控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)課程設(shè)計(jì)

直線一級(jí)倒立擺控制器設(shè)計(jì)航天學(xué)院自動(dòng)化專(zhuān)業(yè)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)課程設(shè)計(jì)

直線一級(jí)倒立擺控制器設(shè)計(jì)航天學(xué)院自動(dòng)化專(zhuān)業(yè)09.08.31——09.09.18HarbinInstituteofTechnology課程設(shè)計(jì)說(shuō)明書(shū)（論文）課程名稱(chēng):設(shè)計(jì)題目:院系:班級(jí):設(shè)計(jì)者:學(xué)號(hào):指導(dǎo)教師:設(shè)計(jì)時(shí)間:哈爾濱工業(yè)大學(xué)TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"任務(wù)書(shū) 2理論模型建立和分析 4PID控制器設(shè)計(jì)與調(diào)節(jié) 9\o"CurrentDocument"狀態(tài)空間極點(diǎn)配置控制器設(shè)計(jì) 15問(wèn)題的進(jìn)一步討論 24設(shè)計(jì)結(jié)論與心得體會(huì) 25*注：此任務(wù)書(shū)由課程設(shè)計(jì)指導(dǎo)教師填寫(xiě)。第一章 理論模型的建立及分析1.1直線一階倒立擺數(shù)學(xué)模型的推導(dǎo)系統(tǒng)建模可以分為兩種：機(jī)理建模和實(shí)驗(yàn)建模。實(shí)驗(yàn)建模就是通過(guò)在研究對(duì)象上加上一系列的研究者事先確定的輸入信號(hào)，激勵(lì)研究對(duì)象并通過(guò)傳感器檢測(cè)其可觀測(cè)的輸出，應(yīng)用數(shù)學(xué)手段建立起系統(tǒng)的輸入一輸出關(guān)系。這里面包括輸入信號(hào)的設(shè)計(jì)選取，輸出信號(hào)的精確檢測(cè)，數(shù)學(xué)算法的研究等等內(nèi)容。機(jī)理建模就是在了解研究對(duì)象的運(yùn)動(dòng)規(guī)律基礎(chǔ)上，通過(guò)物理、化學(xué)的知識(shí)和數(shù)學(xué)手段建立起系統(tǒng)內(nèi)部的輸入一狀態(tài)關(guān)系。對(duì)于倒立擺系統(tǒng)，由于其本身是自不穩(wěn)定的系統(tǒng)，實(shí)驗(yàn)建模存在一定的困難。但是經(jīng)過(guò)小心的假設(shè)忽略掉一些次要的因素后，倒立擺系統(tǒng)就是一個(gè)典型的運(yùn)動(dòng)的剛體系統(tǒng)，可以在慣性坐標(biāo)系內(nèi)應(yīng)用經(jīng)典力學(xué)理論建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程。下面我們采用其中的牛頓一歐拉方法建立直線型一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。在忽略了空氣阻力，各種摩擦之后，可將直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)抽象成小車(chē)和勻質(zhì)桿組成的系統(tǒng).下圖是系統(tǒng)中小車(chē)和擺桿的受力分析圖。其中，N和P為小車(chē)與擺桿水平和垂直方向的分量。圖1-1（a）小車(chē)隔離受力圖本系統(tǒng)相關(guān)參數(shù)定義如下：M:小車(chē)質(zhì)量 m：擺桿質(zhì)量b：小車(chē)摩擦系數(shù) 1：擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長(zhǎng)度I：擺桿慣量 F：加在小車(chē)上的力x：小車(chē)位置 祖：擺桿與垂直向上方向的夾角。