2021年江西省贛州市南安中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知拋物線上存在關(guān)于直線對(duì)稱的相異兩點(diǎn)、，則等于（A）3

（B）4

（C）

（D）參考答案：C2.（5分）（2015?浙江模擬）將函數(shù)y=cos（x+）的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），再向左平移個(gè)單位，所得函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為（）A．（0，0）B．（）C．（）D．（π，0）參考答案：A【考點(diǎn)】：余弦函數(shù)的圖象．【專題】：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】：根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換求出函數(shù)的解析式即可得到結(jié)論．解：將函數(shù)y=cos（x+）的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到y(tǒng)=cos（x+），再向左平移個(gè)單位，得到y(tǒng)=cos[（x+）+]=cos（x+）=﹣sinx，由x=kπ，解得x=2kπ，即函數(shù)對(duì)稱中心為（2kπ，0），當(dāng)k=0時(shí)，函數(shù)的對(duì)稱中心為（0，0），故選：A【點(diǎn)評(píng)】：本題主要考查三角函數(shù)對(duì)稱中心的求解，根據(jù)函數(shù)圖象變換關(guān)系求出函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵．3.設(shè),,則(

)A． B． C． D．參考答案：D試題分析：因?yàn)?，，所以，選D.考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，誘導(dǎo)公式.

4.已知，，，則實(shí)數(shù)m，n，p的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．參考答案：B，，，所以．5.已知全集U=R，集合，，則（）A. B. C. D.參考答案：A試題分析：,所以，故選A．考點(diǎn)：集合的運(yùn)算．6.對(duì)命題“x0∈R,x02-2x0+4≤0”的否定正確的是 （

）

A．x0∈R,x02-2x0+4>0

B．x∈R,x2-2x+4≤0

C．x∈R,x2-2x+4>0

D．x∈R,x2-2x+4≥0參考答案：C7.函數(shù)的圖象在處的切線方程為（

）A. B. C. D.參考答案：A【分析】先求出切點(diǎn)的坐標(biāo)和切線的斜率，再寫出切線的方程.【詳解】當(dāng)x=1時(shí)，f(1)=-2+0=-2，所以切點(diǎn)為（1,-2）,由題得，所以切線方程為y+2=-1·(x-1),即：故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和切線方程的求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.8.如圖所示，矩形長(zhǎng)為5，寬為2，在矩形內(nèi)隨機(jī)地撒300顆黃豆，數(shù)得落在陰影部分的黃豆數(shù)為138顆，由此我們可估計(jì)出陰影部分的面積約為（）A．

B．

C．

D．參考答案：A因?yàn)?，所以?.設(shè)全集U＝{1,2,3,4,5,7}，集合M＝{1,3,5,7}，集合N＝{3,5}，則()A．U＝M∪N

B．U＝M∪(?UN)C．U＝(?UM)∪(?UN)

D．U＝(?UM)∪N參考答案：B略10.已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，有成立，則不等式的解集是A．B．C．D．參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.直線（t為參數(shù)）與曲線（θ為參數(shù)）的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是

．參考答案：1【考點(diǎn)】QK：圓的參數(shù)方程；QJ：直線的參數(shù)方程．【分析】根據(jù)題意，將直線的參數(shù)方程變形為普通方程，再將曲線的參數(shù)方程變形為普通方程，分析可得該曲線為圓，且圓心坐標(biāo)為（3，5），半徑r=，求出圓心到直線的俄距離，分析可得直線與圓相切，即可得直線與圓有1個(gè)公共點(diǎn)，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，直線的參數(shù)方程為，則其普通方程為x+y﹣6=0，曲線的參數(shù)方程為，則其普通方程為（x﹣3）2+（y﹣5）2=2，該曲線為圓，且圓心坐標(biāo)為（3，5），半徑r=，圓心到直線x+y﹣6=0的距離d===r，則圓（x﹣3）2+（y﹣5）2=2與直線x+y﹣6=0相切，有1個(gè)公共點(diǎn)；故答案為：1．12.已知是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，則曲線在點(diǎn)處的切線斜率為_(kāi)_________．參考答案：【分析】由是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，求得，進(jìn)而求得，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可得到答案.【詳解】由題意，函數(shù)，則，又由是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，所以，解得，即，所以，所以函數(shù)在點(diǎn)處切線的斜率為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用函數(shù)的極值點(diǎn)求參數(shù)，以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，其中解答中熟記函數(shù)的極值點(diǎn)的定義，合理利用導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.13.某教師出了一份三道題的測(cè)試卷，每道題1分，全班得3分、2分、1分和0分的學(xué)生所占比例分別為30％、50％、10％和10％，則全班學(xué)生的平均分為

