第三章經(jīng)典單方程計量經(jīng)濟學模型：多元線性回歸模型計量經(jīng)濟學多元線性回歸模型及參數(shù)估計本章主要內(nèi)容§3.1多元線性回歸模型及其參數(shù)估計§3.2多元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗§3.3多元線性回歸模型的區(qū)間估計計量經(jīng)濟學多元線性回歸模型及參數(shù)估計§3.1多元線性回歸模型

及其參數(shù)估計一、多元線性回歸模型及其基本假定二、多元線性回歸模型的參數(shù)估計三、OLS參數(shù)估計量的統(tǒng)計性質(zhì)四、樣本容量問題五、多元線性回歸模型實例計量經(jīng)濟學多元線性回歸模型及參數(shù)估計由于：在實際經(jīng)濟問題中，一個變量往往受到多個原因變量的影響；

“從一般到簡單”的建模思路。所以，線性回歸模型中的解釋變量往往有多個（至少開始是這樣）。這樣的模型被稱為多元線性回歸模型。一、多元線性回歸模型及其基本假定計量經(jīng)濟學多元線性回歸模型及參數(shù)估計

多元線性回歸模型的一般形式為：

習慣上，把常數(shù)項看成為一個虛變量（記作Xio）的系數(shù)，在參數(shù)估計過程中該虛變量的樣本觀測值始終取1（即Xi0≡1）。

i=1,2,…,n

這樣：模型中解釋變量的數(shù)目為（k+1）。1.多元線性回歸模型的形式(見教材P62-63)計量經(jīng)濟學多元線性回歸模型及參數(shù)估計

多元線性回歸模型的矩陣表達式為：其中

注意這里的符號和教材P63的對應關系。計量經(jīng)濟學多元線性回歸模型及參數(shù)估計其中如果多元線性回歸模型的樣本回歸模型為：(教材P63)

i=1,2,…,n

則有計量經(jīng)濟學多元線性回歸模型及參數(shù)估計2.多元線性回歸模型的基本假定(見教材P64-65)（2）解釋變量Xj(j=1,2,…,k)是確定性變量，不是隨機變量，在重復抽樣中取固定值；解釋變量之間不存在嚴格的線性相關性（無完全多重共線性）。

（3）各個解釋變量Xj在所抽取的樣本中具有變異性，而且隨著樣本容量的無限增加，各個解釋變量Xj的樣本方差趨于一個非零的有限常數(shù)Qj。即當n→∞時，（1）回歸模型是正確設定的。

為使參數(shù)的普通最小二乘估計量具有良好的統(tǒng)計性質(zhì)，對多元線性回歸模型提出下列基本假定：計量經(jīng)濟學多元線性回歸模型及參數(shù)估計

（4）隨機誤差項具有零均值和同方差；隨機誤差項在不同樣本點之間是獨立的，不存在序列相關：

E(i)=0i=1,2,…,nVar(i)=2i=1,2,…,nCov(i,j)=0i≠ji,j=1,2,…,n注意：嚴格講，這里應該是條件期望、條件方差和條件協(xié)方差的形式。教材P65指出：這里的條件期望、條件方差和條件協(xié)方差均可以簡寫為非條件的形式。計量經(jīng)濟學多元線性回歸模型及參數(shù)估計（5）隨機誤差項與解釋變量之間不相關：

Cov(Xij,i)=0i=1,2,…,n；j=1,2,…,k（6）隨機誤差項服從零均值、同方差、零協(xié)方差的正態(tài)分布：

i~N(0,2)i=1,2,…,n注意：以上假設也稱為線性回歸模型的經(jīng)典假設或高斯（Gauss）假設。滿足這些假設的線性回歸模型，也稱為經(jīng)典線性回歸模型（ClassicalLinearRegressionModel,CLRM）。

在經(jīng)典假設下，嚴格講，這里也應該是條件協(xié)方差形式。嚴格講，這里也應該是條件分布形式。計量經(jīng)濟學多元線性回歸模型及參數(shù)估計

2.多元線性回歸模型的基本假定（矩陣形式）關于多元線性回歸模型的基本假定2~6，也可以寫成矩陣形式。見教材P64-65，一定要熟記。如：秩(X)=k+1，即Xn×(k+1)為列滿秩矩陣。因為各個解釋變量之間不存在嚴格的線性關系，也即任何一個解釋變量都不能用其它解釋變量的線性組合來表示，這樣，矩陣X的任何一列都不可能通過線性變換變成全為0。計量經(jīng)濟學多元線性回歸模型及參數(shù)估計

