第一章

三角形的證明1.3線段的垂直平分線

北師大版·八年級上冊第1課時(shí)

線段的垂直平分線

如圖，A、B表示兩個(gè)倉庫，要在A、B一側(cè)的河岸邊建造一個(gè)碼頭，使它到兩個(gè)倉庫的距離相等，碼頭P應(yīng)建在什么位置？AB碼頭P一、情景導(dǎo)入作AB的線段垂直平分線

垂直且平分一條線段的直線叫作這條線段的垂直平分線

●●lAA′D21二、探索新知l⊥AA′交于點(diǎn)D，AD=A′D線段AA′沿直線l折疊，則點(diǎn)A與點(diǎn)A′重合

直線l是線段AB的垂直平分線，p是直線l的一點(diǎn)，線段AB沿直線l折疊BAPl

因此點(diǎn)A與點(diǎn)B重合.從而線段PA與線段PB重合，于是PA=PB.線段垂直平分線的性質(zhì)定理定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.ACBPMN你能證明這個(gè)定理嗎？證明：∵M(jìn)N⊥AB∴∠PCA=∠PCB=90°∵AC=BC,PC=PC∴△APC≌△BPC(SAS)∴PA=PB

(全等三角形的對應(yīng)邊相等)已知:如圖,直線MN⊥AB,垂足是C，且AC=BC,P是MN上任意一點(diǎn).求證:PA=PB.ACBPMN定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.線段垂直平分線的性質(zhì)定理定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.ACBPMN符號語言：∵如圖,PC⊥AB,AC=BC,（P是線段AB垂直平分線上的一點(diǎn)）∴PA=PB.應(yīng)用：常用來證明兩條線段相等定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.逆命題到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上.它是真命題嗎？你能證明嗎？已知：線段AB，點(diǎn)P是平面內(nèi)一點(diǎn)，且PA=PB．求證：P點(diǎn)在AB的垂直平分線上．CBPA命題：到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上PA=PB，要分點(diǎn)P在線段AB上及線段AB外兩種情況來討論已知：線段AB，點(diǎn)P是平面內(nèi)一點(diǎn)，且PA=PB．求證：P點(diǎn)在AB的垂直平分線上．命題：到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上情況一：當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，∵PA=PB，∴點(diǎn)P為線段AB的中點(diǎn)，顯然此時(shí)點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上；BPA已知：線段AB，點(diǎn)P是平面內(nèi)一點(diǎn)，且PA=PB．求證：P點(diǎn)在AB的垂直平分線上．命題：到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上CBPA情況二：當(dāng)點(diǎn)P在線段AB外時(shí)，如圖.∵PA=PB，∴△PAB是等腰三角形.過頂點(diǎn)P作PC⊥AB，垂足為點(diǎn)C，∴底邊AB上的高PC也是底邊AB上的中線.即PC⊥AB，且AC=BC.∴直線PC是線段AB的垂直平分線，此時(shí)點(diǎn)P也在線段AB的垂直平分線上.你還有其他證明方法嗎？已知：線段AB，點(diǎn)P是平面內(nèi)一點(diǎn)，且PA=PB．求證：P點(diǎn)在AB的垂直平分線上．命題：到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上CBPA情況二：當(dāng)點(diǎn)P在線段AB外時(shí)，如圖.（1）過頂點(diǎn)P作PC⊥AB，垂足為點(diǎn)C（2）取線段AB的中點(diǎn)C，連接PC（3）過P點(diǎn)作∠APB的角平分線交AB于點(diǎn)C直線PC是線段AB的垂直平分線

到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上.線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理：幾何語言：∵

PA=PB，∴點(diǎn)P

在AB

的垂直平分線上．PAB作用：判斷一個(gè)點(diǎn)是否在線段的垂直平分線上.例1：如圖，在△ABC中，∠C=90°，DE為AB的垂直平分線．（1）如果AC＝6cm，BC＝8cm，試求△ACD的周長；（2）如果∠CAD：∠BAD＝1：2，求∠B的度數(shù)．三、典例精練知識點(diǎn)一：線段垂直平分線的性質(zhì)解：（1）∵DE為AB的垂直平分線，∴DA＝DB，∴C△ACD＝AC+CD+DA

