1.3勾股定理初中數(shù)學(xué)

勾股定理的4種證明方法：趙爽弦圖劉徽“青朱出入圖”加菲爾德總統(tǒng)拼圖畢達(dá)哥拉斯拼圖知識(shí)回顧

ACBabc1.熟練運(yùn)用勾股定理及其逆定理解決實(shí)際問(wèn)題.2.進(jìn)一步加深對(duì)勾股定理與其逆定理之間關(guān)系的認(rèn)識(shí).3.學(xué)會(huì)將實(shí)際問(wèn)題構(gòu)建成數(shù)學(xué)模型，并運(yùn)用勾股定理的逆定理解決.學(xué)習(xí)目標(biāo)這節(jié)課我們就來(lái)學(xué)習(xí)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題.波平如鏡一湖面，3尺高處出紅蓮.亭亭多姿湖中立，突遭狂風(fēng)吹一邊.離開(kāi)原處6尺遠(yuǎn)，花貼湖面像睡蓮.請(qǐng)君動(dòng)腦想一想，湖水在此深幾尺？課堂導(dǎo)入分析：①梯子下滑前和下滑后的長(zhǎng)度不變;②梯子下滑前和下滑后均與墻AO和地面構(gòu)成直角三角形.例1如圖，一架2.6m長(zhǎng)的梯子AB斜靠在一豎直的墻AO上，這時(shí)AO為2.4m.如果梯子的頂端A沿墻下滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.5m嗎？ACOBD

ACOBD

ACOBD所以梯子的頂端下滑0.5m時(shí)，梯子底端并不是也外移0.5m，而是外移約0.77m.運(yùn)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟1.從實(shí)際問(wèn)題中抽象出幾何圖形；2.確定所求線(xiàn)段所在的直角三角形；3.找準(zhǔn)直角邊和斜邊，根據(jù)勾股定理建立等量關(guān)系；4.求得結(jié)果.勾股定理應(yīng)用的常見(jiàn)類(lèi)型1.已知直角三角形的任意兩邊求第三邊；2.已知直角三角形的任意一邊確定另兩邊的關(guān)系；3.證明包含有平方（算術(shù)平方根）關(guān)系的幾何問(wèn)題；4.求解幾何體表面上的最短路程問(wèn)題；5.構(gòu)造方程（或方程組）計(jì)算有關(guān)線(xiàn)段長(zhǎng)度，解決生產(chǎn)、生活中的實(shí)際問(wèn)題.1.在一次臺(tái)風(fēng)中，小紅家的樹(shù)在離地面3米的地方被攔腰截?cái)啵瑯?shù)的頂部落在離根部4米的地方，你能計(jì)算出這棵樹(shù)沒(méi)截?cái)嗲暗母叨葐幔扛櫽?xùn)練新知探究分析：根據(jù)題意，可以將地面、截?cái)嗟沟氐臉?shù)的部分、剩余未截?cái)嗟臉?shù)的部分構(gòu)建成一個(gè)直角三角形.

ACB

ACB

分析：根據(jù)勾股定理可以得出直角三角形的第三邊也相等，然后利用“三邊相等”來(lái)證明全等.

1.如圖，池塘邊有兩點(diǎn)A，B，點(diǎn)C是與BA方向成直角的AC方向上一點(diǎn)，測(cè)得BC=60m，AC=20m.求A，B兩點(diǎn)間的距離（結(jié)果取整數(shù)）.

ABC隨堂練習(xí)2.《九章算術(shù)》中一道“引葭赴岸”問(wèn)題：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊，問(wèn)水深，葭長(zhǎng)各幾何？”題意是：有一個(gè)池塘，其地面是邊長(zhǎng)為10尺的正方形，一棵蘆葦AC生長(zhǎng)在它的中央，高出水面部分BC為1尺，如果把該蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向岸邊，那么蘆葦?shù)捻敳緾恰好碰到岸邊的C'處（如圖1），水深和蘆葦長(zhǎng)各多少尺？則該問(wèn)題的水深是______尺．

解：把臺(tái)階展成如圖的平面圖形，連接AB.

3.如圖，臺(tái)階下A處的螞蟻要爬到B處搬運(yùn)食物，它走的最短路程是多少？

1.小巷左右兩側(cè)是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時(shí)，梯子底端到左墻角的距離為0.7米，頂端距離地面2.4米.如果保持梯子底端位置不動(dòng)，將梯子斜靠在右墻時(shí)，頂端距離地面2米，則小巷的寬度為（C

）.A.0.7米

B.

1.5米C.