：擺桿與垂直向下方向的夾角（考慮到擺桿初始位置為豎直向下）注意：在實(shí)際倒立擺系統(tǒng)中檢測(cè)和執(zhí)行裝置的正負(fù)方向已經(jīng)完全確定，因而矢量方向定義如圖所示，圖示方向?yàn)槭噶空较颉?yīng)用牛頓方法來(lái)建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程過(guò)程如下:分析小車(chē)水平方向受到的合力，可以得到下面等式:M&=F-b&-N由擺桿水平方向的受力進(jìn)行分析可以得到下面等式:N=m^-2（x+1sin9）dt2(1-2)N=m&+ml艇os0-ml&sin0把這個(gè)等式代入上式中，就得到系統(tǒng)的第一個(gè)運(yùn)動(dòng)方程：（M+m）&+bX+ml0&cos0-ml0&sin0=F（1-4）為了推出系統(tǒng)的第二個(gè)運(yùn)動(dòng)方程，我們對(duì)擺桿垂直方向上的合力進(jìn)行分析，可以得到下面方程：P-mg=-m （lcos0）dt2（1-5）P—mg=ml0&sin0+ml02cos0（1-6）力矩平衡方程如下：-Plsin0-Nlcos0=I0&（1-7）注意：此方程中力矩的方向，由于錯(cuò)誤！未找到引用源。0二兀+?，cos?=—cos0，sin?=—sin0錯(cuò)誤!未找到引用源。，故等式前面有負(fù)號(hào)。合并這兩個(gè)方程，約去P和N，得到第二個(gè)運(yùn)動(dòng)方程：（I+ml2）0&+mglsin0=-ml&cos0（1-8）1.1.1微分方程模型設(shè)錯(cuò)誤!未找到引用源。（4是擺桿與垂直向上方向之間的夾角），假設(shè)與1（單位是弧度）相比很小，即4=1，則可以進(jìn)行近似處理：錯(cuò)誤！未找到引用源。cos0=-1，sin0=-4,（d0）2=0錯(cuò)誤!未找到引用源。。用u來(lái)代表被控對(duì)象的輸入力dtF，線性化后兩個(gè)運(yùn)動(dòng)方程如下：(M+m)&+bX-m尷=u(I+ml2)棋-mgl^=ml&1.1.2傳遞函數(shù)對(duì)以上微分方程組進(jìn)行拉普拉斯變換，得到(1-10)[(M+m)X(s)s2+bX(s)-ml^(s)s2=U(s)I(I+ml2)O(s)s2-mgl①(s)=mlX(s)s2(1-10)注意：推導(dǎo)傳遞函數(shù)時(shí)假設(shè)初始條件為0。由于輸出為角度為4，求解方程組上述方程組的第一個(gè)方程，可以得到[(I+ml2)g]X(s)=—-土以s)(1-11)((1-12)或者O(s)如果令v=&，則有mls2U+ml2)s2一mgl0.06(1-13)中(s)_/mlV(s)=(I+ml2)s2-mgl 0.024s20.06(1-13)把上式代入10式，則有:(M+m)+ml2+ml2ml s2ml s2中(s)s一ml①(s)s2=U(s)(1-14)整理得到以輸入力為輸入量，擺桿角度為輸出量的傳遞函數(shù)：mls2g(s)=①(s)= ( 、q1 U(s) b\I+ml2) (M+m)mgl bmgl-s4+ s3— s2一 s其中q=[(M+m)(!+ml2)-(ml其中q=1.1.3狀態(tài)空間數(shù)學(xué)模型由現(xiàn)代控制原理可知，控制系統(tǒng)的狀態(tài)方程可寫(xiě)成如下形式：X=AX+BuY=CX+Du（1-16）可得代數(shù)方程，得到如下解:x=x-(I+ml2)b m2p]2 (I+ml2)敏= . &+―a1 0+ uI(M+m)+Mml2 I(M+m)+Mml2 I(M+m)+Mml2一mlb&+mgl(M+m)^+ml一I(M+m)+Mml2 I(m+m)+Mml2 I(m+m)+Mml20 1 0 0-(I+ml2)b m2gl2X0(i+ml)0 X 「 X 0I(M+m)+MmlI(M+m)+Mml0 0 0 1-mlb mgl(M+m)A A0:L#」+I(M+m)+Mml0ml0,(、.)、.， ,(、.)、.