第三一階可解類型(包括，可分離、可化為可分離型；一階線性、可化成一階線性型全微分方程、簡單積分因子型).程轉(zhuǎn)化成上述三類可解類型.也就是，先觀察方程的特點(diǎn)，設(shè)出解的可能形式,通常稱為“形式解”,在這種形式解中,包含有變)將方程化成關(guān)于新變量下的可解類型。

6的特解為(51]原方程變形為dy1y1x2， dy

y0lny1lnxlnc2

y

xx再設(shè)y xxx x

1

1x2x2x

c'(x)

3112積分得c(x

1x2dxC323

1x2C151于是非齊次方程的通解為y x5

xx2C) x

1x35

6解得C15

y 1x3x5x

1y1x2 u(x)e1

dy x2 x

xyxx,yyx

dx 5 1

1x6 5

x21y x 5 x3]yx3dx2xdy0ydx2xdy1ydxxdy1x3dx

ydx dy

1x xy x xx3 xy x xx3 x2dx

2 dx dyx3y x3ydyx3y dyty11 6tu(t)u(t)11 15u 1-2求微分方程x2yxyy2y 1]x0時，原方程變形為yx 令uy，代入 xuu22u

dx u2 通解為u2Cxu

y2xCx2（x0y2]y1y1y xy2y1y11y11y1 令uy1，代入得關(guān)于u的線性方程u1u1 3]x2dyxydxy2dxx2dyxydx x(xdyydx) dx dx (xdyydx)dx0d(xy)dxy2 xy d120

1C x2

數(shù)xxy的一階線性微分方程，其標(biāo)準(zhǔn)形式為

1 exy

1 1 xy

1

C

1e

ey ey

12y C eydy C

x1

1 ex

，u(y)

1y yexye

y

y e2e2y

xy

y1e2y2ydxxyxeydy0ydxxdyxydyeydyd(xy)xydydey0eyd(xy)xyeydyeydeye

d(xy)xydey

e22

y

e2y0 e2y e2dxye 0xyey C 2 x3y3x2yy 方程:dy3y1 y2dy3y11dy13y1 x3/yxcyx3/(cx)dy

y3

2xdx2

y23x22x2

d

y23t2t

u23ut

u2d d 1-5xyyxlnx】令u(x)y(x)，則原方程變?yōu)?/p>

u1ulnxx1dx

1

1 u xC1 e lnxdxxC12x2lnx x2yu1C1x2lnx1x2 x y1x2(lnx1)ClnxC,其中CC 2由于(xy)xyy，令uxy原方程化為uxlnxu1x2lnx1x2C 1yu11x2lnx1x2C 1 x y

x(lnx1)C1lnx242【解3】:xyyxlnx是二 方程:x2yxyx2lnx令tln

1,y(x)y(t)

xy(x)y(t) y(x)y(t)y(t)x2y(x)y(t)y(t)x2yxyx2lnxy(t)y(t)y(t)te2ty(t)te2ty(t)te2tyte2tdtt1e2tyt1e2t

4c1tc2y4

(lnx1)c1lnx4y(tte2t4atbe2t4ae2tt4at4(ba)ta1/4,ba1/4非齊次特解Y1t1)e2tyt1e2tct y

x(lnx1)c1lnx2421-6yyy)2y2lny【1】可降階微分方程。令uy)yxy(x)uyy(x)uuyy(y)2y2lnyyuuu2y2lnu1uu1ylny py1u2y u1uu1ylnyp2pylnyp 2 1ln2yy u Cln2即yy 其通解為ln(lny Cln2y)Cln2y

yy(y)2y2lny

yy(y)2lnyy2 y

lny(lny)lny(lny)lnlnycexcexcex2exlnyc lny ln2lny ln2yy

axybxy

y3xy1 ;記Y(x)y1(x)y2(x)y3(x)。若Y(x)是該方程的解，則,,必有 ;若Y(x)是該方程對 y2xy1

xyxyxyxy3xy1 1-8．yxexe2xyxexex y3xexe2xex是某二階線性常系數(shù)非齊次微分方程的三個解， [解]根據(jù)線性非齊次微分方程的解的疊加原理，知y1y3ex和2y1y2y3e2x是所求微分方程對應(yīng)的二階線性常系數(shù)齊次12220yy2y0 yy2yfx，將y1xex代入得yy2y12xexyaybyfx

xexe2x，y2xexexy3xexe2xex1abx2aex42abe2xf1abx2aex42abe2x1abexfx1－ab從而42ab0，解得a1,b2fx12xex，故所求微分方程為yy2y12xex。例1-9微分方程yyyy0的解( 在(0,y(xlimy(x)在(0,y(xlimy(x)在(0,(D)在(0,y(x