2.2米

D.2.4米0.72.42.521.5拓展提升2.已知一個(gè)三角形工件尺寸如圖，計(jì)算高l的長(zhǎng)（結(jié)果取整數(shù)）.解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D.

ABCDl88mm64mm88mm3.有一塊土地形狀如圖所示，∠B=∠D=90?，AB=20米，BC=15米，CD=7米，請(qǐng)計(jì)算這塊土地的面積.解：連接AC，則S四邊形ABCD=S△ABC+

S△ADC.

答：這塊土地的面積為234平方米.思考我們已經(jīng)學(xué)會(huì)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題，那么勾股定理的逆定理在實(shí)際生活中有哪些應(yīng)用呢？船只在航行的時(shí)候需要確定方向和位置.課堂導(dǎo)入如圖，某港口P位于東西方向的海岸線(xiàn)上.“遠(yuǎn)航”號(hào)、“海天”號(hào)輪船同時(shí)離開(kāi)港口，各自沿一固定方向航行，“遠(yuǎn)航”號(hào)每小時(shí)航行16nmile，“海天”號(hào)每小時(shí)航行12nmile.它們離開(kāi)港口一個(gè)半小時(shí)后分別位于點(diǎn)Q，R處，且相距30nmile.如果知道“遠(yuǎn)航”號(hào)沿東北方向航行，能知道“海天”號(hào)沿哪個(gè)方向航行嗎？知識(shí)點(diǎn)1：勾股定理逆定理的應(yīng)用新知探究通過(guò)題目已知條件可以得出：1.PR的長(zhǎng)度2.PQ的長(zhǎng)度3.∠1的度數(shù)4.RQ的長(zhǎng)度分析：在圖中可以看到，由于“遠(yuǎn)航”號(hào)的航向已知，如果求出兩艘輪船的航向所成的角，就能知道“海天”號(hào)的航向了.

解：根據(jù)題意，PQ=16×1.5=24，PR=12×1.5=18，RQ=30.

所以∠RPQ=90?.由“遠(yuǎn)航”號(hào)沿東北方向航行可知，∠1=45?.因此∠2=45?，即“海天”號(hào)沿西北方向航行.1.A，B，C三地的兩兩距離如圖所示，A地在B地的正東方向，C地在B地的什么方向？跟蹤訓(xùn)練新知探究分析：根據(jù)圖示的距離，可以判斷出以A，B，C三地位置構(gòu)成的三角形是直角三角形.解：設(shè)A，B，C三地對(duì)應(yīng)點(diǎn)A，B，C，則在△ABC中，

所以△ABC是直角三角形，且∠B=90?，所以C地在B地的正北方向.2.如圖，在四邊形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，∠B=90?.求四邊形ABCD的面積.CBAD分析：△ABC是直角三角形，所以可以求出斜邊AC.根據(jù)AC，CD，AD的長(zhǎng)度及勾股定理的逆定理可以判定△ACD也是直角三角形.

所以△ACD是直角三角形，且∠ACD=90?.

3.小明向東走80m后，沿另一方向又走了60m，再沿第三個(gè)方向走100m回到原地.小明向東走80m后是向哪個(gè)方向走的？北南東西OA分析：如圖所示，小明先向東走到A處，則OA=80m.根據(jù)題意，小明應(yīng)該是往東西方向坐標(biāo)以上或者以下行走的，所以應(yīng)該分兩種情況討論.解：（1）小明從O走到A，再走到B1，最終由B1回到O.

所以△AOB1是直角三角形，且∠OAB1=90?.因此小明向東走80m后，又向北走了60m，再走100m回到原地.北南東西OB1A（2）小明從O走到A，再走到B2，最終由B2回到O.同理，△AOB2是直角三角形，且∠OAB2=90?.因此小明向東走80m后，又向南走了60m，再走100m回到原地.綜上所述，小明向東走80m后，又向南或向北走了60m，最后走100m回到原地.北南東西OB1B2A1.如圖所示，甲、乙兩船從港口A同時(shí)出發(fā)，甲船以30海里/時(shí)的速度向北偏東35?的方向航行，乙船以40海里/時(shí)的速度向另一方向航行，2小時(shí)后，甲船到達(dá)C島，乙船到達(dá)B島，若C，B兩島相距100海里，則乙船航行的方向是南偏東多少度？北ABC35?拓展提升解：由題意得：AC=30×2=60（海里），AB=40×2=80（海里）.

2.某探險(xiǎn)隊(duì)的A組從駐地O點(diǎn)出發(fā)，以12km/h的速度前進(jìn)，同時(shí)B組也從駐地O點(diǎn)出發(fā)，以9km/h的速度向另一方向前進(jìn).2h后同時(shí)停下來(lái)，如圖所示，這時(shí)