.2.1基本初等函數(shù)的導數(shù)及導數(shù)的幾何意義(時間：120分鐘，分值：150分)一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每個小題紿岀的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.下列說法正確的是（）．A．曲線的切線和曲線有交點，這點一定是切點B．過曲線上一點作曲線的切線，這點一定是切點C．若不存在，則曲線在點處無切線D．若曲線在點處有切線，則不一定存在【答案】D【分析】結(jié)合導數(shù)的運算以及導數(shù)的幾何意義舉例子可判斷A、B、C、D；進而可得正確選項.【詳解】對于A：曲線的切線與曲線的交點不一定唯一，如曲線在處的切線為：，即，切線與另一個交點為，故選項A說法錯誤；對于B：過曲線上一點作曲線的切線，這點不一定是切點，如與相切于點，同時經(jīng)過另一點，可以說過點的直線與曲線相切，但切點是不是，故選項B不正確；對于C：若不存在，曲線在點處可以有切線，如在時，不存在，但有切線，故選項C錯誤；對于D：由曲線在一點處有平行于軸的切線，且在該點處不連續(xù)，則不一定存在，如在時，有切線，但不存在，故選項D正確，故選：D．2.給出下列結(jié)論：①若y＝，則y′＝－；②若y＝，則y′＝；③若f(x)＝3x，則f′（1）＝3.其中正確的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．0【答案】B【分析】利用導數(shù)的運算法則逐個分析判斷即可【詳解】對于①，y′＝(x－3)′＝，正確；對于②，，不正確；對于③，f′(x)＝3，故f′（1）＝3，正確．故選：B3.函數(shù)的導函數(shù)，滿足關(guān)系式，則的值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】結(jié)合導數(shù)運算求得.【詳解】，令，故選：B4.若直線是函數(shù)的一條切線，則函數(shù)不可能是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】逐個利用導數(shù)的幾何意義分析判斷，先對函數(shù)求導，然后使，若方程有解，則直線可能是曲線的切線，否則不是，【詳解】解：對于A，由得，令無解，故A正確；對于B，由得，令，解得，故B錯誤；對于C，由得，令，有解，故C錯誤；對于D，由得，令，解得，故D錯誤．故選：A5.如圖所示，直線l是曲線y＝f（x）在點（5，6）處的切線，則f′（5）＝（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由圖象可得切線經(jīng)過點（0，4）和（5，6），由導數(shù)的幾何意義和直線的斜率公式可得所求值．【詳解】直線l是曲線y＝f（x）在點（5，6）處的切線，且過（0，4），可得切線的斜率為k＝f′（5）＝＝，故選：B6.若曲線在點處的切線與兩個坐標軸圍成的三角形的面積為18，則（）A．24 B．32 C．64 D．86【答案】C【分析】根據(jù)導數(shù)的幾何意義可求切線斜率即可求出切線方程，由直線求出截距可得三角形面積.【詳解】∵，∴，∴曲線在點處的切線斜率，∴切線方程為.令，得；令，得.∴該切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為，∴.故選：C7.已知直線與函數(shù)的圖象恰有四個公共點，，，.其中，則有A． B．C． D．【答案】B【分析】依題意，在同一坐標系中作出直線與函數(shù)的圖象，利用導數(shù)的幾何意義可求得切線的斜率，從而將切點坐標代入直線方程（即切線方程）即可求得答案．【詳解】∵直線與函數(shù)的圖象恰有四個公共點，如圖：