，0L I(M+m)+Mml I(M+m)+Mml 」,(、.)LI(M+m)+Mml」（1-17）整理后得到系統(tǒng)狀態(tài)空間方程:XuX「1000X0y=L#」=L0010」0+_0-Xu（1-18）由（1-9）的第二個(gè)方程為:(I(I+ml2)(&—mgl0=ml&對(duì)于質(zhì)量均勻分布的擺桿有:于是可以得到:I=1ml23—ml2+ml2(&-mgl^-mlx\3)化簡(jiǎn)得到:空小蘭&4l 4lg gT gg設(shè)X-xx84,u'-x，則有:r010 0「r010 0「n[010000x11&&應(yīng)—00 0 1+011313g5[&」00Uo— 11/ —［同_4l」x（1-20）000010」+1[01[0」18uM:小車(chē)質(zhì)量0.5kgm：擺桿質(zhì)量0.2kgb：小車(chē)摩擦系數(shù)0.1N/m/secl：擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長(zhǎng)度I：擺桿慣量0.006kg*m*m實(shí)際系統(tǒng)參數(shù)如下:把上述參數(shù)帶入，可以得到系統(tǒng)的實(shí)際模型。0.3m擺桿角度和小車(chē)位移的傳遞函數(shù):中(S)_ 0.06s2X^-0.024s2—0.588（1-21）擺桿角度和小車(chē)加速度之間的傳遞函數(shù):0（s）_ 0.06V（S）—0.024s2—0.588（1-22）擺桿角度和小車(chē)所受外界作用力的傳遞函數(shù)①（s）_ 50s2U（S）-11s4+2s3-373s2-49s（1-23）以外界作用力作為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)方程:(1-24)0100X(1-24)0100X0000X=0001[[eL0024.50」Le」+X，=[；]=[10000010」0i0002147X200115500X+110001e05343Le」50L0-11110_111u0000」&+0L0」01eXu以小車(chē)加速度作為輸入系統(tǒng)的系統(tǒng)狀態(tài)方程:0u'02.5（1-25）0u_0」1.2系統(tǒng)階躍響應(yīng)分析在matlab中鍵入以下命令：clear;A=[Q10o；000o；0001；0024.50]；B=[0102.5]JC=[1000;0100];□=S0]J;step(A,B,C?D)得到如下結(jié)果:圖1-2直線一階校正前倒立擺單位階躍響應(yīng)仿真可以看出，在單位階躍響應(yīng)作用下，小車(chē)位置和擺桿角度都是發(fā)散的。第二章直線一級(jí)倒立擺PID控制器設(shè)計(jì)本章主要利用PID控制算法對(duì)直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)。在設(shè)計(jì)的過(guò)程中，要求熟悉控制參數(shù)Kp、K「Kd對(duì)系統(tǒng)性能的影響，然后按照所要求的控制指標(biāo)并綜合實(shí)際響應(yīng)結(jié)果恰當(dāng)?shù)卣{(diào)整參數(shù)。運(yùn)用MATLAB仿真軟件可以快捷地進(jìn)行系統(tǒng)仿真和參數(shù)調(diào)整，本章第2節(jié)的內(nèi)容即是運(yùn)用MATLAB軟件對(duì)PID控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)和仿真。第3節(jié)中，將對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行實(shí)際的運(yùn)行和參數(shù)調(diào)試，以獲得一組最佳的PID控制參數(shù)。設(shè)計(jì)目的：學(xué)習(xí)PID控制器的設(shè)計(jì)方法，了解控制器各個(gè)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)性能的影響，學(xué)會(huì)根據(jù)控制指標(biāo)要求和實(shí)際響應(yīng)調(diào)整PID控制器的參數(shù)。設(shè)計(jì)要求：設(shè)計(jì)PID控制器，使得當(dāng)在小車(chē)上施加0.1N的階躍信號(hào)時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的響應(yīng)指標(biāo)為：（1） 穩(wěn)定時(shí)間小于5秒；（2） 穩(wěn)態(tài)時(shí)擺桿與垂直方向的夾角變化小于0.1弧度。