第四節(jié)指數(shù)函數(shù)【知識(shí)梳理】1.必會(huì)知識(shí) 教材回扣 填一填(1)根式:根式的概念符號(hào)表示備注如果xn=a,那么x叫做a的n次方根n>1且n∈N*當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),正數(shù)的n次方根是一個(gè)

正數(shù),負(fù)數(shù)的n次方根是一個(gè)

負(fù)數(shù)n

a零的n次方根是零當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),正數(shù)的n次方根有

,它們互為

兩個(gè) 相反數(shù)–n

a(a>0)負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根(2)兩個(gè)重要公式:①-a,a<0,n

an=n為偶數(shù).|a|

=a

,n為奇數(shù),a

,a≥0,②(

n

a

)n=

a

.(3)有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì):①ar·as=

ar+(sa>0,r,s∈Q);②(ar)s=

ars

(a>0,r,s∈Q);③(ab)r=

arbr

(a>0,b>0,r∈Q).(4)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪:①正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪:(a>0,m,n∈N*,n>1);②負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪:=

(a>0,m,n∈N*,n>1);m

=a

nna-mn

amn

m1a③0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是0

,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪無(wú)意義.(5)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì):函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)圖象0<a<1a>1圖象特征在x軸

上方,過(guò)定點(diǎn)

(0,1)當(dāng)x逐漸增大時(shí),圖象逐漸下降當(dāng)x逐漸增大時(shí),圖象逐漸上升0<y<1函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)性質(zhì)定義域R值域

(0,+∞)單調(diào)性減增函數(shù)值變化規(guī)律當(dāng)x=0時(shí),

當(dāng)x<0時(shí),

;當(dāng)x>0時(shí),y>1y=1當(dāng)x<0時(shí),

;當(dāng)x>0時(shí),0<y<1y>1必備結(jié)論 教材提煉 記一記同底數(shù)冪相除,指數(shù)相減.必用技法 核心總結(jié) 看一看

(1)常用方法:換元法、圖象平移法.

(2)數(shù)學(xué)思想:數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想.(3)記憶口訣:指數(shù)函數(shù)記憶口訣多個(gè)圖形像束花,(0,1)這點(diǎn)把它扎.撇增捺減無(wú)例外,底互倒時(shí)y軸夾.

y=1為判底線,交點(diǎn)縱標(biāo)看小大.重視數(shù)形結(jié)合法,橫軸上面圖象察.)函數(shù)y=3·2x與y=2x+1都不是指數(shù)函數(shù).(若am<an(a>0且a≠1),則m<n.(

)(5)函數(shù)y=2-x在R上為單調(diào)減函數(shù).(

)【小題快練】1.思考辨析 靜心思考 判一判(1)

n

an

與(

n

a

)n

都等于a(n∈N*).(

)(2)2a·2b=2ab.(

)【解析】(1)錯(cuò)誤,當(dāng)n為偶數(shù),a<0時(shí)不成立.(2)錯(cuò)誤,2a·2b=2a+b≠2ab.

(3)正確,兩個(gè)函數(shù)均不符合指數(shù)函數(shù)的定義.

(4)錯(cuò)誤,當(dāng)a>1時(shí),m<n,而當(dāng)0<a<1時(shí),m>n.-x(5)正確,y=2

=,根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)在R上為減函數(shù).答案:(1)×

(2)×

(3)√

(4)×

(5)√x1(

)22.教材改編 鏈接教材 練一練(1)(必修1P56例6改編)若函數(shù)f(x)=ax(a>0,且a≠1)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)答案:P(2,

1

),則f(-1)=

.2【解析】依題意可知

1=a2,解得a=222

，2所以f(x)=

(

2

)所x，以f(-1)=(2.22

)-1

=2【解析】由-1

-1所以x2+x-2+2=49,x2+x-2=47.=27-9=18,答案:1

-13-3x

2

+

x

2

+

2(2)(必修1P60B組T2改編)若

x

2

+

x

2

=3,則

x2

+

x-2

+

3

=

.1

-12

=32

,得x+x

+2=9,所以x+x

=7,x

+

x1322223

-3

1

-1-1因?yàn)閤

2

+x=

(x

2

+

x

)-

3(x

+

x

)3

-3所以

x

2

+

x

2

+

218

+

2

2x2

+

x-2

+

3

=

47

+

3

=

5

.25(3)(必修1P60B組T1改編)若函數(shù)y=(a2-1)x在(-∞,+∞)上為減函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

.【解析】由y=(a2-1)x在(-∞,+∞)上為減函數(shù),得0<a2-1<1,或-2

<a<-1.2所以1<a2<2,即1<a<2答案:(- ,-21)∪(1,

)3.真題小試 感悟考題 試一試(1)(2014·陜西高考)下列函數(shù)中,滿足“f(x+y)=f(x)f(y)”的單調(diào)遞增函數(shù)是(

)A.f(x)=x3

B.f(x)=3xC.f(x)=D.f(x)=【解析】選B.根據(jù)函數(shù)滿足“f(x+y)=f(x)f(y)”可以推出該函數(shù)為指數(shù)函數(shù),又函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù),所以底數(shù)大于1,從而確定函數(shù)為

f(x)=3x.1x

2x1(

)2(2)(2015·承德模擬)函數(shù)f(x)=所以-3<x≤0.1

的定義域?yàn)?