1

411

i1一般解:yc1exc2cosxc3sin 1

yq(xyg(x特解1,x則對應(yīng)齊次方程的一般解是(c11xc21x22非齊次項(xiàng)函數(shù)gx是

1解：(1)1x1

2yq(xy0

y1y2yq(xyg 從而有g(shù)xqx 1

,yxy2yq(xygx 1

y2

y11x2y21xy2y12y11 y1221-11yyypxex,p(xxx2)e式。今已知該方程有一特解y2(1x2

,試確定,,之值,px;x2)ex[1]y21x2yyypxex得 x2px

2221x12e x0,p 2p(x是一次多項(xiàng)式101p(xx

x x2 xe

,通解是：

2 [2]y20x2)p(x是一次多項(xiàng)式,y21x2

則可1y11y2ex是齊次方程的兩個解Y(x)(xx2)exx(1x) xxx2

2e yypxexp(x)YYx例1-12．y2y3yxxexe3xsinx的一個特解形式為( [解]原方程對應(yīng)的齊次方程的兩個特征根分別為1,3，所以y2y3yx的一個特解形式為y1AxBy2y3yxex的一個特解形式為y2xCxDex（單根）y2y3ye3xsinx的一個特解形式為y3e3xEsinxFcosxy*y1y2

Axbx(CxD)exe3x(EsinxFcosx1-13．y4y4yeax11(y

ae e

,a) a1-14yy2xex2sinx解yC1cosxC2sin齊次方程yy2xex和的一個特解。yy2xex

(axb)ex再設(shè)非齊次方程yy2sinx的一個特解形式為y2x(AcosxBxA1B0y2xcosyC1cosxC2sinxx1)exxcosx 1-15x2y4xy6yx2lnx 解：原微分方程為二階方程，當(dāng)x0時，令xet， xydy d2 ，x dt d2 dt

6ye2tt yC1e2tC2y*t(atb)e2t2at2ab解得a1b1

Y1t(t2)e2t yCe2tCe3t

t(t2)e2tyCx2Cx31x2(lnx2lnx 學(xué)上看,就是找出末知函數(shù)的微分關(guān)系。yQyQy0xxT2-1yyx通過原點(diǎn)并y軸的垂線,y軸交于T點(diǎn)和Q點(diǎn)。則三角形PQT的面積與曲線在區(qū)間

解：列方程：2xxy3yxdx x0,y(0)0 yyx通過原點(diǎn)并在第一象限,y(0)0

0,0x,yx0x2y60x2y2xy6y0，這是 令yx得特征方程：260， ycx2cx3;y(0)0c20ycx2, 的曲率等于此曲線在該點(diǎn)法線段PQ長解：(1)

11yyP(x,xyyy2yyyyxxx

y2xxy 所以函數(shù)的定義域是:022-3M千克的物體在空中從地面以初速v0正比（比例系數(shù)為k）,試求該物體運(yùn)動速度與時間的關(guān)系.MmtvgMmtkvv

M

v

v(0) kkv(t)

g

MmtCMmtm

gM 由v0v0，得到v0

CMmCv0 mk

mkv(t)

mm vgM1m 1 tm km M km M M1at 0tT[注]:若質(zhì)量為M(t) T 0a1 tT

FF(t)

at,0tT0tTM(t)vF(t)M(t)gkvv

v

F

v

akP0tT, M(1at/T)vT(1at/T) v vgtT, (1a)Mv0s0后終于停下。假設(shè):f常數(shù)，空氣阻力與速度的平方成正比，比例系數(shù)為cf d2 ds m c v v解：方程 dt dt s(0)0,s(0) dv22cv22

ds mv2sv2fe f c vss0由vs0 v2sv2fe2mcs0f

c s0cv2fe2mc0fs0

cv f c

cem0中每分鐘加入濃度為的鹽水MN公升(MN溶液。假設(shè)攪拌能使?jié)舛缺３志鶆?。求容器中溶液濃度隨時間t的變化。 V時段ttt內(nèi)鹽量的變化xxMxNtdxM x