設(shè)計(jì)報(bào)告要求：（1） 給出系統(tǒng)擺桿角度和小車(chē)位置的仿真圖形及控制器參數(shù)，并對(duì)各個(gè)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)控制效果的影響進(jìn)行說(shuō)明；（2） 給出實(shí)際控制曲線和控制器參數(shù)，對(duì)響應(yīng)的動(dòng)態(tài)和靜態(tài)指標(biāo)進(jìn)行分析。D控制系統(tǒng)原理框圖如下所示，系統(tǒng)由模擬PID控制器KD（S）和被控對(duì)象G（S）組成。PID控制器是一種線性控制器，它根據(jù)給定值r（t）與實(shí)際輸出值y（t）構(gòu)成控制偏差e（t）e（t）=r（t）-y（t）將偏差的比例（P），積分（I）和微分（D）通過(guò)線性組個(gè)構(gòu)成控制量，對(duì)被控對(duì)象進(jìn)行控制，谷稱(chēng)為PID控制器。其控制規(guī)律為：

de(t)]u(t)=K[e(t)+—Ie(t)dt+T

pde(t)]I0或?qū)懗蓚鬟f函數(shù)的形式:在控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)和仿真中，也將傳遞函數(shù)寫(xiě)成:簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō),PID控制器各個(gè)校正環(huán)節(jié)的作用如下：比例環(huán)節(jié)：成比例的反應(yīng)控制系統(tǒng)的偏差信號(hào)e(t)，偏差一旦產(chǎn)生，控制器立即產(chǎn)生控制作用，以減少偏差。積分環(huán)節(jié)：主要用于消除穩(wěn)態(tài)誤差，提高系統(tǒng)的型別。積分作用的強(qiáng)弱取決于積分時(shí)間常數(shù)T1，T1越大，積分作用越弱，反之則越強(qiáng)。微分環(huán)節(jié)：反映偏差信號(hào)的變化趨勢(shì)(變化速率)，并能在偏差信號(hào)值變得太大之前，在系統(tǒng)中引入一個(gè)有效的早期修正信號(hào)，從而加快系統(tǒng)的動(dòng)作速度，減小調(diào)節(jié)時(shí)間。圖2-1直線一級(jí)倒立擺圖2-1直線一級(jí)倒立擺PID控制系統(tǒng)框圖中KD(s)是控制器傳遞函數(shù)，G(s)是被控對(duì)象傳遞函數(shù)。考慮到輸入r(s)=0,結(jié)構(gòu)圖可以很容易的變換成圖2-2直線一級(jí)倒立擺PID控制簡(jiǎn)化系統(tǒng)框圖該系統(tǒng)的輸出為numy(s)=——匹)——F(s)= den F(s)y(s)=1+KD(s)G(s) i+(numPID)(num)(denPID)(den)num(denPID)(denPID)(den)+(numPID)(num)其中，num-一被控對(duì)象傳遞函數(shù)的分子項(xiàng)den——被控對(duì)象傳遞函數(shù)的分母項(xiàng)numPID-—PID控制器傳遞函數(shù)的分子項(xiàng)denPID-—PID控制器傳遞函數(shù)的分母項(xiàng)通過(guò)分析上式可以得到系統(tǒng)的各項(xiàng)性能。由(2-13)可以得到擺桿角度和小車(chē)加速度的傳遞函數(shù)：中(s)_/mV(s) U+ml2)s2-mglPID控制器的傳遞函數(shù)為:KD(s)=K+土+K_K?2+Kps+K,_numPIDKD(s)=只需調(diào)節(jié)PID控制器的參數(shù)，就可以得到滿(mǎn)意的效果。小車(chē)的位置輸出為：X(s)_s2V(s)通過(guò)對(duì)控制量雙重積分可以得到小車(chē)的位置。PID控制參數(shù)設(shè)定及MATLAB仿真通過(guò)不斷的調(diào)試，最后Kp=80，KI=20，Kd=15。