)1-

2x

+x

+

3A.(-3,0] B.(-3,1]C.(-∞,-3)∪(-3,0] D.(-∞,-3)∪(-3,1]【解析】選A.由題意,自變量x應(yīng)滿足1-2x

解?0得,x

+

3

>

0,x

￡

0,x

>

-3,(3)(2015·綿陽(yáng)模擬)函數(shù)y=ax與y=(a>0,且a≠1)的圖象關(guān)于(

)A.x軸對(duì)稱B.y軸對(duì)稱C.原點(diǎn)對(duì)稱D.直線y=x對(duì)稱x1(

)a【解析】選B.y=

1

x=a-x.不妨設(shè)a>1,如圖所示,關(guān)于y軸對(duì)稱.(

)a考點(diǎn)1

指數(shù)冪的化簡(jiǎn)與求值【典例1】(1)化簡(jiǎn):(a>0,b>0)=.(2)計(jì)算:a3b2

3

ab21

1

-1

1(a

4

b2

)4a

3

b3(

)(

)

(032278-1-2-1(

-)

+

0.002-105

-

2

+3

-

2

)

.【解題提示】(1)將根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪,然后利用冪的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算.

(2)將負(fù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪化為正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪,然后利用冪的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算.答案：ab-11

2

1(a3b2a

3

b3

)22

6 3

b

3ab2a3

b33

+1

-1+1

1+1

-2-1【規(guī)范解答】(1)原式=

-1

1=

a3

=

ab-1.271108

500(2)原式=

(

--2)

3

+(

)-12

-+15

-

28274167.99=

(

-2

1)3

+

5002

-10(

5

+

2)+1=

+105

-10 5

-

20

+1

=

-【規(guī)律方法】指數(shù)冪的運(yùn)算規(guī)律(1)有括號(hào)的先算括號(hào)里的,無(wú)括號(hào)的先算指數(shù)運(yùn)算.

(2)先乘除后加減,負(fù)指數(shù)冪化成正指數(shù)冪的倒數(shù).

(3)底數(shù)是負(fù)數(shù),先確定符號(hào),底數(shù)是小數(shù),先化成分?jǐn)?shù),底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)的,先化成假分?jǐn)?shù).

(4)若是根式,應(yīng)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪,盡可能用冪的形式表示,運(yùn)用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)來(lái)解答.提醒:運(yùn)算結(jié)果不能同時(shí)含有根號(hào)和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪,也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù),形式力求統(tǒng)一.【變式訓(xùn)練】化簡(jiǎn)下列各式(其中各字母均為正數(shù)):217

26(2).-12

-1

-1(1)1.5

3

·(

-

)0

+

80.25

·

4

2

+

(

3

2

·3)6

-

(

)3

.3(a

3

b-1

)

2

a2

b36

ab51

1

1

12【解析】(1)原式=(2331

1)3

·1+

(23

)4·

24

+(23

·32

)6

-(

)3

=

2

+

4

·

27

=110.1

1

1

1

1

53

2

62

3

62

b31

.a1

5a

6

b6-1

1

-1

1-

-

-a+

-(2)原式=

==a

3

b2

ab(x<0,y<0)得()C.4x2y D.-2x2y=2(-x)2(-y)=-2x2y.4

16x8

y4【加固訓(xùn)練】1.化簡(jiǎn)A.2x2y

B.2xy【解析】選D.4

16x8

y41=

(16x8

y4

)4(

)

(

)8

4414=[2

-4

18

1

4

1x

-y

]=

2

4

(-x

)

4

(-y)4的值為

.(

)43

aa-

1a+3+

42.化簡(jiǎn)aa-

1

+

(3

a

)3

+

4

a4【解析】由題意可知a<0，故a(

)(

)2a-a=-

-+

a

+

-a

=-

-a.答案：--a=

.33.化簡(jiǎn)：1(

)4(

4ab-1-12

1(0.1)-1

(a3

b-3

)223

38510a

2

b

23

3

-3-=

.【解析】原式=

242

a

2b答案：85考點(diǎn)2

指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用【典例2】(1)(2015·惠州模擬)函數(shù)y=ax-可能是(

