2021年廣東省河源市浰東中學高三數(shù)學文下學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項為Sn，已知a1=﹣11，a3+a7=﹣6，當Sn取最小值時，n=(

)A．5 B．6 C．7 D．8參考答案：B【考點】等差數(shù)列的前n項和．【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)和題意求出a5的值，再求出公差d、an和Sn，對Sn化簡后利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求出Sn取最小值時對應的n的值．【解答】解：由等差數(shù)列的性質(zhì)得，2a5=a3+a7=﹣6，則a5=﹣3，又a1=﹣11，所以d==2，所以an=a1+（n﹣1）d=2n﹣13，Sn==n2﹣12n，所以當n=6時，Sn取最小值，故選：B．【點評】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)、通項公式，以及利用二次函數(shù)的性質(zhì)求Sn最小值的問題．2.（5分）某全日制大學共有學生5400人，其中?？粕?500人，本科生有3000人，研究生有900人．現(xiàn)采用分層抽樣的方法調(diào)查學生利用因特網(wǎng)查找學習資料的情況，抽取的樣本為180人，則應在?？粕?、本科生與研究生這三類學生中分別抽取（）A．55人，80人，45人B．40人，100人，40人C．60人，60人，60人D．50人，100人，30人參考答案：D【考點】：分層抽樣方法．【專題】：概率與統(tǒng)計．【分析】：先根據(jù)總體數(shù)和抽取的樣本，求出每個個體被抽到的概率，用每一個層次的數(shù)量乘以每個個體被抽到的概率就等于每一個層次的值．解：每個個體被抽到的概率為=，∴?？粕怀榈娜藬?shù)是×1500=50，本科生要抽取×3000=100，研究生要抽取×900=30，故選：D．【點評】：本題考查分層抽樣的定義和方法，用每層的個體數(shù)乘以每個個體被抽到的概率等于該層應抽取的個體數(shù)，本題是一個基礎(chǔ)題．3.在一個圓錐內(nèi)有一個半徑為R的半球，其底面與圓錐的底面重合，且與圓錐的側(cè)面相切，若該圓錐體積的最小值為，則R=（

）A.1 B. C.2 D.參考答案：B【分析】畫出三視圖及正視圖，設(shè)圓錐的底面半徑為，高為,得，進一步得圓錐體積，求導求最值即可求解【詳解】幾何體如圖一所示：其正視圖如圖二所示設(shè)圓錐的底面圓心為O,半徑為，高為,則OA=,又圓錐體積令，則當，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故在取得最小值，此時故選：B【點睛】本題考查球的組合體問題，考查利用導數(shù)求最值，考查空間想象和轉(zhuǎn)化化歸能力，是難題4.已知x、y的取值如表所示，如果y與x線性相關(guān)，且線性回歸方程為y=x+，則表中的a=_________．x234y5a6參考答案：45.函數(shù)的圖象大致是參考答案：B6.已知如圖所示的程序框圖，設(shè)當箭頭a指向①時，輸出的結(jié)果s＝m，當箭頭指向②時，輸出的結(jié)果s＝n，則m＋n=A.14

B.18

C.28

D.36參考答案：B7.定義在R上的函數(shù)滿足：對任意，總有

，則下列說法正確的是

A．是奇函數(shù)

B．是奇函數(shù)

C．是奇函數(shù)

D．

是奇函數(shù)參考答案：D8.棱長為1的正方體的8個頂點都在球的表面上，分別是棱，的中點，則直線被球截得的線段長為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：答案：D.解析：正方體對角線為球直徑，所以，在過點E、F、O的球的大圓中，由已知得d=，，所以EF=2r=。9.已知直線⊥平面，直線m平面，有下列命題：

①∥⊥m；

②⊥∥m；③∥m⊥；

④⊥m∥．

其中正確的命題是

（

）

A．①與②

B．③與④

C．②與④

D．①與③參考答案：D略10.已知是虛數(shù)單位，和都是實數(shù)，且，則（

）A．B．C．D．參考答案：D

【知識點】復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算．L4因為和都是實數(shù)，且，所以可得：，解得，所以，故選D.【思路點撥】利用復數(shù)相等的條件求出和的值，代入后直接利用復數(shù)的除法運算進行化簡．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若函數(shù)f（x）為定義域D上的單調(diào)函數(shù),且存在區(qū)間（其中a<b）,使得當x∈[a,b]時,f（x）的取值范圍恰為[a,b],則稱函數(shù)f（x）是D上的“正函數(shù)”,若是上的正函數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍是

。

參考答案：【知識點】單元綜合B14（-1，-）因為函數(shù)是（-∞，0）上的正函數(shù)，所以當x∈[a，b]時，

f（a）=bf（b）=a即a2+k=b，b2+k=a，兩式相減得a2-b2=b-a，即b=-（a+1），

代入a2+k=b得a2+a+k+1=0，由a＜b＜0，且b=-（a+1）得-1＜a＜-，

故關(guān)于a的方程a2+a+m+1=0在區(qū)間（-1，-）內(nèi)有實數(shù)解，

記h（a）=a2+a+k+1，則h（-1）＞0，h（-）＞0，且△≥0，解得k∈（-1，-）．【思路點撥】根據(jù)函數(shù)是（-∞，0）上的正函數(shù)建立方程組，消去b，求出a的取值范圍，轉(zhuǎn)化成關(guān)于a的方程a2+a+k+1=0在區(qū)間（-1，-）內(nèi)有實數(shù)解進行求解．12.設(shè)過曲線f（x）=﹣ex﹣x（e為自然對數(shù)的底數(shù)）上任意一點處的切線為l1，總存在過曲線g（x）=ax+2cosx上一點處的切線l2，使得l1⊥l2，則實數(shù)a的取值范圍為

