湖南省岳陽市汨羅城北中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若某校高一年級8個(gè)班參加合唱比賽的得分如莖葉圖所示，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)分別是（）A．91.5和91.5 B．91.5和92 C．91和91.5 D．92和92參考答案：A考點(diǎn)：莖葉圖；眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)．專題：圖表型．分析：根據(jù)莖葉圖寫出這組數(shù)據(jù)，把數(shù)據(jù)按照從大到小排列，最中間的一個(gè)或最中間兩個(gè)數(shù)字的平均數(shù)就是中位數(shù)，平均數(shù)只要代入平均數(shù)的公式得到結(jié)果．解答：解：由莖葉圖可知：這組數(shù)據(jù)為87，89，90，91，92，93，94，96，所以其中位數(shù)為=91.5，平均數(shù)為（87+89+90+91+92+93+94+96）=91.5，故選A．點(diǎn)評：本題考查莖葉圖的基礎(chǔ)知識(shí)，考查同學(xué)們的識(shí)圖能力，考查中位數(shù)與平均數(shù)的求法．在求中位數(shù)時(shí)，首先要把這列數(shù)字按照從小到大或從的大到小排列，找出中間一個(gè)數(shù)字或中間兩個(gè)數(shù)字的平均數(shù)即為所求2.直線被橢圓所截得的弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是

A．(,-)

B．．(-,)

C．(,-)

D．(-,

)

參考答案：B略3.設(shè)隨機(jī)變量，若，則(

)A. B. C.1 D.2參考答案：B【分析】根據(jù)，可以求出的值，利用二項(xiàng)分布的方差公式直接求出的值.【詳解】解:，解得，，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)分布的方差公式，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.4.給出以下四個(gè)說法：①

若p或q為真命題，則p且q為真命題；②在刻畫回歸模型的擬合效果時(shí)，相關(guān)指數(shù)的值越大，說明擬合的效果越好；③在回歸直線方程中，當(dāng)解釋變量每增加一個(gè)單位時(shí)，預(yù)報(bào)變量平均增加個(gè)單位；④對分類變量與，若它們的隨機(jī)變量的觀測值越小，則判斷“與有關(guān)系”的把握程度越大．其中正確的說法是

(

) A．①④ B．②④ C．①③ D．②③參考答案：D5.過點(diǎn)的直線l與圓x2+y2=1有公共點(diǎn)，則直線l的斜率的取值范圍是（）A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系．【專題】計(jì)算題；方程思想；綜合法；直線與圓．【分析】用點(diǎn)斜式設(shè)出直線方程，根據(jù)直線和圓有交點(diǎn)、圓心到直線的距離小于或等于半徑可得≤1，由此求得斜率k的范圍．【解答】解：由題意可得點(diǎn)在圓x2+y2=1的外部，故要求的直線的斜率一定存在，設(shè)為k，則直線方程為y+1=k（x+），即kx﹣y+k﹣1=0．根據(jù)直線和圓有公共點(diǎn)、圓心到直線的距離小于或等于半徑可得≤1，即3k2﹣2k+1≤k2+1，解得0≤k≤，故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查用點(diǎn)斜式求直線方程，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．6.橢圓6x2+y2=6的長軸端點(diǎn)坐標(biāo)為（）A．（﹣1，0），（1，0） B．（﹣6，0），（6，0） C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】化簡橢圓方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，然后求解即可．【解答】解：橢圓6x2+y2=6的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，橢圓6x2+y2=6的長軸端點(diǎn)坐標(biāo)為：．故選：D．7.已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則目標(biāo)函數(shù)z=2x﹣y的最大值為（）A．﹣3 B． C．5 D．6參考答案：C【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃．【分析】作出題中不等式組表示的平面區(qū)域，得如圖的△ABC及其內(nèi)部，再將目標(biāo)函數(shù)z=2x﹣y對應(yīng)的直線進(jìn)行平移，可得當(dāng)x=2，y=﹣1時(shí)，z取得最大值5．【解答】解：作出不等式組表示的平面區(qū)域，得到如圖的△ABC及其內(nèi)部，其中A（﹣1，﹣1），B（2，﹣1），C（0.5，0.5）設(shè)z=F（x，y）=2x﹣y，將直線l：z=2x﹣y進(jìn)行平移，當(dāng)l經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z達(dá)到最大值∴z最大值=F（2，﹣1）=5故選：C8.若<<0，則下列不等式：①a+b<ab；②|a|>|b|；③a<b；④a2<b2中，正確的個(gè)數(shù)是（

）A.1

B.2

C.3

D.4參考答案：略9.下列函數(shù)為奇函數(shù)的是（）A． B．y=x﹣1 C．y=x2 D．y=x3參考答案：D【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的判斷．【分析】確定函數(shù)的定義域，利用奇函數(shù)的定義，即可判斷．【解答】解：對于A，函數(shù)的定義域?yàn)閇0，+∞），不是奇函數(shù)；對于B，定義域?yàn)镽，不滿足奇函數(shù)的定義；對于C，定義域?yàn)镽，是偶函數(shù)；對于D，定義域?yàn)镽，是奇函數(shù)，故選D．【點(diǎn)評】本題考查奇函數(shù)的定義，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確理解奇函數(shù)的概念是關(guān)鍵．10.若直線與雙曲線的右支交于不同的兩點(diǎn)，那么的取值范圍是（

）A．（）

B．（）

C．（）

D．（）參考答案：D解析：有兩個(gè)不同的正根

則得二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)的極坐標(biāo)為，直線的極坐標(biāo)方程為，則點(diǎn)A到直線的距離為________.