＝AC+CD+DB

＝AC+BC＝14（cm）；例1：如圖，在△ABC中，∠C=90°，DE為AB的垂直平分線．（1）如果AC＝6cm，BC＝8cm，試求△ACD的周長；（2）如果∠CAD：∠BAD＝1：2，求∠B的度數(shù)．三、典例精練知識點(diǎn)一：線段垂直平分線的性質(zhì)（2）設(shè)∠CAD＝x，則∠BAD＝2x，∵DA＝DB，∴∠DAB＝∠B＝2x，∵∠C＝90°，∴x+2x+2x＝90°，

解得

x＝18°，則∠B＝2x＝36°．例2：已知：如圖△ABC中，AB=AC，O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且OB=OC.求證：直線AO垂直平分線段BC.證明：∵AB=AC，

∴A在線段BC的垂直平分線（到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上）.

同理，點(diǎn)O在線段BC的垂直平分線.∴直線AO是線段BC的垂直平分線（兩點(diǎn)確定一條直線）.你還有其他證明方法嗎？利用三角形的全等證明三、典例精練知識點(diǎn)二：線段垂直平分線的判定例2：已知：如圖△ABC中，AB=AC，O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且OB=OC.求證：直線AO垂直平分線段BC.證明：∵AB=AC，OB=OC，OA=OA

∴△AOB≌△AOC

(SSS)

∴∠BOA=∠COA.∵AB=AC

∴直線AO是線段BC的垂直平分線這個(gè)題給了你什么啟示？三、典例精練知識點(diǎn)二：線段垂直平分線的判定思考：到線段AB兩個(gè)端點(diǎn)距離相等點(diǎn)的位置有什么關(guān)系？BA都在同一條直線上，這條直線是線段的垂直平分線.1．如圖，已知直線l垂直平分線段AB，P是l上一點(diǎn)，已知PA＝1，則PB()A．等于1B．小于1C．大于1D．不能確定A四、課堂練習(xí)2．如圖，AC＝AD，BC＝BD，則有()A．AB垂直平分CDB．CD垂直平分ABC．AB與CD互相垂直平分D．CD平分∠ACBA四、課堂練習(xí)3．如圖，在△ABC中，DE是AC的垂直平分線，且分別交BC，AC于點(diǎn)D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，則∠BAD為()A．50°B．70°C．75°D．80°B四、課堂練習(xí)4．如圖，在△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝4，邊AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)D，則△BDC的周長是()A．8B．9C．10D．11C四、課堂練習(xí)5.如圖，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線交AC于E，連接BE，AB+BC=16cm，則△BCE的周長是

cm.ABCDE16四、課堂練習(xí)A四、課堂練習(xí)7．如圖，在△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC，DE⊥AB于點(diǎn)E，求證：直線AD是CE的垂直平分線．四、課堂練習(xí)證明：∵DE⊥AB，AC⊥BC，

∴∠AED＝∠ACB＝90°，

又∵AD平分∠BAC，∴∠DAE＝∠DAC，

在△AED和△ACD中，∠AED＝∠ACB，∠DAE＝∠DAC，AD＝AD∴△AED≌△ACD（AAS），∴AE＝AC，DE＝DC∴AD平分線段EC，

即直線AD是線段CE的垂直平分線．8．如圖，在△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)E，點(diǎn)D是BE的中點(diǎn)．（1）若∠C＝35°，求∠BAE的度數(shù)；（2）若CD＝4cm，CF＝3cm，求△ABC的周長．四、課堂練習(xí)解：（1）∵EF垂直平分AC，∴EA＝EC，∴∠EAC＝∠C＝35°，∴∠AEB＝∠EAC+∠C＝70°，

∵點(diǎn)D是BE的中點(diǎn)，AD⊥BC，∴AD垂直平分BE，∴AE＝AB，∴∠ABE＝∠AEB＝70°，∴∠BAE＝180°﹣∠ABE﹣∠AEB＝40°；8．如圖，在△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)E，點(diǎn)D是BE的中點(diǎn)．（1）若∠C＝35°，求∠BAE的度數(shù)；（2）若CD＝4cm，CF＝3cm，求△ABC的周長．四、課堂練習(xí)解：（2）∵EF垂直平分AC，AD垂直平分BE，∴AC＝2CF＝2×3＝6cm，CE＝AE＝AB，DB＝DE，∴C△ABC＝AC+CB+AB

＝AC+CD+DB+AB

＝AC+CD+（DE+CE）

＝AC+2CD

＝6+