BMNdx x BMN ,dy M

A

M BMNty

1

B 2yt表示時刻t容器中的鹽的濃度，時刻t溶液的體積為VtBMNt時段ttt內(nèi)鹽量的濃度的變化y dy MyyVtdtyV BMNt微分方程的解是滿足所給方程與條件的函數(shù),從函數(shù)的角也是函數(shù)的一種表示形式.因此,我們可以在微分方程的形式下，提出關(guān)于研究函數(shù)性質(zhì)的種種問題如函數(shù)的增、減性和凸凹性，求函數(shù)的極限，求臺勞以及極值或最值問題等等。3-1．yf(xy2yyexf(0)14

f(0)0，則函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0( (A)取到極大 (C)某個領(lǐng)域內(nèi)單調(diào)增 因?yàn)閥f(xy2yyexf(0)14

f(0)0f(0)1f(0)50x04f(x的一個極小值點(diǎn)，故選項(xiàng)（B）[注]y2yy

1ex3xex ,得到其解為y '

exy(0) ,y(0)

yx2cos2,則n的取值范圍是( )

,若極限

y(xx存在解：y2xsin2yx2cos2yy00y22cos2yx2cos2ysin2y2xysin2yy02 133

x3 y o3

x~ 3-3,f(xf(xf(x)22xx0yf1]f(0)0x0yf(xf(0)0f(xf(x)22xf(0)0f(x)22f(x)f f(0)20(0,f(0yf(xx0yf(x2]f(0)0x0yf(xf(0)0，由已知等式得且f(0)0，另有

f(x2xf(x)2

f(x)x

2

fx

2

2f(x)f(x)

20f(xx0且0，使當(dāng)x0f(x0f(x0而當(dāng)0xf(x0f(x0f(xx0兩側(cè)不改變增減性。因此x0yf(x的極值點(diǎn)。3]x0yf(xf(0)0且f(0)0，于是f(x)22f(x)f f(0)20(0,f(0))必為yf(x)的拐點(diǎn)，與x0為yf(x)的極值點(diǎn)相 例3-4．若函數(shù)yf(x)滿足微分方程及初始條件:xyy1ln(1 fx)0 limy(x)[0,0.1]p(x)f(0)f(0)x1f(0)x21f(0)x fx)nn 1xnan 1an

x xn

xn1

xn

1n

xn1

xn n1ann1

n

xn n1ann10,n ann12

n yx1 2xn,收斂域x1, k xk k1n n

yx1 xk xk k1n n22k xyy1ln(1

n221x[解2]： xy

xln(1limy(x) yx ln(101x

0yx

ln(1x)dx

n1xn1dxx

x n1

,

x limfx

xf0ef0egt limgx0 x1f(tx)dt2xf(t)dtxf(xx3f(1)0f(x 令uxt xf(u)du2xf(t)dtxf(x)x3 xf(x)2f(xf(xxf(x3x2f(x2f(x)3xf(x)c13x2xf(1)0得c

3f(x)3 4x

3x。4

x 3-7fx在0,連續(xù),f12且xy0,fxyxfyyfx成立，求f(x。1xy1f111f11f1f10;x,y0,xx0fxxyxxfyyfxfxyxfyyf ,兩式相減fxyyxfxyxfyyfxxffxyyxfxyfyyfxxf

x1,y0,yyx0fyyxfyfyyf1xf1,f(1當(dāng)x0,y

yfy

fyyfyfyfyyf1yfy

fy2yfy2yln 2fx在恒等式xy0,fxyxfyyfxyx求導(dǎo)yfxyfyyfx;x1

fy2fy2yln極限);多元函數(shù)的微分與多元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的區(qū)別；多元函數(shù)高階混合偏導(dǎo)數(shù)的次序問題;多元積分問題的多種形式等等。p0x0y0點(diǎn)哪些性質(zhì)；不能推出哪些性質(zhì)(指平面、是否有切線等)？并說明理由。fP,f limffP0,fP0解f(x,1)df(x,1)dx d d4-3f(xy在點(diǎn)(x0y0（By