系統(tǒng)MATLAB仿真模型如下：皿In TransfsrTenPiDControtr PID4 圖2-3—階倒立擺PID控制MATLAB仿真模型其輸入0.1N的脈沖響應(yīng)如下：LTIViewerLinearizationQuickPlotImpulseResponseFrom:In1To-:OutlEditWindowHelp7■5■21014Time(sec)心pnoQ-UJVLTIViewer圖2-4直線一階倒立擺PID控制仿真結(jié)果圖可以看出，在3.68s的時(shí)候系統(tǒng)已經(jīng)穩(wěn)定了，并且在穩(wěn)態(tài)時(shí)擺桿與垂直方向的夾角變化小于0.1弧度。由于PID控制器為單輸入單輸出系統(tǒng)，所以只能控制小車(chē)擺桿的角度，并不能控制小車(chē)的位置。PID控制實(shí)驗(yàn)MATLAB版實(shí)驗(yàn)軟件下的實(shí)驗(yàn)步驟:打開(kāi)直線一級(jí)倒立擺PID控制界面如圖2-5所示：(進(jìn)入MATLABSimulink實(shí)時(shí)控制工具箱“GoogolEducationProducts”打開(kāi)“InvertedPendulum\LinearInvertedPendulum\Linear1-StageIPExperiment\PIDExperiments”中的“PIDControlDemo”)2)雙擊“PID”模塊進(jìn)入PID2)雙擊“PID”模塊進(jìn)入PID參數(shù)設(shè)置，如圖2-6所示，把仿真得到的參數(shù)輸入PID控制器，點(diǎn)擊“OK”保存參數(shù)圖2-6參數(shù)設(shè)計(jì)調(diào)整點(diǎn)擊二1編譯程序，完成后點(diǎn)擊吁使計(jì)算機(jī)和倒立擺建立連接。點(diǎn)擊.運(yùn)行程序，檢查電機(jī)是否上伺服。緩慢提起倒立擺的擺桿到豎直向上的位置，在程序進(jìn)入自動(dòng)控制后松開(kāi)，當(dāng)小車(chē)運(yùn)動(dòng)到正負(fù)限位的位置時(shí)，用工具擋一下擺桿，使小車(chē)反向運(yùn)動(dòng)。(5)實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下圖所示:圖2-7PID控制實(shí)驗(yàn)結(jié)果1圖2-8PID控制實(shí)驗(yàn)結(jié)果2(施加干擾)從圖2-7中可以看出，倒立擺可以實(shí)現(xiàn)較好的穩(wěn)定性，擺桿的角度在3.14(弧度)左右。PID控制器并不能對(duì)小車(chē)的位置進(jìn)行控制，小車(chē)會(huì)沿滑桿有稍微的移動(dòng)。在給定干擾的情況下，小車(chē)位置和擺桿角度的變化曲線如圖2-8所示，可以看出，系統(tǒng)可以較好的抵換外界干擾，在干擾停止作用后，系統(tǒng)大約3.2s達(dá)到穩(wěn)態(tài)，穩(wěn)態(tài)時(shí)擺桿與垂直方向的夾角變化遠(yuǎn)小于0.1弧度。最后，選擇實(shí)驗(yàn)室結(jié)果的最佳數(shù)據(jù)取100,40,10。PID系統(tǒng)的優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：PID控制優(yōu)點(diǎn)明顯，應(yīng)用廣泛。PID能消除穩(wěn)態(tài)誤差；同時(shí)可以減少超調(diào)量，克服振蕩，使系統(tǒng)的穩(wěn)定性提高；并且能加快系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)速度，減小調(diào)整時(shí)間，從而改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。缺點(diǎn)：PID控制的過(guò)度期比較長(zhǎng)，上升過(guò)程中波動(dòng)明顯；當(dāng)然，較好的PID控制效果是以已知被控對(duì)象的精確數(shù)學(xué)模型為前提的，當(dāng)被控對(duì)象的數(shù)學(xué)模型未知時(shí)，PID控制的調(diào)試將會(huì)有很大的難度。第三章?tīng)顟B(tài)空間極點(diǎn)配置控制器設(shè)計(jì)經(jīng)典控制理論的研究對(duì)象主要是單輸入單輸出的系統(tǒng)，控制器設(shè)計(jì)時(shí)一般需要有關(guān)被控對(duì)象的較精確模型，現(xiàn)代控制理論主要是依據(jù)現(xiàn)代數(shù)學(xué)工具，將經(jīng)典控制理論的概念擴(kuò)展到多輸入多輸出系統(tǒng)。