第五章離散時(shí)間隨機(jī)信號(Discrete-TimeRandomSignal)

主要內(nèi)容：5.1引言5.2隨機(jī)變量的描述5.3離散隨機(jī)過程5.4時(shí)間平均5.5相關(guān)序列和協(xié)方差序列的性質(zhì)5.6功率譜5.7離散隨機(jī)信號通過線性非移變系統(tǒng)5.1引言(Introduction)離散隨機(jī)信號可分成兩大類：離散時(shí)間確定信號和離散時(shí)間隨機(jī)信號5.2隨機(jī)變量的描述(TheDistriptionofRandomVariables)

概率分布函數(shù)

單個(gè)隨機(jī)變量X

的概率分布函數(shù)定義為：它的取值不超過某個(gè)特定值的概率，即：的概率如果x是連續(xù)隨機(jī)變量，x的概率密度函數(shù)定義為：或如果x

是離散隨機(jī)變量，x

的概率質(zhì)量函數(shù)定義為：的概率概率質(zhì)量函數(shù)與概率分布函數(shù)的關(guān)系為：均值隨機(jī)變量x的均值(數(shù)學(xué)期望)定義為：或

式中，是x

的離散值域，

是概率質(zhì)量函數(shù)。表示隨機(jī)變量x的統(tǒng)計(jì)平均或集合平均，簡稱均值。均值的性質(zhì)方差隨機(jī)變量x的方差定義為：其中稱為隨機(jī)變量x的均方值?；?.3離散隨機(jī)過程

(TheDiscreteRandomProcess)離散隨機(jī)過程由無限多個(gè)隨機(jī)變量構(gòu)成的一個(gè)時(shí)間序列聯(lián)合概率分布函數(shù)

中

如果和是離散隨機(jī)變的聯(lián)合質(zhì)量布函數(shù)定義為：如果一個(gè)隨機(jī)過程在不同時(shí)刻的隨機(jī)變量互不影響，那么稱諸隨機(jī)變量是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。此時(shí)有：設(shè)和是離散隨機(jī)過程在兩個(gè)不同時(shí)刻n和m上的隨機(jī)變量，定義聯(lián)合概率分布函數(shù)如下：隨機(jī)過程的數(shù)字特征(均值、方差和均方值)對于狹義平穩(wěn)隨機(jī)過程，其數(shù)字特征與時(shí)間n無關(guān)，即對于所有的n，有：以上公式均是與時(shí)間無關(guān)的常量。自相關(guān)序列式中，星號*表示復(fù)共軛?；ハ嚓P(guān)序列隨機(jī)過程和式中是和的聯(lián)合概率密度函數(shù)。

隨機(jī)過程的自相關(guān)序列定義為：的互相關(guān)序列定義為：自協(xié)方差序列互協(xié)方差序列隨機(jī)過程和的互協(xié)方差序列定義為：隨機(jī)過程的自協(xié)方差序列定義為

狹義平穩(wěn)隨機(jī)過程兩隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)只與它們的時(shí)間時(shí)間差有關(guān)，而與時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)，自相關(guān)序列、自協(xié)方差序列以及互相關(guān)序列和互協(xié)方差序列只是時(shí)間差的函數(shù)而與時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)。

廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程

概率分布函數(shù)或概率密度函數(shù)是隨時(shí)間變化的，聯(lián)合概率密度函數(shù)也與時(shí)間起點(diǎn)有關(guān)，其均值是常數(shù)(與時(shí)間無關(guān))，自相關(guān)序列只與時(shí)間差有關(guān)而與時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)。簡稱為平穩(wěn)隨機(jī)過程或平穩(wěn)過程。5.4時(shí)間平均(Time-mean)

遍歷性隨機(jī)過程

一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過程，它的一個(gè)取樣序列的時(shí)間平均等于它的集合平均。

隨機(jī)過程的時(shí)間平均隨機(jī)過程的一個(gè)取樣序列的所有取樣值的算術(shù)平均值。用表示，即：隨機(jī)過程的時(shí)間取樣自相關(guān)序列為：對于遍歷性隨機(jī)過程，有：5.5

相關(guān)序列和協(xié)方差序列的性質(zhì)(ThePropertiesofCorrelationSequenceandCovarianceSequence)設(shè){xn

}和{yn

}是兩個(gè)實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過程，它們的自相關(guān)序列、自協(xié)方差序列、互相關(guān)序列、互協(xié)方差序列為：性質(zhì)1：時(shí)：

當(dāng)和證明：性質(zhì)2：證明：∵∴性質(zhì)3：證明：性質(zhì)4：特列：證明：

因?yàn)楹投际菍?shí)隨機(jī)過程，所以以下不等式成立：

將上式左端展開，得：

所以：令，上式可以簡化成：性質(zhì)5：假設(shè)那么有：證明：性質(zhì)6：在隨機(jī)過程中，兩隨機(jī)過程的時(shí)間間隔越大，它們的相關(guān)性越小。