2.多元線性回歸模型的基本假定（矩陣形式）計量經(jīng)濟學多元線性回歸模型及參數(shù)估計

2.多元線性回歸模型的基本假定（矩陣形式）計量經(jīng)濟學多元線性回歸模型及參數(shù)估計1.普通最小二乘估計二、多元線性回歸模型的參數(shù)估計（i=1,2,…,n）隨機抽取被解釋變量和解釋變量的n組樣本觀測值計量經(jīng)濟學多元線性回歸模型及參數(shù)估計根據(jù)最小二乘原理，參數(shù)估計值應該是下列方程組的解：

其中最小計量經(jīng)濟學多元線性回歸模型及參數(shù)估計于是得到關于待估參數(shù)估計值的正規(guī)方程組：

問題：我們無法象一元回歸那樣，用小代數(shù)公式來表達多元線性回歸模型的參數(shù)估計量！計量經(jīng)濟學多元線性回歸模型及參數(shù)估計上述估計過程的矩陣表示其中從而，被解釋變量的觀測值與估計值之差的平方和為：

計量經(jīng)濟學多元線性回歸模型及參數(shù)估計求解過程如下：（教材P66）要點：若A、X均為列向量，則A’X

關于列向量X的導數(shù)為A。注意：一個函數(shù)關于列向量求導，是指這個函數(shù)關于列向量中的每個元素求導，其結果仍應寫成列向量的形式。計量經(jīng)濟學多元線性回歸模型及參數(shù)估計于是，得到正規(guī)方程組：

由于假定解釋變量之間不存在多重共線性，

X’X為(k+1)階滿秩矩陣，可得參數(shù)的最小二乘估計值為：

該式等價于P66的（3.2.3）式計量經(jīng)濟學多元線性回歸模型及參數(shù)估計例

利用第二版P28表2.1.3中的家庭可支配收入（X）和消費支出（Y），估計一元線性回歸模型，參數(shù)估計的計算可通過下面的表2.2.1進行。計量經(jīng)濟學多元線性回歸模型及參數(shù)估計因此，由該樣本估計的回歸方程為：

小代數(shù)解法：計量經(jīng)濟學多元線性回歸模型及參數(shù)估計對于該例題，如果用矩陣公式求解，那么過程如下：可求得：

計量經(jīng)濟學多元線性回歸模型及參數(shù)估計例3.2.1對于第三版P37例2.3.1的家庭可支配收入-消費支出數(shù)據(jù)，如果用矩陣公式求解，那么過程如下：見教材P67，略計量經(jīng)濟學多元線性回歸模型及參數(shù)估計?正規(guī)方程組的另一種寫法：(教材P67)對于正規(guī)方程組

于是

或

(*)或（**）是多元線性回歸模型正規(guī)方程組的另一種寫法。

(*)(**)計量經(jīng)濟學多元線性回歸模型及參數(shù)估計離差形式的樣本回歸方程由于所以這就是離差形式的樣本回歸方程。計量經(jīng)濟學多元線性回歸模型及參數(shù)估計隨機誤差項的均值為0，方差的無偏估計量為：

提示：證明過程參見潘文卿、李子奈：《計量經(jīng)濟學學習指南與練習》，高等教育出版社，2010，P37-38，例7隨機誤差項方差的無偏估計量計量經(jīng)濟學多元線性回歸模型及參數(shù)估計隨機誤差項方差估計量的無偏性（證明，有補充，不要求）

由于被解釋變量的估計值與觀測值之間的殘差殘差的平方和為：所以有計量經(jīng)濟學多元線性回歸模型及參數(shù)估計其中,符號“tr”表示矩陣的跡，其定義為矩陣主對角線元素的和。于是所以，隨機誤差項方差的無偏估計量為注意：這里對潘文卿等《計量經(jīng)濟學學習指南與練習》（P37-38，例7

）作了補充！提示：tr(A+B)=tr(A)+tr(B)；tr(ABC)=tr(CAB)=tr(BCA)這兩步推導，分別利用了序列無關假定和同方差假定！即計量經(jīng)濟學多元線性回歸模型及參數(shù)估計注：潘文卿等《計量經(jīng)濟學學習指南與練習》P50給出了另一種證明。（不要求）計量經(jīng)濟學多元線性回歸模型及參數(shù)估計2.最大似然估計（MaximumLikelihood,ML)