極點(diǎn)配置法通過(guò)設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制器將多變量系統(tǒng)的閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)配置在期望的位置上，從而使系統(tǒng)滿(mǎn)足瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)。設(shè)計(jì)目的：學(xué)習(xí)狀態(tài)空間極點(diǎn)配置控制器的設(shè)計(jì)方法，分析各個(gè)極點(diǎn)變化對(duì)系統(tǒng)性能的影響，學(xué)會(huì)根據(jù)控制指標(biāo)要求和實(shí)際響應(yīng)調(diào)整極點(diǎn)的位置和控制器的參數(shù)。設(shè)計(jì)要求：設(shè)計(jì)狀態(tài)空間極點(diǎn)配置控制器，使得當(dāng)在小車(chē)上施加0.2m的階躍信號(hào)時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的響應(yīng)指標(biāo)為：（1） 擺桿角度。和小車(chē)位移x的穩(wěn)定時(shí)間小于3秒（2） x的上升時(shí)間小于1秒（3） 0的超調(diào)量小于20度（0.35弧度）（4） 穩(wěn)態(tài)誤差小于2%。設(shè)計(jì)報(bào)告要求：（1） 給出系統(tǒng)擺桿角度和小車(chē)位置的仿真控制圖形及控制器參數(shù)，并對(duì)極點(diǎn)的位置和各個(gè)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)控制效果的影響進(jìn)行分析；（2） 給出實(shí)際控制曲線和控制器參數(shù)，并對(duì)響應(yīng)的動(dòng)態(tài)和靜態(tài)指標(biāo)進(jìn)行分析。3.1狀態(tài)空間分析狀態(tài)反饋閉環(huán)控制系統(tǒng)原理圖如圖3-1所示。圖3-1狀態(tài)反饋閉環(huán)控制原理圖狀態(tài)方程為：X=AX+Bu式中：X為狀態(tài)向量(n維)，u為控制向量(純量)，A為nxn維常數(shù)矩陣，B為nx1維常數(shù)矩陣。選擇控制信號(hào)：u=-KX求解上式，得到M)=(A-BK)x(t)方程解為：x(t)=e(A-BK)tx(0)可以看出，如果系統(tǒng)狀態(tài)完全可控，K選擇適當(dāng)，對(duì)于任意的初始狀態(tài)，當(dāng)t趨于無(wú)窮時(shí)，都可以使x(t)趨于0。極點(diǎn)配置的設(shè)計(jì)步驟：檢驗(yàn)系統(tǒng)的可控性條件。從矩陣A的特征多項(xiàng)式\sI-a|=sn+asn-1+L+as+a來(lái)確定a,a,La的值。1 2n確定使?fàn)顟B(tài)方程變?yōu)榭煽貥?biāo)準(zhǔn)型的變換矩陣廣:T=MW其中M為可控性矩陣，M=「BMABMLAn-1B-aaLa1-n-1n-21aa100n-2n-3W=MMMMMa1L00110L00利用所期望的特征值，寫(xiě)出期望的多項(xiàng)式(s—)(s—)L(s—)=sn+asn-1+L+as+a

1 1 1 1 n-1 n并確定a,a,La的值。需要的狀態(tài)反饋增益矩陣K由以下方程確定：K=[a-aa-aLa-aa-a]t-1nnn-1n-1 22113.2極點(diǎn)配置及MATLAB仿真前面我們已經(jīng)得到了直線一級(jí)倒立擺的狀態(tài)空間模型，以小車(chē)加速度作為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)方程為：

