吉林省長春市藝術(shù)實驗中學2022年高二數(shù)學理下學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.用反證法證明“三角形中至少有一個內(nèi)角不小于60°”，應先假設這個三角形中（）A．有一個內(nèi)角小于60° B．每一個內(nèi)角都小于60°C．有一個內(nèi)角大于60° D．每一個內(nèi)角都大于60°參考答案：B【考點】R9：反證法與放縮法．【分析】找到“三角形的內(nèi)角中至少有一個不小于60°”的對立事件，由此能求出結(jié)果．【解答】解：∵“三角形的內(nèi)角中至少有一個不小于60°”的對立事件是：“三角形中每一個內(nèi)角都小于60°”，∴反證法證明三角形中至少有一個內(nèi)角不小于60°，應假設三角形中每一個內(nèi)角都小于60°．故選：B．2.已知橢圓:與雙曲線:有公共的焦點，那么雙曲線的漸近線為A.

B.

C.

D.參考答案：D略3.易知點M是直線上的動點，點N為圓上的動點，則|MN|的最小值為（

）A. B.1

C. D.參考答案：A的最小值為,選A.

4.某調(diào)查機構(gòu)調(diào)查了當?shù)?00個新生嬰兒的體重，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出了樣本的頻率分布直方圖(如圖所示)，則新生嬰兒的體重(單位：kg)在[3.2,4.0)的人數(shù)是(

)A．30

B．40 C．50

D．55

參考答案：B略5.直線x+y+1=0的傾斜角為（）A．150° B．120° C．60° D．30°參考答案：A【考點】直線的一般式方程．【分析】直接利用傾斜角的正切值等于斜率求解．【解答】解：設直線的傾斜角為α（0°＜α＜180°），則tanα=．所以α=150°．故選A．【點評】本題考查了直線的一般式方程，考查了斜率和傾斜角的關(guān)系，是基礎(chǔ)題．6.設m，n為兩條不同的直線，α為平面，則下列結(jié)論正確的是（）A.， B.，C.， D.，參考答案：D【分析】A，若m⊥n，m∥α時，可能n?α或斜交；B，m⊥n，m⊥α?n∥α或n?α；C，m∥n，m∥α?n∥α或m?α；D，m∥n，m⊥α?n⊥α；【詳解】對于A，若，時，可能或斜交，故錯；對于B，，或，故錯；對于C，，或，故錯；對于D，，，正確；故選：D．【點睛】本題考查了空間點、線、面的位置關(guān)系，熟記線面平行的判定與性質(zhì)，線面垂直的判定與性質(zhì)是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．7.已知兩個丁圓O1和O2，它們的半徑分別是2和4，且|O1O2|=8，若動圓M與圓O1內(nèi)切，又與O2外切，則動圓圓心M的軌跡方程是（）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線一支 D．拋物線參考答案：C【考點】雙曲線的定義．【分析】由兩個圓相內(nèi)切和外切的條件，寫出動圓圓心滿足的關(guān)系式，由雙曲線的定義確定其軌跡即可．【解答】解：設動圓圓心為M，半徑為R，由題意|MO1|=R﹣2，|MO2|=R+4，所以|MO2|﹣|MO1|=6（常數(shù)）且6＜8=|O1O2|故M點的軌跡為以，O1O2為焦點的雙曲線的一支．故選C．【點評】本題考查定義法求軌跡方程、兩圓相切的條件等知識，考查利用所學知識解決問題的能力．8.某班有名男生，20名女生，現(xiàn)要從中選出人組成一個宣傳小組，其中男、女學生均不少于人的選法為（

）A

B

C

D

參考答案：D9.一名小學生的年齡和身高（單位：cm）的數(shù)據(jù)如下表：年齡6789身高118126136144由散點圖可知，身高與年齡之間的線性回歸方程為，預測該學生10歲時的身高為（

）A.154 B.153 C.152 D.151參考答案：B10.把389化為四進制數(shù)的末位為（

）A.1 B.2 C.3 D.0參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.曲線在點處的切線方程

.參考答案：12.．=___________。參考答案：1略13.觀察下列等式：(1＋1)＝2×1，(2＋1)(2＋2)＝22×1×3，

(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5，…照此規(guī)律，第n個等式可為________參考答案：略14.若不等式對恒成立，則實數(shù)的取值范圍是

.

