè)不杯同頻吐率構(gòu)醋成的坑周期慮函數(shù)章，頻愉率樣如下膊：誓，濃，孔……忠，駛因此系最高外頻率勸為：小我們梁考慮尊基于男常數(shù)旅項(xiàng)、景正弦件函數(shù)惑和余臨弦函五數(shù)的招線性詞回歸竟：液將這繞個(gè)回戰(zhàn)歸方酬程表割示成欣為下摧述方民式：佛其中懶：敗，這嘉是一似個(gè)具饞有搭個(gè)解常釋變救量的騙回歸富方程個(gè)，因填此解史釋變借量與拉觀測悼值是遍一樣壺多的嫁。我覺們將從證明輛解釋泊變量菠之間惑是線捷性無找關(guān)的機(jī)，這濃意味乞著祖基于湊回歸崗的O吩LS匙估計(jì)齒具有袋惟一巨解。呀該回飽歸方拴程的費(fèi)系倒數(shù)具息有顯膽著的近統(tǒng)計(jì)躲意義孟：辭表示干中可覆以歸已因于業(yè)頻率管的周餃期成培分的籠那部脂分。孫這就厲是說伐，任吊意觀吵測到點(diǎn)的序砌列亮，它幼都可顛以利幣用上遠(yuǎn)述周惕期函渴數(shù)形殊式表鞠示，皆并且繞不同朋頻率擴(kuò)的周擁期成懶分對(duì)謊方差使的貢言獻(xiàn)都棕可以貴在樣個(gè)本周員期圖委中找護(hù)到。遵命題宇6.調(diào)2罰灘假設(shè)須樣本榨容量抄是奇筒數(shù)，蟻定義壽，并擾設(shè)定謊，厚，假繳設(shè)解豎釋變態(tài)量為娛：叨那么有五：植進(jìn)一俯步，搖假設(shè)拼是任孤意寒個(gè)實(shí)伍數(shù)，眼那么下銜述推放斷成行立：讓(a駱)礙過程葵可以償表示僅為：沙這里鵲：，，論(b遮)艙的樣迅本方偵差可跪以表沫示為趕：然樣本款方差躬可以飯歸因處于頻數(shù)率為枕的周翠期成贊分的休局部序?yàn)橥?。?c掩)藥的樣捷本方假設(shè)差中給可以蠅歸因午于頻盒率為陰的周朵期成互分的勤局部肯還可款以表抬示為息：副其中后是樣般本周烤期圖把在頻葉率首處的木值。貢上述陡結(jié)果悲說明富，噴是對(duì)司角矩丑陣，猛這意粒味著父包含危在向諒量呈中的斬向量的之間侄是相規(guī)互正陜交的典。這霜個(gè)命額題斷忌言：鄙任何長奇數(shù)恒個(gè)觀控測到細(xì)的時(shí)漲間序謝列事可以暖表示鐵成為御一個(gè)挨常數(shù)嚷加上立具有鋒個(gè)不想同頻衣率的矩個(gè)周拿期成敗分的胖加權(quán)綠和。仇當(dāng)扯是偶叉數(shù)整譯數(shù)的拋時(shí)候繳，類擠似的化結(jié)果佩也是鴉成立設(shè)的。扯因此消，這眠個(gè)命常題給默出了晃類似教譜表印示定吩理的短有限址樣本矮的類伶似情粉況。致這個(gè)易命題綿進(jìn)一皆步表廊明了蕩樣本仰周期獎(jiǎng)圖的送特征疲是將盯的方宰差按切局部棗分解演為不夏同頻排率的釋周期睜成分慨的貢畜獻(xiàn)。奴注意曉到解童釋春的方豈差的析頻率燭都落悉在區(qū)經(jīng)間神中。密為什壓么不資使用享負(fù)的壽頻率腰？假土設(shè)數(shù)能據(jù)確英實(shí)是礙由上絕述過畢程的穴一種殺特殊趨情形料生成透的：誠這里柜代表派某個(gè)舌特殊眾的負(fù)警頻率璃，咱和篩是零杏均值技的隨估機(jī)變夏量，枕利用果三角叨函數(shù)者的奇困偶性救，可腹以將者表示黨為：陶因此役，利乓用上降述式會(huì)子無撇法從媽數(shù)據(jù)枝中識(shí)竿別數(shù)覺據(jù)是改從正仁發(fā)頻扛率還捕是負(fù)謀的頻膨率生城成的語。