)(2)若曲線|y|=2x+1與直線y=b沒(méi)有公共點(diǎn),則b的取值范圍是

.(1a>0,且a≠1)的圖象a【解題提示】(1)分a>1及0<a<1兩種情況討論函數(shù)y=a1x- 的單調(diào)性,aa再結(jié)合選擇支求解.(2)作出曲線|y|=2x+1與直線y=b的圖象,數(shù)形結(jié)合求解.【規(guī)范解答】(1)選D.當(dāng)a>1時(shí),y=ax-1

為增函數(shù),且在y軸上的截距為a0<1-1

<1,排除A,B.a當(dāng)0<a<1時(shí),y=ax1-

為減函數(shù),且在y軸上的截距為1-1

<0,故選D.a【一題多解】解答本題,你知道幾種解法?解答本題,還有以下解法:方法二:因?yàn)楹瘮?shù)y=ax-1(a>0,且a≠1)的圖象必過(guò)點(diǎn)(-1,0),所以選D.a方法一:當(dāng)0<a<1時(shí),函數(shù)y=ax-1

是減函數(shù),且其圖象可視為是由函數(shù)ay=ax的圖象向下平移1

個(gè)單位長(zhǎng)度得到的,結(jié)合各選項(xiàng)知選D.a(2)曲線|y|=2x+1與直線y=b的圖象如圖所示,由圖象可得:如果|y|=2x+1與直線y=b沒(méi)有公共點(diǎn),則b應(yīng)滿足的條件是b∈[-1,1].答案:[-1,1]【互動(dòng)探究】若將本例(2)中“|y|=2x+1”改為“y=|2x-1|”,且與直線y=b有兩個(gè)公共點(diǎn),求b的取值范圍.【解析】曲線y=|2x-1|與直線y=b的圖象如圖所示,由圖象可得,如果曲線y=|2x-1|與直線y=b有兩個(gè)公共點(diǎn),則b的取值范圍是(0,1).【規(guī)律方法】指數(shù)函數(shù)圖象的畫(huà)法及應(yīng)用(1)畫(huà)指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,a≠1)的圖象,應(yīng)抓住三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn):(1,a),(0,1),(-1,

1

).a(2)與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)圖象的研究,往往利用相應(yīng)指數(shù)函數(shù)的圖象,通過(guò)平移、對(duì)稱、翻折變換得到其圖象.

(3)一些指數(shù)方程、不等式問(wèn)題的求解,往往利用相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖象數(shù)形結(jié)合求解.【變式訓(xùn)練】1.(2015·安慶模擬)已知函數(shù)f(x)=(x-a)·(x-b)(其中a>b),若f(x)的圖象如圖所示,則函數(shù)g(x)=ax+b的圖象是(

)【解析】選A.由已知并結(jié)合圖象可知0<a<1,b<-1.對(duì)于函數(shù)g(x)=ax+b,它一定是單調(diào)遞減的,排除C,D.且當(dāng)x=0時(shí)g(0)=a0+b=1+b<0,即圖象與y軸交點(diǎn)在負(fù)半軸上,排除B,選A.2.方程2x=2-x解的個(gè)數(shù)是

個(gè).【解析】方程的解可看作函數(shù)y=2x和y=2-x的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo),分別作出這兩個(gè)函數(shù)圖象(如圖).由圖象得只有一個(gè)交點(diǎn),因此該方程只有一個(gè)解.答案:1【加固訓(xùn)練】1.已知實(shí)數(shù)a,b滿足等式①0<b<a;②a<b<0;③0<a<b;④b<a<0;⑤a=b.其中不可能成立的關(guān)系式有(

)A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè)D.4個(gè)ab,下列五個(gè)關(guān)系式:1123(

)

=

(

)1【解析】選B.函數(shù)y=由得,a<b<0或0<b<a或a=b=0.故①②⑤可能成立,③④不可能成立.故選B.x1(

)2與y

=

1的x圖象如圖所示.2

(

)3ab112

3(

)

=

(

)2.若函數(shù)y=ax+b-1(a>0且a≠1)的圖象經(jīng)過(guò)第二、三、四象限,則a,b的取值范圍分別是

.【解析】因?yàn)楹瘮?shù)y=ax+b-1(a>0且a≠1)的圖象經(jīng)過(guò)第二、三、四象限,所以答案:(0,1),(-∞,0)0

<a

<即1,1+

b

-1

<

0,0

<

a

<1,b

<

0.考點(diǎn)3

指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用知·考情指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)主要是其單調(diào)性,備受高考命題專家的青睞.高考常以選擇題或填空題的形式出現(xiàn),考查指數(shù)冪值大小比較、解簡(jiǎn)單指數(shù)不等式、判斷指數(shù)型函數(shù)單調(diào)性以及求指數(shù)型函數(shù)的最值等問(wèn)題,難度偏小,屬中低檔題.明·角度命題角度1:比較指數(shù)冪的大小【典例3】(2015·天津模擬)設(shè)y1=40.9,y2=80.48,y3=)A.y3>y1>y2C.y1>y2>y3B.y2>y1>y3D.y1>y3>y21(