參考答案：12.如圖，PA⊥圓O所在的平面，AB是圓O的直徑，C是圓O上的一點(diǎn)，E、F分別是PB、PC上的點(diǎn)，AE⊥PB，AF⊥PC，給出下列結(jié)論：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC。其中正確結(jié)論的序號是_________________。參考答案：①②③13.若圓上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到直線4x－3y－2=0的距離為1，則半徑r的取值范圍是______________． 參考答案：（４，6）略14.已知曲線、的極坐標(biāo)方程分別為，，則曲線上的點(diǎn)與曲線上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為

參考答案：15.計(jì)算：=

。參考答案：2略16.從1，2，……，9這九個(gè)數(shù)中，隨機(jī)抽取3個(gè)不同的數(shù)，則這3個(gè)數(shù)的和為偶數(shù)的概率是__________。參考答案： 17.函數(shù)在區(qū)間(0,1)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（

）A．0

B．1

C．2

D．3參考答案：B三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.某超市在節(jié)日期間進(jìn)行有獎(jiǎng)促銷，凡在該超市購物滿300元的顧客，將獲得一次摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，規(guī)則如下：獎(jiǎng)盒中放有除顏色外完全相同的1個(gè)紅球，1個(gè)黃球，1個(gè)白球和1個(gè)黑球．顧客不放回的每次摸出1個(gè)球，若摸到黑球則停止摸獎(jiǎng)，否則就要將獎(jiǎng)盒中的球全部摸出才停止．規(guī)定摸到紅球獎(jiǎng)勵(lì)10元，摸到白球或黃球獎(jiǎng)勵(lì)5元，摸到黑球不獎(jiǎng)勵(lì)．（Ⅰ）求1名顧客摸球3次停止摸獎(jiǎng)的概率；（Ⅱ）記X為1名顧客摸獎(jiǎng)獲得的獎(jiǎng)金數(shù)額，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考答案：【考點(diǎn)】CG：離散型隨機(jī)變量及其分布列；CH：離散型隨機(jī)變量的期望與方差．【分析】（Ⅰ）1名顧客摸球3次停止摸獎(jiǎng)的情況有種，基本事件的個(gè)數(shù)為1+++，然后代入等可能事件的概率公式可求（Ⅱ）隨機(jī)變量X的所有取值為0，5，10，15，20．，分別求出X取各個(gè)值時(shí)的概率即可求解隨機(jī)變量X的分布列及期望【解答】（Ⅰ）解：設(shè)“1名顧客摸球3次停止摸獎(jiǎng)”為事件A，則共有基本事件：1+++=16個(gè)，則A事件包含基本事件的個(gè)數(shù)為=6個(gè)，則P（A）==，故1名顧客摸球3次停止摸獎(jiǎng)的概率為，（Ⅱ）解：隨機(jī)變量X的所有取值為0，5，10，15，20．，，，，．

所以，隨機(jī)變量X的分布列為：X05101520P.19.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線C1：2x2－y2＝1.(1)過C1的左頂點(diǎn)引C1的一條漸近線的平行線，求該直線與另一條漸近線及x軸圍成的三角形的面積；(2)設(shè)斜率為1的直線l交C1于P、Q兩點(diǎn)．若l與圓x2＋y2＝1相切，求證：OP⊥OQ；參考答案：解：(1)雙曲線C1：－y2＝1，左頂點(diǎn)A，漸近線方程：y＝±x.過點(diǎn)A與漸近線y＝x平行的直線方程為y＝，即y＝x＋1.解方程組得所以所求三角形的面積為S＝|OA||y|＝.(2)設(shè)直線PQ的方程是y＝x＋b，因直線PQ與已知圓相切，故＝1，即b2＝2.由得x2－2bx－b2－1＝0.設(shè)P(x1，y1)、Q(x2，y2)，則又y1y2＝(x1＋b)(x2＋b)，所以·＝x1x2＋y1y2＝2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝2(－1－b2)＋2b2＋b2＝b2－2＝0.故OP⊥OQ.20.已知四面體，，，且平面平面.（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求直線與平面所成角的大小.

參考答案：（Ⅰ）∵∴∴，取中點(diǎn)，則∴平面，∴

4分

（Ⅱ）過點(diǎn)作交延長線于，連結(jié)

∵平面平面，∴平面，∴為與平面所成角

∵，，∴ks5u∴∴在中，∴直線與平面所成角的大小為略21.如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AA1=4，AB=5，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)．（1）求證：AC⊥BC1；（2）求證：AC1∥平面CDB1．參考答案：【考點(diǎn)】直線與平面平行的判定；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系．【專題】計(jì)算題；證明題．【分析】（1）利用ABC﹣A1B1C1為直三棱柱，證明CC1⊥AC，利用AB2=AC2+BC2，說明AC⊥CB，證明AC⊥平面C1CB1B，推出AC⊥BC1．（2）設(shè)CB1∩BC1=E，說明E為C1B的中點(diǎn)，說明AC1∥DE，然后證明AC1∥平面CDB1．【解答】解：（1）∵ABC﹣A1B1C1為直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC，AC?平面ABC，∴CC1⊥AC…∵AC=3，BC=4，AB=5，∴AB2=AC2+BC2，∴AC⊥CB…又C1C∩CB=