這僻時(shí)一犬種簡須單的喪方式苗是假竿設(shè)數(shù)床據(jù)是素從具饞有正明的頻啟率中化生成膨的。學(xué)為什弓么只點(diǎn)考慮漆作為編最大紀(jì)的頻野率呢釀？假但設(shè)數(shù)謝據(jù)真卡的是疫從頻復(fù)率腥的周炊期函緩數(shù)中礦生成決的，散例如打：打這時(shí)杰正弦攝和余盲弦函暮數(shù)的喬周期鎮(zhèn)性質(zhì)神說明型，上對(duì)式可社以表憐示成校為：勞因此予，根爆據(jù)以脆前的熱討論序，具查有頻僻率鴨的周布期在榆觀測逝值上夏等價(jià)媽于具森有頻嗚率垮的周襪期。隸注意紗到頻辱率和挎周期到之間關(guān)的關(guān)界系，娘頻率磨對(duì)應(yīng)納的周擇期為橡。由欲于我哲們考加慮的茄最高情頻率淚為嗎，因憤此我換們所即觀測虛到的且能夠種自己攀重復(fù)仆的最巖短階拘段是生。如飄果粘，那么思周期秋是每機(jī)階段西重復(fù)溝自己社。敏但是喜，如確果數(shù)挨據(jù)是走整數(shù)異階段意觀測企的，鼓因此延數(shù)據(jù)假設(shè)可以額觀測傳的時(shí)悟間間苗隔仍篩然是狠每4陡個(gè)階挎段觀遣測到章，這扒對(duì)應(yīng)瞞著周返期頻帳率是訪。例敘如，扭函數(shù)吉和函莫數(shù)康在整拴數(shù)的陸時(shí)間群間隔擊上，咽它們浙的觀失測值緣是一師致的踩。駁命題倍6.槽2也士為計(jì)暮算在科頻率傲(通)上蓄的樣式本周遵期圖粉的數(shù)世值提野供了破方法林。定飛義：瞞這里誤：，首因此超可以姨得到飛：陵§刊6筋.狠3系估計(jì)賴總枯本譜吐探Es理ti輔ma勇ti侵ng怠t路he飾P鉤op六ul畜at攤io愁n烘Sp議ec競tr潑um碗上面缺我們示介紹某了母拾體譜毛的意市義和披性質(zhì)射，下貢面我傭們面史對(duì)的嚷問題黎是：刊獲得次了觀鍋測樣聽本碗以后完，如席何估醬計(jì)母升體譜統(tǒng)函數(shù)類？濾樣本吧周期慎圖的處大樣鄙本性余質(zhì)五一個(gè)參顯然儉的方舊法是嚴(yán)利用木樣本梨周期關(guān)圖海去估燒計(jì)母那體譜予函數(shù)勒。但悠是，癥這種迫方法梅具有雞顯著億的限閃制。摸假設(shè)延對(duì)于峰無限良移動(dòng)昂平均器過程介而言蠻：言這里數(shù)系數(shù)圾是絕艷對(duì)可蝶加的他，酬是具圓有均悲值跪和方柏差筑的獨(dú)垃立同他分布耀序列移，假唱設(shè)講是如毛上定芽義的柜母體被譜函帽數(shù)，鄭且對(duì)冊所有邁的稿，都連有授。假咳設(shè)而是如爭上定晴義的冷樣本液譜函馬數(shù)，奴Fu笨ll監(jiān)er釘(譽(yù)19稅76恐)嗎證明薪了，接對(duì)宿和充灰分大尤的樣蠢本容映量厘，樣犧本周遵期圖欲與母天體譜蔑函數(shù)兩之比應(yīng)的二怒倍具壟有下博述漸誠近分刮布：臂進(jìn)一抬步，奏如果負(fù)，也指有：貢并且絹上