．參考答案：[﹣1，2]考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程．專題：導數(shù)的概念及應用；不等式的解法及應用；直線與圓．分析：求出函數(shù)f（x）=﹣ex﹣x的導函數(shù)，進一步求得∈（0，1），再求出g（x）的導函數(shù)的范圍，然后把過曲線f（x）=﹣ex﹣x上任意一點的切線為l1，總存在過曲線g（x）=ax+2cosx上一點處的切線l2，使得l1⊥l2轉(zhuǎn)化為集合間的關(guān)系求解．解答： 解：由f（x）=﹣ex﹣x，得f′（x）=﹣ex﹣1，∵ex+1＞1，∴∈（0，1），由g（x）=ax+2cosx，得g′（x）=a﹣2sinx，又﹣2sinx∈[﹣2，2]，∴a﹣2sinx∈[﹣2+a，2+a]，要使過曲線f（x）=﹣ex﹣x上任意一點的切線為l1，總存在過曲線g（x）=ax+2cosx上一點處的切線l2，使得l1⊥l2，則，解得﹣1≤a≤2．即a的取值范圍為﹣1≤a≤2．故答案為：[﹣1，2]．點評：本題考查了利用導數(shù)研究過曲線上的某點的切線方程，考查了數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，解答此題的關(guān)鍵是把問題轉(zhuǎn)化為集合間的關(guān)系求解，是中檔題．13.在中，，則

。參考答案：14.復數(shù)，則________.參考答案：略15.已知集合A＝，B＝，且，則實數(shù)a的值是

.參考答案：1略16.不等式的解集為________________。參考答案：17.如圖，在單位圓中，，△MON為等邊三角形；30°<∠POM<90°，則sin∠POM的值為

。參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分14分）已知函數(shù)，．

（Ⅰ）求的最大值和最小值；

（Ⅱ）若不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍參考答案：解：（Ⅰ）．……3分又，，即，．……7分（Ⅱ），，……9分且，，即的取值范圍是．……14分略19.（本小題12分）在平面直角坐標系xOy中，經(jīng)過點(0，)且斜率為k的直線l與橢圓有兩個不同的交點P和Q.（1）求k的取值范圍；（2）設(shè)橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點分別為A，B，是否存在常數(shù)k，使得向量＋與共線？如果存在，求k值；如果不存在，請說明理由．參考答案：(1)由已知條件，知直線l的方程為y＝kx＋，代入橢圓方程，得＋(kx＋)2＝1，整理得x2＋2kx＋1＝0.①由直線l與橢圓有兩個不同的交點P和Q，得Δ＝8k2－4＝4k2－2＞0，解得k＜－或k＞，——6分即k的取值范圍為∪.(2)設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則＋＝(x1＋x2，y1＋y2)．由方程①，知x1＋x2＝－.②又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝.③由A(，0)，B(0,1)，得＝(－，1)．所以＋與共線等價于x1＋x2＝－(y1＋y2)，將②③代入，解得k＝.由(1)知k＜－或k＞，故不存在符合題意的常數(shù)k.————12分略20.已知函數(shù)，.（1）當時，討論函數(shù)f(x)的零點個數(shù)；（2）若f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，且求c的最大值.參考答案：（1）見解析（2）2【分析】（1）將代入可得,令,則,設(shè),則轉(zhuǎn)化問題為與的交點問題,利用導函數(shù)判斷的圖象,即可求解；（2）由題可得在(0,+∞)上恒成立,設(shè),利用導函數(shù)可得,則,即,再設(shè),利用導函數(shù)求得的最小值,則,進而求解.【詳解】（1）當時,,定義域為(0,+∞),由可得,令,則,由,得；由,得,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,則的最大值為,且當時,；當時,,由此作出函數(shù)的大致圖象,如圖所示.由圖可知,當時,直線和函數(shù)的圖象有兩個交點,即函數(shù)有兩個零點；當或,即或時,直線和函數(shù)的圖象有一個交點,即函數(shù)有一個零點；當即時,直線與函數(shù)的象沒有交點,即函數(shù)無零點.（2）因為在(0,+∞)上單調(diào)遞增,即在(0,+∞)上恒成立,設(shè),則,①若,則,則在(0,+∞)上單調(diào)遞減,顯然,在(0,+∞)上不恒成立；②若,則,在(0,+∞)上單調(diào)遞減,當時,,故,單調(diào)遞減,不符合題意；③若,當時,,單調(diào)遞減,當時,,單調(diào)遞增,所以,由得,設(shè),則,當時,,單調(diào)遞減；當時,,單調(diào)遞增,所以,所以,又,所以,即c的最大值為2.【點睛】本題考查利用導函數(shù)研究函數(shù)的零點問題,考查利用導函數(shù)求最值,考查運算能力與分類討論思想.21.（本題滿分15分）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a－b=2，c=4，sinA=2sinB.(Ⅰ)求△ABC的面積；(Ⅱ)求sin(2A－B)．參考答案：解法一：（I）由．…1分又∵，∴．………………2分．…………………4分．……5分∴．………………7分（II）．……………9分．

………………10分．………………11分．………………13分∴…………………14分．…………15分解法二：（I）由．…………………1分又∵，∴．

……………2分又，可知△為等腰三角形．………3分作于，則．…………5分∴．……………7分（II）．…………9分．…………………10分由（I）知．……11分∴………13分

………………14分．……………………15分22.（本小題滿分12分）已知數(shù)列，，若以為系數(shù)的二次方程都有根，且滿足．（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前項和．參考答案