3.2

均值不等式1.探索并理解均值不等式的證明過程,理解均值不等式成立的條件,等號成立的條件及幾何意義.2.會(huì)用均值不等式解決簡單的問題.3.掌握運(yùn)用均值不等式

(a,b>0)求最值的常用方法及需注意的問題.1.重要不等式:對于任意實(shí)數(shù)a,b,有a2+b2≥2ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號成立.歸納總結(jié)1.重要不等式成立的條件是a,b∈R.它既可以是具體的數(shù)字,也可以是比較復(fù)雜的代數(shù)式,因此應(yīng)用范圍較廣.2.等號成立的條件是當(dāng)且僅當(dāng)a=b,即當(dāng)a=b時(shí),等號成立;反之,等號成立時(shí)有a=b.【做一做1】

不等式a+1≥2

(a>0)中等號成立的條件是(

)A.a=2

B.a=1C.a= D.a=0答案:B2.(1)均值定理:如果a,b∈R+,那么,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號成立.這個(gè)不等式也叫基本不等式.做a,b的幾何平均值,故均值定理用語言敘述是兩個(gè)正實(shí)數(shù)的算術(shù)平均值大于或等于它的幾何平均值.【做一做2-1】

若x>0,則x+的最小值為

.

【做一做2-2】

已知若0<x<,則函數(shù)y=x(1-3x)的最大值是

.

3.已知x,y都為正數(shù),則

名師點(diǎn)撥1.應(yīng)用上述性質(zhì)時(shí)注意三點(diǎn):(1)各項(xiàng)或各因式均為正;(2)和或積為定值;(3)各項(xiàng)或各因式能取得相等的值.即“一正二定三相等”.2.應(yīng)用上述性質(zhì)時(shí),有時(shí)需先配湊成和或積為定值的情況,再應(yīng)用.【做一做3】

已知x,y都是正數(shù),(1)若xy=15,則x+y的最小值是

;

(2)若x+y=15,則xy的最大值是

.

一二一、使用均值不等式求最值的注意事項(xiàng)

一二一二因此在使用均值不等式求最值時(shí),上面三個(gè)條件缺一不可,通常將這三個(gè)條件總結(jié)成口訣:一正、二定、三相等.一二二、教材中的“思考與討論”均值不等式與不等式a2+b2≥2ab的關(guān)系如何?請對此進(jìn)行討論.剖析:(1)在a2+b2≥2ab中,a,b∈R;在a+b≥2中,a,b>0.(2)兩者都帶有等號,等號成立的條件從形式上看是一樣的,但實(shí)質(zhì)不同(范圍不同).(3)證明的方法都是作差比較法.(4)都可以用來求最值.題型一題型二題型三題型四題型五利用均值不等式求最值

題型一題型二題型三題型四題型五反思1.求最值問題第一步就是“找”定值,觀察、分析、構(gòu)造定值是問題突破口.定值找到還要看“=”是否成立,不管題目是否要求指出等號成立的條件,都要驗(yàn)證“=”是否成立.2.利用均值不等式求最值時(shí),常用添項(xiàng)和拆項(xiàng)的方法,目的是使積(和)產(chǎn)生定值.題型一題型二題型三題型四題型五題型一題型二題型四題型五題型三利用均值不等式比較大小

分析:這是一個(gè)有趣的不等式鏈,取特殊值可判斷其大小關(guān)系.借助不等式和重要不等式變形可尋求判斷和證明的方法.題型一題型二題型四題型五題型三反思均值不等式a+b≥2

(a,b>0)是綜合證明不等式和利用重要不等式求最值的工具,要注意不等式成立的條件,它與兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)是等價(jià)命題.題型一題型二題型四題型五題型三【變式訓(xùn)練2】

若0<a<1,0<b<1,且a≠b,則a+b,2,2ab,a2+b2中最大的一個(gè)是(

)A.a2+b2

B.2C.2ab

D.a+b解析:方法一(篩選法):∵0<a<1,0<b<1,a≠b,∴a+b>2,a2+b2>2ab.∴四個(gè)數(shù)中最大的應(yīng)從a+b,a2+b2中選擇.而a2+b2-(a+b)=a(a-1)+b(b-1).又0<a<1,0<b<1,∴a(a-1)<0,b(b-1)<0,∴a2+b2-(a+b)<0,即a2+b2<a+b,∴a+b最大.題型一題型二題型四題型五題型三答案:D題型一題型二題型三題型四題型五利用均值不等式證明不等式【例3】

已知a,b,c都是正實(shí)數(shù),且a+b+c=1,求證:(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc.分析:注意到a+b+c=1,故可運(yùn)用“常數(shù)代換”的策略將所證不等式的左邊的“1”代換成字母形式.證明:因?yàn)閍+b+c=1,所以(1-a)(1-b)(1-c)=(b+c)(a+c)(a+b).又a,b,c都是正實(shí)數(shù),題型一題型二題型三題型四題型五反思這是一道條件不等式的證明題,充分利用條件是證題的關(guān)鍵,此題要注意“1”的整體代換及“=”取到的條件.題型一題型二題型三題型四題型五題型一題型二題型三題型四題型五利用均值不等式解參數(shù)范圍問題【例4】

已知不等式(x+y)

≥9對任意正實(shí)數(shù)x,y恒成立,求正實(shí)數(shù)a的最小值.分析:展開代數(shù)式(x+y)

→使用均值不等式求展開式的最小值→由恒成立條件求得a的最小值題型一題型二題型三題型四題型五反思恒成立問題是數(shù)學(xué)問題中非常重要的問題,在此類問題的解法中,利用均值不等式和不等式的傳遞性求解是最重要的一種方法,在高考中經(jīng)?？疾?題型一題型二題型三題型四題型五【變式訓(xùn)練4】

若正數(shù)a,b滿足ab=a+b+3,則ab的取值范圍是

,a+b的取值范圍是

.

題型一題型二題型三題型四題型五方法二:由已知,得a>0,b>0,∴(a+b)2-4(a+b)-12≥0,∴(a+b+2)(a+b-6)≥0.∵a+b+2>0,∴a+b-6≥0,∴a+b≥6,∴ab=a+b+3≥6+3=9.答案:[9,+∞)

[6,+∞)題型四題型五題型一題型二題型三易錯(cuò)辨析易錯(cuò)點(diǎn)1:忽視均值不等式對符號的要求而致誤題型四題型五題型一題型二題型三題型四題型五題型一題型二題型三易錯(cuò)點(diǎn)2:忽視不等式等號成立的條件而致誤

錯(cuò)因分析:忽視了等號成立的條件,事實(shí)上方程

無解,所以等號不成立,正確的處理方法是:利用函數(shù)的單調(diào)性求最值.題型四題型五題型一題型二題型三123451對于任意實(shí)數(shù)a,b,下列不等式一定成立的是(

)

解析:均值不等式要考慮a,b的正負(fù)情況,如果a,b不能保證是正值,則選項(xiàng)A,B,D都不一定成立,只有選項(xiàng)C對任意實(shí)數(shù)恒成立.答案:C123452設(shè)x,y為正數(shù),則(x+y)

的最小值為(

)答案:B

123453已知函數(shù)f