分．參考答案：2略14.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}滿足，且，則

．參考答案：18解得，即，則

15.已知函數(shù)f（x）是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f′（x），若對(duì)任意實(shí)數(shù)x有f（x）＞f′（x），且y=f（x）﹣1的圖象過(guò)原點(diǎn)，則不等式的解集為

．參考答案：（0，+∞）【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算．【分析】構(gòu)造函數(shù)g（x）=，研究g（x）的單調(diào)性，結(jié)合原函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)值，即可求解【解答】解：設(shè)g（x）=（x∈R），則g′（x）=，∵f′（x）＜f（x），∴f′（x）﹣f（x）＜0∴g′（x）＜0，∴y=g（x）在定義域上單調(diào)遞減∵f（x）＜ex∴g（x）＜1∵y=f（x）﹣1的圖象過(guò)原點(diǎn)，∴f（0）=1又∵g（0）==1∴g（x）＜g（0）∴x＞0故答案為（0，+∞）【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合已知條件構(gòu)造函數(shù)，然后用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．16.參考答案：17.將三項(xiàng)式展開(kāi)，當(dāng)時(shí)，得到如下左圖所示的展開(kāi)式，右圖所示的廣義楊輝三角形：

第0行

1

第1行

111

第2行

12321

第3行

1367631

第4行

14101619161041……觀察多項(xiàng)式系數(shù)之間的關(guān)系，可以仿照楊輝三角構(gòu)造如圖所示的廣義楊輝三角形，其構(gòu)造方法：第0行為1，以下各行每個(gè)數(shù)是它頭上與左右兩肩上3數(shù)（不足3數(shù)的，缺少的數(shù)計(jì)為0）之和，第行共有個(gè)數(shù)．若在的展開(kāi)式中，項(xiàng)的系數(shù)為75，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)__________．參考答案：2試題分析：展開(kāi)式中系數(shù)為151530455145301551，所以在的展開(kāi)式中，項(xiàng)的系數(shù)為考點(diǎn)：新定義三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（13分）（2014秋?豐臺(tái)區(qū)期末）已知函數(shù)f（x）=x+e﹣x﹣1．（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極小值；（Ⅱ）如果直線y=kx﹣1與函數(shù)f（x）的圖象無(wú)交點(diǎn)，求k的取值范圍．參考答案：考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．分析：（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求出函數(shù)的極小值；（Ⅱ）先利用特殊值，判斷兩函數(shù)值的大小，再構(gòu)造函數(shù)g（x）=g（x）﹣（kx﹣1），根據(jù)函數(shù)g（x）的最值來(lái)對(duì)k進(jìn)行分類討論．解答：解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)镽．∵f（x）=x+e﹣x﹣1，∴．令f′（x）=0，則x=0．當(dāng)x＜0時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)；x＞0x＞0時(shí)，f′（x）＞0∴f（x）在（﹣∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增，∴當(dāng)x=0時(shí)函數(shù)有極小值f′（x）極小值=f（0）=0．（Ⅱ）∵函數(shù)，當(dāng)x=0時(shí)，y=k?0﹣1=﹣1，所以要使y=kx﹣1與f（x）無(wú)交點(diǎn)，等價(jià)于f（x）＞kx﹣1恒成立．令，即g（x）=（1﹣k）x+e﹣x，所以．①當(dāng)k=1時(shí)，，滿足y=kx﹣1與f（x）無(wú)交點(diǎn)；②當(dāng)k＞1時(shí)，，而，，所以，此時(shí)不滿足y=kx﹣1與f（x）無(wú)交點(diǎn)．③當(dāng)k＜1時(shí)，令，則x=﹣ln（1﹣k），當(dāng)x∈（﹣∞，﹣ln（1﹣k））時(shí)，g′（x）＜0，g（x）在（﹣∞，﹣ln（1﹣k））上單調(diào)遞減上單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（﹣ln（1﹣k），+∞）時(shí)，g′（x）＞0，g（x）在（﹣ln（1﹣k），+∞）上單調(diào)遞增；當(dāng)x=﹣ln（1﹣k）時(shí)，g（x）min=g（﹣ln（1﹣k））=（1﹣k）（1﹣ln（1﹣k））．由（1﹣k）[1﹣ln（1﹣k）]＞0得1﹣e＜k＜1，即y=kx﹣1與f（x）無(wú)交點(diǎn)．綜上所述當(dāng)k∈（1﹣e，1]時(shí)，y=kx﹣1與f（x）無(wú)交點(diǎn)．點(diǎn)評(píng)：本題考查了，函數(shù)的最值，單調(diào)性，圖象的交點(diǎn)，運(yùn)用了等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論思想，是一道導(dǎo)數(shù)的綜合題，難度較大．19.（12分）已知函數(shù)f（x）=﹣+lnx﹣2（1）若曲線y=f（x）在點(diǎn)P（1，f（1））處的切線與直線y=x+2垂直，求a的值．（2）若對(duì)任意x∈（0，+∞）都有f（x）＞2a成立，試求a的取值范圍．參考答案：考點(diǎn)： 利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．專題： 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．分析： （1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合直線垂直的關(guān)系即可求出a的值．（2）根據(jù)不等式恒成立，將不等式轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f（x）的最值，即可求出的取值范圍．解答： 解（1）∵f（x）=﹣+lnx﹣2，∴f′（x）=，∴f′（1）=2a+1，又∵曲線y=f（x）在點(diǎn)P（1，f（1））處的切線與直線y=x+2垂直∴2a+1=﹣1

