2021年中考數(shù)學(xué)壓軸題

1.如圖，AB是。。的直徑，AB=4,點(diǎn)P是AB上方圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接4P,作/力8

的平分線(xiàn)AC,交。。于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)C作CDLA尸交AP的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D

(1)求證：CD是的切線(xiàn)；

(2)當(dāng)AP=2時(shí),四邊形APCO是平行四邊形；

(3)連接OP交AC于點(diǎn)M,連接CP,當(dāng)AP=2或時(shí),ACDP與△AOM相似.

解：⑴如圖1,連接OC,

圖1

〈AC是/%8的平分線(xiàn)，

：.ZCAP=ZCAOf

,.?Q4=OC,

???ZOAC=ZCAO=ZCAP,

：.OC//AD,

VAP±CD,

ACOLCD,

???CQ是OO的切線(xiàn)；

(2)由(1)知，OC〃AP,

如果四邊形APCO是平行四邊形,貝ljOC=AP,

即4尸=98=2,

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故答案為2；

(3)如圖2,延長(zhǎng)CO交圓于點(diǎn)兒連接PH,

圖2

???。。是。0的切線(xiàn)，

：.ZPCO+ZDCP=90°,

???C4是直徑，

ZCPH=90°=NCPO+NOPH=ZPCO+ZOHP,

:.NDPC=NOHP=/PAC,

若△COP與△A。例相似，則存在乙4M。=90°或NAOM=90°兩種情況，

①當(dāng)NAMO=90°時(shí)，

'：ZCAP^ZCAO,/PM4=NOMA=90°,AM=AM,

.?.△MAP絲△MAO(AAS),

：.PM=OM,

"：OA=OC,OM±AC,

：.AM=MC,

：.四邊形APCO為平行四邊形，而OM_L4C,

.?.四邊形”CO為菱形，

1

貝I」AP=AO=抑=2：

②當(dāng)乙4?！?90°時(shí)，

則△AOP為等腰直角三角形，

故AP=&AO=2企；

故答案為：2或2vL

2.(1)【學(xué)習(xí)心得】

于彤同學(xué)在學(xué)習(xí)完“圓”這一章內(nèi)容后，感覺(jué)到一些幾何問(wèn)題如果添加輔助圓，運(yùn)用圓

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的知識(shí)解決，可以使問(wèn)題變得非常容易.

例如：如圖1,在△ABC中，AB=AC,NBAC=90°,。是△ABC外一點(diǎn)，且A￡>=AC,

求NBOC的度數(shù).若以點(diǎn)A為圓心，為半徑作輔助則點(diǎn)C、。必在上，Z

54c是OA的圓心角，而/8OC是圓周角，從而可容易得到/BZX?=45°.

(2)【問(wèn)題解決】

如圖2,在四邊形ABCZ)中，NBAD=NBCD=90°,ZBDC=25°,求NBAC的數(shù).

(3)【問(wèn)題拓展】

如圖3,如圖，E,尸是正方形A8C。的邊上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿(mǎn)足AE=￡>立連接交

8。于點(diǎn)G,連接BE交AG于點(diǎn)從若正方形的邊長(zhǎng)為2,則線(xiàn)段?！ㄩL(zhǎng)度的最小值是

V5-1.

解：(1)如圖1,\"AB=AC,AD=AC,

二以點(diǎn)A為圓心，點(diǎn)8、C、。必在0A上，

?.?/8AC是GM的圓心角，而NBDC是圓周角，

1

AZBDC=^ZBAC=45°,

故答案是：45；

(2)如圖2,取3。的中點(diǎn)O,連接AO、CO.

■:NBAD=/BCD=90°,

.??點(diǎn)A、B、C、。共圓，

：.ZBDC=ZBAC,

VZBDC=25Q,

ZBAC=25°,

(3)如圖3,在正方形A8CQ中，AB=AD=CD,ZBAD=ZCDA,/ADG=/CDG,

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在△A8E和△DC尸中，

AB=CD

Z.BAD=Z-CDA^

AE=DF

：.AABE^ADCF(SAS),

AZ1=Z2,

在△AOG和△COG中，

AD=CD

Z-ADG=Z-CDGf

DG=DG

:?/\ADGm4CDG(SAS),

???N2=N3,

AZ1=Z3,

???NBA”+N3=N8AO=90°,

：.Z\+ZBAH=90°,

AZAHB=180°-90°=90°,

取AB的中點(diǎn)O,連接OH、OD,

則OH=AO^1,

在RtAAO￡>中，OD=y/AO2+AD2=Vl2+22=V5,

根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，OH+DH>OD,

...當(dāng)0、D、”三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，?！钡拈L(zhǎng)度最小，

最小值=0。-OH=V5-1.

(解法二：可以理解為點(diǎn)〃是在