于是有:00024.5u10「0100--0一000于是有:00024.5u10「0100--0一00001「1000-「0-，B=，C=，D=00010_0010_00024.502.5A=直線一級(jí)倒立擺的極點(diǎn)配置轉(zhuǎn)化為:選dp=e1-。2=0.1，ts=解得匚=0.59，wn=3.39,兀-9—— =0.804,w\；1-匚2n符合要求。求得閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)為：-2±2.74i，對(duì)于如上所述的系統(tǒng)，設(shè)計(jì)控制器，阻尼。方法一：-14。選取另兩個(gè)極點(diǎn)為-14，要求系統(tǒng)具有較短的調(diào)整時(shí)間（約3秒）和合適的則:倒立擺極點(diǎn)配置原理圖如圖3-2所示。圖3-2倒立擺極點(diǎn)配置原理圖極點(diǎn)配置步驟如下：（略）（1） 檢驗(yàn)系統(tǒng)可控性（略）（2） 計(jì)算特征值根據(jù)要求，并留有一定的裕量（設(shè)調(diào)整時(shí)間為 2秒），我們選取期望的閉環(huán)極點(diǎn)s=哂=1，2,3,4），其中：日=-14,日=-14日=—2+2.74j,日=—2—2.74j七的位于主導(dǎo)閉環(huán)極其中，四3，了是一對(duì)具有。=0.59,3=3：39的主導(dǎo)閉環(huán)極點(diǎn)，點(diǎn)的左邊，因此其影響較小，因此期亶的特征方程為：七的位于主導(dǎo)閉環(huán)極(s—p)(s—p)(s—p)(s-^)=(s+14)(s+14)(s+2-2.74j)(s+2+2.74j)12 3 4=s4+32s3+319.51s2+1106.21s+2255.49因此可以得到:a=32,a=329.51,a=32,a=329.51,由系統(tǒng)的特征方程：=1106.21,a4=2255.49s—1000s0000s—100s—24.5s\sI-a|==s4一24.5s23=0,a因此有a=0,a=—24.5,=0,aKK=[a—aa—aa—aa—a]t-1(3)確定使?fàn)顟B(tài)方程變?yōu)榭煽貥?biāo)準(zhǔn)型的變換矩陣T:T=MW「0100式中：M=「BMABMA2BMA3B]=1000L02.5061.252.5061.250—aaa「「0—24.50「321aa10—24.5010W=21—-a10001001L1000_L1000_于是可以得到:-24.500-24.51 001T=MW=002.50L0002.5_「-0.040800.01630一T-1=0 -0.04080 00 0.01630.40 0L0000.40_(4)狀態(tài)反饋增益矩陣K為:K=[a—aa—aa2—a2 a]—a]t-11 「「—0.040800.01630=[2255.49 —01106.21—0319.51+24.5 32—0]*|10—0.040800.016311000.400LL0000.40=[一92.0240 —45.1334174.368530.8231]得到控制量為：u=—KX=92.024x+45.1334&-174.3685?-30.8231#；以上計(jì)算可以采用MATLAB編程計(jì)算。直線一級(jí)倒立擺狀態(tài)空間極點(diǎn)配置MATLAB程序1：clear;A=[0100;0000;0001;0024.50];B=[0102.5]';C=[1000;0010];D=[00]';J=[-14000;0-1400;00-2-2.74*i0;000-2+2.74*i];pa=poly(A);pj=poly(J);M=[BA*BAA2*BAA3*B];W=[pa(4)pa(3)pa(2)1;pa(3)pa(2)10;pa(2)100;1000];T=M*W;K=[pj(5)-pa(5)pj(4)-pa(4)pj(3)-pa(3)pj(2)-pa(2)]*inv(T);Ac=[(A-B*K)];Bc=[B];Cc=[C];Dc=[D];T=0:0.005:5;U=0.2*ones(size(T));Cn=[1000];Nbar=rscale(A,B,Cn,0,K);Bcn=[Nbar*B];[Y,X]=lsim(Ac,Bcn,Cc,Dc,U,T);plot(T,X(:,1),'-');holdon;plot(T,X(:,2),'-.');holdon;plot(T,X(:,3),'.');holdon;plot(T,X(:,4),'-');holdon;legend('CartPos','CartSpd','PendAng','PendSpd')(進(jìn)入MATLABSimulink實(shí)時(shí)控制工具箱“GoogolEducationProducts”打開(kāi)“InvertedPendulum\LinearInvertedPendulum\Linear1-StageIPExperiment\PolesExperiments”中的“PolesControlMFile1”)運(yùn)行得到以下結(jié)果：運(yùn)行結(jié)果如下：K=[-92.0608-45.1515174.4274 30.8606]

