北京黃松峪中學(xué)2021年高一數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.在中，是

A．銳角三角形

B．直角三角形

C．等腰直角三角形

D．鈍角三角形參考答案：D2.函數(shù)的圖象（

）A．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

B．關(guān)于點(diǎn)（－，0）對(duì)稱C．關(guān)于y軸對(duì)稱

D．關(guān)于直線x=對(duì)稱參考答案：B略3.下列命題正確的是（

）A．經(jīng)過(guò)三點(diǎn)確定一個(gè)平面B．經(jīng)過(guò)一條直線和一個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面C．兩兩相交且不共點(diǎn)的三條直線確定一個(gè)平面D．四邊形確定一個(gè)平面參考答案：C4.在同一坐標(biāo)系中，二次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的圖象只可能是（

）參考答案：B5.已知等比數(shù)列{an}滿足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，則a7等于()A．64

B．81

C．128

D．243參考答案：A6.直三棱柱ABC—A1B1C1中，BB1中點(diǎn)為M，BC中點(diǎn)為N，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，則異面直線AB1與MN所成角的余弦值為A.1 B. C. D.0參考答案：D【分析】先找到直線異面直線AB1與MN所成角為∠,再通過(guò)解三角形求出它的余弦值.【詳解】由題得,所以∠就是異面直線AB1與MN所成角或補(bǔ)角.由題得,,因?yàn)?所以異面直線AB1與MN所成角的余弦值為0.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查異面直線所成的角的求法，考查余弦定理解三角形，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.

7.若函數(shù)f（x）=loga（x2﹣ax+3）在區(qū)間（﹣∞，）上是減函數(shù)，則a的取值范圍是(

)A．（0，1） B．（1，+∞） C．（1，] D．（1，）參考答案：C【考點(diǎn)】復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】?jī)?nèi)層函數(shù)g（x）=x2﹣ax+3在區(qū)間（﹣∞，）上是減函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，外層函數(shù)y=logag（x）為增函數(shù)，得到a的初步范圍，再由g（x）=x2﹣ax+3在區(qū)間（﹣∞，）上大于0恒成立求出a的范圍，取交集后求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解答】解：由對(duì)數(shù)式的底數(shù)大于0且不等于1知，a＞0且a≠1．令g（x）=x2﹣ax+3，函數(shù)的對(duì)稱軸方程為x=，函數(shù)g（x）=x2﹣ax+3在（﹣∞，）上為減函數(shù)，在（，+∞）上為增函數(shù)，要使復(fù)合函數(shù)f（x）=loga（x2﹣ax+3）在區(qū)間（﹣∞，）上是減函數(shù)，則外層函數(shù)y=logag（x）為增函數(shù)，且同時(shí)滿足內(nèi)層函數(shù)g（x）=x2﹣ax+3在（﹣∞，）上大于0恒成立，即，解得：1＜a．∴使函數(shù)f（x）=loga（x2﹣ax+3）在區(qū)間（﹣∞，）上是減函數(shù)的a的取值范圍是（1，]．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，復(fù)合的兩個(gè)函數(shù)同增則增，同減則減，一增一減則減，注意對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域是求解的前提，考查學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，是中檔題．8.已知命題；命題是的充分不必要條件，則：A．p真q假B．p假q真C．“p或q”為假D．“p且q”為真參考答案：C9.與是相鄰的兩條對(duì)稱軸，化簡(jiǎn)為（

）

A

1

B

2

C

D

0參考答案：D10.圓O1：x2+y2﹣2x=0和圓O2：x2+y2﹣4y=0的位置關(guān)系是（）A．相離 B．相交 C．外切 D．內(nèi)切參考答案：B【考點(diǎn)】JA：圓與圓的位置關(guān)系及其判定．【分析】求出半徑，求出圓心，看兩個(gè)圓的圓心距與半徑的關(guān)系即可．【解答】解：圓O1：x2+y2﹣2x=0，即（x﹣1）2+y2=1，圓心是O1（1，0），半徑是r1=1圓O2：x2+y2﹣4y=0，即x2+（y﹣2）2=4，圓心是O2（0，2），半徑是r2=2∵|O1O2|=，故|r1﹣r2|＜|O1O2|＜|r1+r2|∴兩圓的位置關(guān)系是相交．故選B【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓與圓的位置關(guān)系，是基礎(chǔ)題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)，則

.參考答案：略12.在空間中，可以確定一個(gè)平面的條件是________(填寫相應(yīng)的序號(hào))．①一條直線；②不共線的三個(gè)點(diǎn)；③一條直線和一個(gè)點(diǎn)；④兩條直線．參考答案：②13.在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且△ABC面積為，則面積S的最大值為_____．參考答案：【分析】利用三角形面積構(gòu)造方程可求得，可知，從而得到；根據(jù)余弦定理，結(jié)合基本不等式可求得，代入三角形面積公式可求得最大值.【詳解】