fxy)不存在；(B)f(xy在點(diǎn)(x0y0f(xy在點(diǎn)(x0y0f(xy在點(diǎn)(x0y0四個選項(xiàng)中只有Cf(xy在點(diǎn)(x0y0可f(xy在點(diǎn)(x0y0不可微這一條件f(xy在點(diǎn)(x0y0兩個偏導(dǎo)數(shù)不可能都存在且連續(xù).4-4fixyi1,2,3,4P0x0y0的全增量fp0fx0xy0yfx0y0(I)f(P)xyx f2(P0)xy f3(P0)xy x2yf(P) x2y2x2y

x2y其中，在P0(x0,y0)點(diǎn)可微的函數(shù)是( 解:f(P)xyx df(P)o( x2y4x2y因?yàn)?，f1(P0)x2y4x2y44x2yx x2y

xxx2y4x2y x x22xyyx22

x xx x2yx2yx2y例4-5gx,y在(0,0)點(diǎn)連續(xù),f(x,y) gx2yfxy在(0,0)g(0,0)0f(0,0)

x2yx2x2yx2g

lim

x,0 y2g0,f(0,0) y2g0, fx,y在(0,0)點(diǎn)可微g(0,0)2

x2y2r2上, 0,證明xzzxyz(xyf(xgy2 z xz 0 0 dx x x 0z(x,y)z(0,y)0z(x,y)z(0,y)h( yz(x,

y dy h(y)dyz(x,y)z(x,0) yz(x,y)z(x,0) 0z(x,y)f(x)g(y)4-7zz(xyzsiny

1

,z(1,y)sinyz(xy解:zzdxgy)xsiny1ln(1xygyx1

z(1,y)siny1ln(1y)g(y)y得siny1ln(1ygy)sinyygy1ln(1yyzxsiny1ln(1xy1ln(1y 階導(dǎo)數(shù),且F(x0,y0)0，F(xiàn)(x0,y0)

F(x0,y0) 2F(x0,

00 00它在點(diǎn)x0取極大值它在點(diǎn)y0取極大值x0Fxy0yyx，它在點(diǎn)x0取極小值y0Fxy0xxy，它在點(diǎn)y0取極小值解：Fx0y0)0yyx

) 0F(x0,y0 F(x0,yF(x0,y0 F(x0,y0 y

yy(x)FyFxx

0y (Fy

(x,y02f(0,0)

f(2h,e21h)2f(h,eh1)f(0,

f

2h)2f(h,

h)f=

1

2h)2fy(2h,

2h)

]2

h)[eh lim1[h0

2h)fx(h,

h)]

2h)2fxx(h,eh f(2h,e2h)[e

]f(h,eh)[eh

fx x x4-10DxyR

x

yb,a0,b0}f

kf(xy),(常數(shù)k0)Df(x,y0f(x,yD證明z(xy不恒為0，不妨設(shè)其在區(qū)域D上某點(diǎn)P(x0y0f(zP0f是嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)。一，主要是靈活運(yùn)用多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，和一階微分不變性5-1.uxf(x,yf(xy x[ff )]=fxf f(x, x x

。

xf xyy[

xf2=f1xf11fyf1fyf22x

12 x 22 x 5-2zf(x,y在(aa可微,(x)f(x,f(x,f(xf(a,a)a,

b,

bd2

d2(x)2(x)d(x);d(x)ffdf(x,f(x, 2其中,df(x,f(xx))ffff 于是,d2(x)2(xffffff xaya(a)f(a,f(a,f(a,a)))a,f1(a,a)b,f2(a,a)bd2

2a(bb22b3)5-3uyfxxgyfg

2u:ufgyg 2u

( g) 1

y gy

x2 x2 xg(x2)=yf

x3

(u)=fy

(x)g(1)1gygy =xy

fygx

2uy

0

22

2xyyu,xx2y2y202u2

2ux2y

xy 5-4．設(shè)uf(xytx2y2t21。求u解:將uxt的函數(shù)，則uffyff將uyt

u

yfx

yf x x5-5zsinxyf(x,xfC2P0,ypp

p解dfx,yp

2dx32fPfP2,fPfP3 yzycosxyf1f 23y

Pzxcosxy y

P x cosxyxysinxy f

f

f22

22122P

y23204

y2 zf(xyyxxzy