可以看出，給定系統(tǒng)干擾后，倒立擺可以在2s內(nèi)很好的回到平衡位置方法二：矩陣（A—BK）的特征值是方程式|s/-可以看出，給定系統(tǒng)干擾后，倒立擺可以在2s內(nèi)很好的回到平衡位置方法二：矩陣（A—BK）的特征值是方程式|s/-（A-BK）|=0的根:00000000s000[ki這是s的四次代數(shù)方程式，可表示為s4+（k+bk）s3+（-a+k+bk）s2—aks一ak=02 4 1 3 2 1適當(dāng)選擇反饋系數(shù)k,k,k,k系統(tǒng)的特征根可以取得所希望的值。1234把四個(gè)特征根人,人,人,人設(shè)為四次代數(shù)方程式的根，則有1234s4一（人+人+人+人）s3+（人人+人人+人人+人人+人人+人人）s21 2 3 4 12 23 34 41 13 24一（人人人+人人人+人人人+人人人）s+XXXX=0123 234 341 412 1234比較兩式有下列聯(lián)立方程式k+bk=s一（人+人+人+人）TOC\o"1-5"\h\z2 4 1 2 3 4-a+k+bk=人人+人人+人人+人人+人人+人力1 3 12 23 34 41 13 24-ak=一（人人人+人人人+人人人+人人人）2 123 234 341 412—ak=—XX1 1234如果給出的入,入,入,入是實(shí)數(shù)或共軛復(fù)數(shù)，則聯(lián)立方程式的右邊全部為實(shí)數(shù)。據(jù)此可求12 3 4解出實(shí)數(shù)k,k,k,k。1234當(dāng)將特征根指定為下列兩組共軛復(fù)數(shù)時(shí)人，人，人，人=—2土2.74j,—14,—1412 3 4又a=24.5,b=2.5利用方程式可列出關(guān)于k,k,k,k的方程組：1234k+3k=32—24.5+k+3k=319.51—24.5k=1106.212—24.5k=2255.491利用如下直線一級(jí)倒立擺狀態(tài)空間極點(diǎn)配置MATLAB程序2。clear;symsasbk1k2k3k4;A=[0100;0000;0001;00a0];B=[010b]';SS=[s000;0s00;00s0;000s];K=[k1k2k3k4];J=[-14000;0-1400;00-2-2.74*i0;000-2+2.74*i];ans=A-B*K;P=poly(ans)PJ=poly(J)(進(jìn)入MATLABSimulink實(shí)時(shí)控制工具箱“GoogolEducationProducts”打開(kāi)“InvertedPendulum\LinearInvertedPendulum\Linear1-StageIPExperiment\PolesExperiments”中的“PolesControlMFile2”)求解后得K=[-92.0608-45.1515174.4274 30.8606]。即施加在小車(chē)水平方向的控制力u:u=—KX=92.0608x+45.1515&—174.4274?！?0.8606#可以看出，和方法一的計(jì)算結(jié)果一樣。3.3極點(diǎn)配置實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)步驟如下：進(jìn)入MATLABSimulink中“\\matlab6p5\toolbox\GoogolTech\InvertedPendulum\LinearInvertedPenduluiji”目錄，打開(kāi)直線一級(jí)倒立擺狀態(tài)空間極點(diǎn)配置控制程序如下：(進(jìn)入MATLABSimulink實(shí)時(shí)控制工具箱“G