(不作要求）隨機抽取Y的n組樣本觀測值，其聯(lián)合概率為

計量經(jīng)濟學多元線性回歸模型及參數(shù)估計對數(shù)似然函數(shù)為參數(shù)的最大似然估計

結果與參數(shù)的普通最小二乘估計相同。

計量經(jīng)濟學多元線性回歸模型及參數(shù)估計3.矩估計（MomentMethod,MM）

（不作要求）計量經(jīng)濟學多元線性回歸模型及參數(shù)估計三、OLS參數(shù)估計量的統(tǒng)計性質(zhì)（教材P70）另外，隨著樣本容量的增加，即當n→∞時，參數(shù)估計量還具有漸近無偏性、一致性和漸近有效性等三個性質(zhì)。計量經(jīng)濟學多元線性回歸模型及參數(shù)估計1．線性

2．無偏性

這里利用了解釋變量為非隨機變量和隨機誤差項的零均值假設：計量經(jīng)濟學多元線性回歸模型及參數(shù)估計3．有效性

其中利用了計量經(jīng)濟學多元線性回歸模型及參數(shù)估計計量經(jīng)濟學多元線性回歸模型及參數(shù)估計根據(jù)高斯—馬爾可夫定理，上述方差在所有無偏估計量的方差中是最小的，所以普通最小二乘參數(shù)估計量具有有效性。

計量經(jīng)濟學多元線性回歸模型及參數(shù)估計四、樣本容量問題1.最小樣本容量2.滿足基本要求的樣本容量

計量經(jīng)濟學模型，說到底是從表現(xiàn)已經(jīng)發(fā)生的經(jīng)濟活動的樣本數(shù)據(jù)中尋找經(jīng)濟活動中內(nèi)含的規(guī)律性，所以，它對樣本數(shù)據(jù)具有很強的依賴性。

計量經(jīng)濟學多元線性回歸模型及參數(shù)估計⒈最小樣本容量（教材P71）所謂“最小樣本容量”，是指從最小二乘原理出發(fā)，欲得到參數(shù)估計量，不管其質(zhì)量如何，所要求的樣本容量的下限。樣本容量必須不少于模型中解釋變量的數(shù)目（包括常數(shù)項）：（證明過程，見教材P71）這就是最小樣本容量。計量經(jīng)濟學多元線性回歸模型及參數(shù)估計2.滿足基本要求的樣本容量（教材P71）雖然當n≥k+1時可以得到參數(shù)估計量，但除了參數(shù)估計量質(zhì)量不好以外，一些建立模型所必須的后續(xù)工作也無法進行。

計量經(jīng)濟學多元線性回歸模型及參數(shù)估計五、多元線性回歸模型實例計量經(jīng)濟學多元線性回歸模型及參數(shù)估計（一）中國居民人均消費模型

——二元線性回歸模型第二版教材P65例3.2.2

被解釋變量：居民人均消費支出CONSP解釋變量：人均國內(nèi)生產(chǎn)總值GDPP;滯后一期（前一年）的居民人均消費支出CONSP(-1)模型的形式：二元線性回歸模型樣本數(shù)據(jù)：見第二版教材P50表2.5.1。計量經(jīng)濟學多元線性回歸模型及參數(shù)估計第二版教材P50表2.5.1中國居民人均消費支出與人均GDP

（元/人）計量經(jīng)濟學多元線性回歸模型及參數(shù)估計Eviews軟件運行結果計量經(jīng)濟學多元線性回歸模型及參數(shù)估計

擬合效果計量經(jīng)濟學多元線性回歸模型及參數(shù)估計（二）第三版教材P72-73例3.2.2已知數(shù)據(jù)是2006年中國內(nèi)地各省區(qū)城鎮(zhèn)居民家庭人均全年可支配收入與人均全年消費性支出。要求：以人均全年消費性支出為被解釋變量，以人均全年可支配收入與滯后一期的人均全年消費性支出為解釋變量，建立二元線性回歸。計量經(jīng)濟學多元線性回歸模型及參數(shù)估計第三版教材P72-73例3.2.2DependentVariable:YMethod:LeastSquaresSample:131Includedobservations:31VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.C143.3265260.40320.5504020.5864X10.5556440.0753087.3783200.0000X20.2500850.1136342.2007910.0362R-squared0.975634Meandependentvar8401.468AdjustedR-squared0.973893S.D.dependentvar2388.459S.E.of