，由余弦定理得：（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）

本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查解三角形問(wèn)題中的三角形面積的最值問(wèn)題的求解；求解最值問(wèn)題的關(guān)鍵是能夠通過(guò)余弦定理構(gòu)造等量關(guān)系，進(jìn)而利用基本不等式求得邊長(zhǎng)之積的最值，屬于?？碱}型.14.若某圓錐的母線長(zhǎng)為2，側(cè)面展開圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的表面積為

．參考答案：3π【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺(tái)）．【分析】半徑為2的半圓的弧長(zhǎng)是2π，圓錐的底面周長(zhǎng)等于側(cè)面展開圖的扇形弧長(zhǎng)，因而圓錐的底面周長(zhǎng)是2π，利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算底面半徑，即可求解圓錐的表面積．【解答】解：一個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)為2，它的側(cè)面展開圖為半圓，圓的弧長(zhǎng)為：2π，即圓錐的底面周長(zhǎng)為：2π，設(shè)圓錐的底面半徑是r，則得到2πr=2π，解得：r=1，這個(gè)圓錐的底面半徑是1，∴圓錐的表面積為：π?1?2+π?12=3π，故答案為：3π．【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查有關(guān)扇形和圓錐的相關(guān)計(jì)算．解題思路：解決此類問(wèn)題時(shí)要緊緊抓住兩者之間的兩個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系：（1）圓錐的母線長(zhǎng)等于側(cè)面展開圖的扇形半徑；（2）圓錐的底面周長(zhǎng)等于側(cè)面展開圖的扇形弧長(zhǎng)．正確對(duì)這兩個(gè)關(guān)系的記憶是解題的關(guān)鍵．15.已知，,則=

.參考答案：16.___________.參考答案：0；【分析】直接逆用兩角差的余弦公式以及特殊角的三角函數(shù)求解即可.【詳解】,故答案為0.17.三棱柱ABC中,若E、F分別為AB、AC的中點(diǎn),平面將三棱柱分成體積為、的兩部分,那么∶

.參考答案：7∶5或5∶7三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.如圖，在△ABC中，邊BC上的高所在的直線方程為x﹣3y+2=0，∠BAC的平分線所在的直線方程為y=0，若點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，3）．（1）求點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）求△ABC的面積．參考答案：【考點(diǎn)】直線的一般式方程．【分析】（1）由，得頂點(diǎn)A．利用直線AB的斜率計(jì)算公式可得kAB，x軸是∠BAC的平分線，可得直線AC的斜率為﹣1，AC所在直線的方程．直線BC上的高所在直線的方程為x﹣3y+2=0，故直線BC的斜率為﹣3，可得直線BC方程為．（2）利用兩點(diǎn)之間的距離公式可得|BC|，又直線BC的方程是3x+y﹣6=0，利用點(diǎn)到直線的距離公式可得：A到直線BC的距離d，即可得出△ABC的面積．【解答】解：（1）由，得頂點(diǎn)A（﹣2，0）．

…又直線AB的斜率，x軸是∠BAC的平分線，故直線AC的斜率為﹣1，AC所在直線的方程為y=﹣x﹣2①直線BC上的高所在直線的方程為x﹣3y+2=0，故直線BC的斜率為﹣3，直線BC方程為y﹣3=﹣3（x﹣1），即y=﹣3x+6．②…聯(lián)立方程①②，得頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，﹣6）．

…（2），…又直線BC的方程是3x+y﹣6=0，所以A到直線BC的距離，…所以△ABC的面積=．…19.設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知．（Ⅰ）求△ABC的面積；（Ⅱ）求sin（C﹣A）的值．參考答案：【考點(diǎn)】解三角形；余弦定理的應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求出sinC，然后求△ABC的面積；（Ⅱ）通過(guò)余弦定理求出c，利用正弦定理求出sinA，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求出cosA，利用兩角和的正弦函數(shù)求sin（C﹣A）的值．【解答】（本小題滿分13分）解：（Ⅰ）在△ABC中，因?yàn)?，所以?/p>

…所以，．

…（Ⅱ）由余弦定理可得，c2=a2+b2﹣2ab?cosC==9所以，c=3．

…又由正弦定理得，，所以，．

…因?yàn)閍＜b，所以A為銳角，所以，．

…所以，sin（C﹣A）=sinC?cosA﹣cosC?sinA=．…20.

如圖△，設(shè)，若，設(shè)與交于P，用來(lái)表示向量.參考答案：解：設(shè)

則

兩式相減：

21.(1)有時(shí)一個(gè)式子可以分拆成兩個(gè)式子,求和時(shí)可以達(dá)到相消化簡(jiǎn)的目的,如我們初中曾學(xué)

過(guò):==請(qǐng)用上面的數(shù)學(xué)思維來(lái)證明如下:(注意:）(2)

當(dāng)時(shí),且

,求的值.參考答案：22.△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊為a