自相關(guān)序列、自協(xié)方差序列與均值、均方值、方差的關(guān)系：,其中角頻率是例5.5.1:隨機(jī)信號

常數(shù)，初相是在區(qū)間均勻分布的隨機(jī)變量，求

的均值和自相關(guān)序列，并判斷是否廣義平穩(wěn)隨解：的均值為：其中：機(jī)過程。的自相關(guān)序列為：

隨機(jī)信號的均值為常數(shù)，自相關(guān)序列只與時(shí)間差有關(guān)，所以為廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程。5.6功率譜(PowerSpectrum)平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜協(xié)方差序列的Z變換稱為平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜。即：對于零均值隨機(jī)信號{xn}，那么有：對于一個(gè)實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過程，的Fourier變換總是存在的，即：上式的逆變換為：和

由上式可得到：即：

功率譜在一個(gè)周期內(nèi)的平均值就是隨機(jī)過程的平均功率。

功率譜的性質(zhì)1.實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜是非負(fù)的，即：2.實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜是實(shí)函數(shù)，即：式中，*號表示復(fù)共軛。證明：3.實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜是的偶函數(shù)，即：證明：

平穩(wěn)隨機(jī)過程的互功率譜兩個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過程

和的互功率譜定義為：或者

由以上可得出：例相位為平穩(wěn)隨機(jī)的正弦序列仍然是一個(gè)平穩(wěn)式中，A是正弦序列的增幅，是正弦序列的角頻率。求該正弦序列的功率譜。解：該正弦序列的功率譜為：

2A隨機(jī)過程，它的自相關(guān)序列為：，|m|例設(shè)平穩(wěn)隨機(jī)的自相關(guān)序列為：，

R(m)=a,|a|<1xx求該隨機(jī)過程的功率譜。解：隨機(jī)過程的功率譜為：+∞+∞j

?jm|m|?jmS(e)=R(m)e=aexx∑xx∑m=?∞m=?∞0+∞|m|?jm|m|?jm=ae+ae?1∑∑m=?∞m=0+∞+∞mm?jm=ae+ae?1∑∑m=0m=011=+?1j?j1?ae1?ae21?a=21?2acos+a上面求得的功率譜都是實(shí)的、非負(fù)的偶函數(shù)。mj5.7離散隨機(jī)信號通過線性非移變系統(tǒng)(TheDiscreteRandomSignalthroughtheLinearShift-invariantSystem)隨機(jī)信號通過線性非移變系統(tǒng)其中離散隨機(jī)信號是一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過程的一個(gè)取樣序列，為線性非移變系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)。輸出隨機(jī)過程的均值系統(tǒng)的輸出響應(yīng)是輸出隨機(jī)過程的一個(gè)取樣序列，根據(jù)遍歷性假設(shè)，由的均值為由于故：注：求出5.7.3輸出隨機(jī)過程的自相關(guān)序列

輸出隨機(jī)過程的均值為常數(shù)，其自相關(guān)序列只與時(shí)間差有關(guān)，所以它是一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過程。令上式可以寫成：式中：是系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)的自相關(guān)序列〔確定信號〕。5.7.4輸出隨機(jī)過程的功率譜機(jī)過程的均值亦為零。那么有：

設(shè)是實(shí)序列，那么有：如果是復(fù)序列，那么：所以：

假設(shè)輸入隨機(jī)過程的均值，因此輸出隨注：當(dāng)是復(fù)序列時(shí)，，其中的Z變換為：在為實(shí)序列的情況下，有：?1S(z)=S(z)H(z)H(z)yyxx如果系統(tǒng)是穩(wěn)定的，那么的收斂域包括單位圓，所以：注：當(dāng)h(n)是實(shí)序列時(shí)，即：輸出隨機(jī)過程的功率譜等于輸入隨機(jī)過程的功率譜與系統(tǒng)頻率特性幅度平方的乘積。輸入輸出隨機(jī)過程的互相關(guān)序列∞即：所以：上式說明，輸出隨機(jī)過程的自相關(guān)序列，可以通過?

輸入與輸出間的互相關(guān)序列與系統(tǒng)沖激響應(yīng)進(jìn)行相關(guān)計(jì)算來得到(注意：與進(jìn)行線性卷積等效于與進(jìn)

行相關(guān)運(yùn)算)。系統(tǒng)沖激響應(yīng)的自相關(guān)序列為：

如果輸入是一個(gè)零均值的平穩(wěn)白噪聲隨機(jī)過程，其方差為，自相關(guān)序列是，功率譜為根據(jù)有對上式進(jìn)行Z變換：如果系統(tǒng)輸入和輸出之間的互相關(guān)序列和互功率譜，可以由上式求出系統(tǒng)的沖激響應(yīng)或系統(tǒng)函數(shù)：或輸出隨機(jī)過程的方差輸出隨機(jī)過程的均方值為：因?yàn)?，所以式中的積分圍線可選擇為單位圓。c例有一線性移不變系統(tǒng)：，當(dāng)它的輸時(shí),在它的輸出端得到一個(gè)隨入端作用一個(gè)白噪聲x(n0

)機(jī)信號，。設(shè)白噪聲的方差等于1,即：求隨機(jī)信號的自相關(guān)序列。譜的關(guān)系：將上式進(jìn)行局部分式展開，得：對上式求逆Z變換得：〔收斂域：，因?yàn)槭欠€(wěn)定的因果系統(tǒng)〕解：根據(jù)輸出隨機(jī)過程的功率譜和