∴a=﹣1．（2）f（x）=﹣+lnx﹣2的定義域?yàn)椋?，+∞），∵對(duì)任意x∈（0，+∞）都有f（x）＞2a恒成立∴f（x）min＞2a，f′（x）==，當(dāng)a≥0時(shí)，f′（x）≥0，即f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，此時(shí)x→0時(shí)，f（x）→﹣∞不合題意，當(dāng)a＜0時(shí)f（x）在（0，﹣2a）單調(diào)遞減，在（﹣2a，+∞）單調(diào)遞增∴f（x）min=f（﹣2a）=ln（﹣2a）﹣1＞2a，令g（x）=lnx+x﹣1則g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增且g（1）=0∴﹣2a＞1，綜上a＜﹣．點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值，綜合考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用．20.如圖，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，平面ABCD，底面ABCD滿足AD∥BC，且(Ⅰ)求證:AB⊥平面;(Ⅱ)求直線AB與平面所成角的正弦值.參考答案：(Ⅰ)證明見(jiàn)解析；(Ⅱ)【分析】(Ⅰ)證明，根據(jù)得到，得到證明.(Ⅱ)如圖所示，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，平面的法向量，，計(jì)算向量夾角得到答案.【詳解】(Ⅰ)平面，平面，故.，，故，故.，故平面.(Ⅱ)如圖所示：分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，.設(shè)平面的法向量，則，即，取得到，，設(shè)直線與平面所成角為故.【點(diǎn)睛】本題考查了線面垂直，線面夾角，意在考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力.21.（13分）已知橢圓C：=1（a＞b＞0）上任意一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為4，且離心率為．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F，是否存在直線l，使得直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，滿足兩個(gè)條件：①線段AB的中點(diǎn)P在直線x+2y=0上；②△FAB的面積有最大值．如果存在，請(qǐng)求出面積的最大值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：【考點(diǎn)】：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題；橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【專題】：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】：（1）通過(guò)橢圓C：=1（a＞b＞0）上任意一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為4，即得a=2，再利用離心率及a2﹣b2=c2，計(jì)算可得橢圓C的方程；（2）分斜率存在與不存在兩種情況討論，當(dāng)斜率存在時(shí)，直線l：y=kx+m與橢圓聯(lián)立，利用線段AB中點(diǎn)在直線x+2y=0上求得k的值，求出|AB|，及點(diǎn)F（，0）到直線AB的距離d=，表示出三角形的面積，利用求導(dǎo)數(shù)的方法，即可確定△FAB的面積的最大值．解：（1）∵橢圓C：=1（a＞b＞0）上任意一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為4，∴2a=4，即a=2，∵離心率為，∴，又∵a2﹣b2=c2，∴a2=4，b2=2，∴橢圓C的方程為：；（2）結(jié)論：存在滿足條件的直線l：y=x+，S△FAB最大為．理由如下：由（1）知F（，0），分兩種情況討論：①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，此時(shí)方程為：x=t，又∵線段AB的中點(diǎn)P在直線x+2y=0上，∴直線l：x=0，此時(shí)A（0，），B（0，），此時(shí)S△FAB===2；②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），聯(lián)立直線l與橢圓方程，消去y，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣4=0，△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）=8（6﹣m2）＞0，∴，由