參考答案：略15.實數(shù)x，y滿足約束條件：，則的取值范圍為__________．參考答案：.【分析】作出不等式組表示的平面區(qū)域，由表示與點連線斜率及圖象可得：當點在點處時，它與點連線斜率最小為，問題得解?！驹斀狻孔鞒霾坏仁浇M表示的平面區(qū)域如下圖：其中因為表示與點連線斜率，由圖可得：當點在點處時，它與點連線斜率最小為.所以的取值范圍為【點睛】本題主要考查了利用線性規(guī)劃知識求分式型目標函數(shù)的最值，考查轉(zhuǎn)化能力及數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題。16.下列命題中：（1）若函數(shù)的定義域為R，則一定是偶函數(shù)；（2）若是定義域為R的奇函數(shù)，,都有，則函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱；（3）已知是函數(shù)定義域內(nèi)的兩個值，且，若，則是減函數(shù)；（4）若是定義在R上的奇函數(shù)，且也為奇函數(shù)，則是以4為周期的周期函數(shù)。其中真命題的序號是

。參考答案：(1)(4)17.已知函數(shù)y=f（x）的圖象在點M（2，f（2））處的切線方程是y=x+4，則f（2）+f′（2）=．參考答案：7【考點】利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程；導數(shù)的運算．【分析】運用導數(shù)的幾何意義：函數(shù)在某點處的導數(shù)即為曲線在該點處的切線的斜率，可得f′（2）=1，再由切點在切線上，可得f（2）=6，進而得到所求值．【解答】解：y=f（x）的圖象在點M（2，f（2））處的切線方程是y=x+4，可得f（2）=2+4=6，f′（2）=1，則f（2）+f′（2）=6+1=7．故答案為：7．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.海中小島A周圍20海里內(nèi)有暗礁，船沿正南方向航行，在B處測得小島A在船的南偏東30°；航行30海里到達C，在C處測得小島A在船的南偏東60°.如果此船不改變航向，繼續(xù)向南航行，有無觸礁的危險？參考答案：如圖所示，在△ABC中，BC=30，B=30°，.．．．．．３分（只畫圖2分）∠ACB=180°-60°=120°，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．４分∴A=30°．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．６分∴A＝B，∴ＡＣ＝ＢＣ＝３０．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．９∴A到BC所在直線的距離為ＡＣ?sin６０°＝．．．．．．．１２分∴不改變航向，繼續(xù)向南航行，無觸礁的危險．…．．．．．．１４分19.為了解消費者購物情況，某購物中心在電腦小票中隨機抽取n張進行統(tǒng)計，將結(jié)果分成6組，分別是：[0,100),[100,200),[300,400),[400,500),[500,600]，制成如下所示的頻率分布直方圖（假設消費金額均在[0,600]元的區(qū)間內(nèi)）.（1）若在消費金額為[400,600]元區(qū)間內(nèi)按分層抽樣抽取6張電腦小票，再從中任選2張，求這2張小票來自[400,500)元和[500,600)元區(qū)間（兩區(qū)間都有）的概率；（2）為做好春節(jié)期間的商場促銷活動，商場設計了兩種不同的促銷方案.方案一：全場商品打八五折.方案二：全場購物滿100元減20元，滿300元減80元，滿500元減120元，以上減免只取最高優(yōu)惠，不重復減免.利用直方圖的信息分析：哪種方案優(yōu)惠力度更大，并說明理由.參考答案：解：（1）由直方圖可知，按分層抽樣在內(nèi)抽6張，則內(nèi)抽4張，記為，在內(nèi)抽2張，記為，設兩張小票來自和為事件，從中任選2張，有以下選法：共15種.其中，滿足條件的有，共8種，∴.………5分（2）解：由直方圖可知，各組頻率依次為0.1，0.2，0.25，0.3，0.1，0.05.方案一購物的平均費用為：（元）………9分方案二購物的平均費用為：（元）.∴方案二的優(yōu)惠力度更大.………12分

20.（本小題滿分8分，其中第⑴問4分，第⑵問4分）已知函數(shù)⑴求函數(shù)的定義域；⑵證明是奇函數(shù).參考答案：⑴；⑵略⑴函數(shù)有意義，即，且所以，函數(shù)的定義域是；⑵因為，所以，函數(shù)是奇函數(shù).21.（本小題滿分12分）已知等差數(shù)列滿足：，，的前n項和為．（Ⅰ）求及；（Ⅱ）令=（），求數(shù)列的前n項和.參考答案：解：（Ⅰ）設等差數(shù)列的首項為，公差為.

由于，

所以，

解得………………………2分

由于

所以

………………………4分由于,所以

……………………6分

（Ⅱ）因為

所以

因此…………………9分

故

所以數(shù)列的前項和………………12分22.（本小題13分