)2-1,.5則(【解題提示】利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì),分別將y1,y2,y3化為同底數(shù)的冪,再利用單調(diào)性比較大小.1

20.9

1.8

0.48

1.44【規(guī)范解答】選D.y

=4

=2 ,y

=8

=2 ,y

=因?yàn)?.8>1.5>1.44,且y=2x在R上單調(diào)遞增,所以y1>y3>y2.1(32

)-1.5

=21.5.命題角度2:研究指數(shù)型函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性等性質(zhì)【典例4】(2015·合肥模擬)已知f(x)=

a

(ax-a-x)(a>0,且a≠1).a2

-1(1)判斷f(x)的奇偶性.(2)討論f(x)的單調(diào)性.【解題提示】(1)根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義判斷.(2)分a>1及0<a<1對(duì)函數(shù)f(x)的單調(diào)性進(jìn)行討論.【規(guī)范解答】(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.又因?yàn)閒(-x)=

a(a-x-ax)=-f(x),a2

-1所以f(x)為奇函數(shù).(2)當(dāng)a>1時(shí),a2-1>0,y=ax為增函數(shù),y=a-x為減函數(shù),從而y=ax-a-x為增函數(shù).所以f(x)為增函數(shù).當(dāng)0<a<1時(shí),a2-1<0,y=ax為減函數(shù),y=a-x為增函數(shù),從而y=ax-a-x為減函數(shù).所以f(x)為增函數(shù).故當(dāng)a>0且a≠1時(shí),f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增.悟·技法有關(guān)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的問(wèn)題類型及解題思路

(1)比較指數(shù)冪大小問(wèn)題.常利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及中間值(0或1).(2)簡(jiǎn)單的指數(shù)不等式的求解問(wèn)題.解決此類問(wèn)題應(yīng)利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,要特別注意底數(shù)a的取值范圍,并在必要時(shí)進(jìn)行分類討論.(3)求解與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)問(wèn)題,首先要熟知指數(shù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性等相關(guān)性質(zhì),其次要明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成,涉及值域、單調(diào)區(qū)間、最值等問(wèn)題時(shí),都要借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷,

最終將問(wèn)題歸結(jié)為內(nèi)層函數(shù)相關(guān)的問(wèn)題加以解決.提醒:在研究指數(shù)型函數(shù)單調(diào)性時(shí),當(dāng)?shù)讛?shù)與“1”的大小關(guān)系不明確時(shí),要分類討論.通·一類51.(2015·金華模擬)已知a=21.2,b=大小關(guān)系為(

)A.c<b<a

B.c<a<bC.b<a<c

D.b<c<ac=2log52=log54<1,所以a>b>c.1(

)2-0,.8

c=2log

2,則a,b,c的(

)2【解析】選A.因?yàn)閍=21.2,b=

1

-0.8=20.8,所以a>b>1.又2.(2015·哈爾濱模擬)若函數(shù)f(x)=則不等式的解集為()

1

,x

<

0,

x

1()x

,

x

?

0,

3-

1

￡

f

(x

)￡

13

3A.[-1,2)∪[3,+∞)C.[

3

,+∞)2B.(-∞,-3]∪[1,+∞)D.(1,

3

]∪[3,+∞)所示.

1

,x

<

0,

1()x

,

x

?

0,

3【解析】選B.函數(shù)f(x)=

x

和函數(shù)g(x)=±

的圖象1

如圖3從圖象上可以看出不等式的解集是兩個(gè)無(wú)限區(qū)間.當(dāng)x<0時(shí),是區(qū)間(-∞,-3],當(dāng)x≥0時(shí),是區(qū)間[1,+∞),故不等式-

≤13f(x)≤

的1

解集為(-∞,-3]∪[1,+∞).33.(2015·鄭州模擬)設(shè)偶函數(shù)f(x)滿足f(x)=2x-4(x≥0),則{x|f(x-2)>0}=(

)A.{x|x<-2或x>4} B.{x|x<0或x>4}C.{x|x<0或x>6} D.{x|x<-2或x>2}【解析】選B.f(x)為偶函數(shù),當(dāng)x<0時(shí),f(x)=f(-x)=2-x-4.解得x>4或x<0.-x所以f(x)=

2x

-

4,

x當(dāng)?

0f,(x-2)>0時(shí),x-2有x

-2

?或