當時，函數(shù)，

依題意，切點坐標為，

又切點處的導數(shù)值就是直線的斜率，即，

，

故選B．8.已知函數(shù)的圖象上有兩對關(guān)于坐標原點對稱的點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】將問題轉(zhuǎn)化為與有兩個不同的交點，由過一點曲線切線方程的求解方法可確定當與相切時的取值，由數(shù)形結(jié)合的方式可確定的取值范圍.【詳解】關(guān)于坐標原點對稱的函數(shù)為，設(shè)，圖象上有兩對關(guān)于坐標原點對稱的點等價于與有兩個不同的交點，設(shè)直線與相切于點，則，又直線恒過點，，，解得：，；在同一坐標系中作出與圖象如下圖所示：由圖形可知：當時，與有兩個不同的交點，即當時，函數(shù)的圖象上有兩對關(guān)于坐標原點對稱的點.故選：D.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知的導數(shù)為，則必有（）A． B．（）C． D．（）【答案】BD【分析】求出導數(shù)，作差可得出答案.【詳解】由，得，所以，當時，，當時，，所以選項BD正確.故選：BD.10.可能把直線作為切線的曲線是（）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】對函數(shù)求導，導數(shù)可取即可.【詳解】對于選項A，因為，所以其導數(shù)，令，則其方程有解，為，故選項A可能;對于選項B，因為，所以其導數(shù)，因為對任意，，所以令，方程無解，故選項B不可能；對于選項C，因為，所以其導數(shù)，令，方程有解，為，故選項C可能；對于選項D，因為，所以其導數(shù)，令，方程有解，為，故選項D可能.故選：ACD11.以下論斷錯誤的是（）A．若直線與曲線有且只有一個公共點，則直線一定是曲線的切線；B．若直線與曲線相切于點，且直線與曲線除點外再沒有其他的公共點，則在點附近，直線不可能穿過曲線；C．若不存在，則曲線在點處就沒有切線；D．若曲線在點處有切線，則必存在．【答案】ABC【分析】根據(jù)導數(shù)的定義與運算，以及導數(shù)的幾何意義，逐項判定，即可求解.【詳解】對于A中，例如：直線是正弦曲線的切線，但切線與曲線有無數(shù)多個公共點，所以A不正確；對于B中，例如函數(shù)在處的切線，此時直線穿過曲線，所以B不正確；對于C中，切線與導數(shù)的關(guān)系：（1）函數(shù)在處可導，則函數(shù)在處切線一定存在，切線方程為；（2）函數(shù)在處不可導，函數(shù)在處切線可能存在，可能不存在，所以C不正確；對于D中，根據(jù)導數(shù)的幾何意義，可得曲線在點處有切線，則必存在，所以D是正確的．故選：ABC12.已知函數(shù)，若直線與交于三個不同的點（其中），則的可能值為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】BC【分析】根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出曲線在時切線的斜率，然后根據(jù)題意分別求出的取值范圍，進而選出正確答案.【詳解】在時，，，設(shè)切點的坐標為：，，因此有，所以切線方程為：，當該切線過原點時，，所以切點的坐標為：，因為直線與交于三個不同的點，所以有，當切線與直線相交時，解方程組：，因此有，于是有，所以，顯然選項BC符合，故選：BC三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共計20分.13.過拋物線外一點作拋物線的切線，則切線的方程為_________【答案】或【分析】先判斷出過點所作拋物線的切線的斜率必存在，設(shè)其為k，設(shè)切點坐標為，由題意列方程組，解出切點坐標，即可求出切線方程.【詳解】顯然，過斜率不存在的直線不是的切線，所以過點所作拋物線的切線的斜率必存在，設(shè)其為k，設(shè)切點坐標為，由題意可得：，解得：或.則以為切點的切線方程：，即；以為切點的切線方程：，即.故答案為：或.14.若點與曲線上點距離最小值為，則實數(shù)為_______.【答案】【分析】設(shè)點的坐標為，對函數(shù)求導得，由題意可知，直線與曲線在點處的切線垂直，進而利用兩點距離公式即可求出的最小值【詳解】設(shè)點的坐標為，對函數(shù)求導得，由題意可知，直線與曲線在點處的切線垂直，則，得，由兩點間的距離公式得，由于的最小值為，即，，解得，因此，.故答案為：15.關(guān)于的方程在區(qū)間上有三個不相等的實根，則實數(shù)的取值范圍是______.【答案】【分析】由題意知：函數(shù)的圖象在區(qū)間上的圖象與直線有三個不同的交點，求出直線與相切時的值，以及過點時的值，數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】令，則關(guān)于的方程在區(qū)間上有三個不相等的實根，等價于函數(shù)的圖象在區(qū)間上的部分與直線有三個不同的交點，是過原點斜率為的直線，設(shè)過原點且與的圖象相切的直線與的圖象相切于點，所以，，所以，所以切線方程為，整理可得：，因為切線過原點，所以，即，所以，所以設(shè)過原點且與的圖象相切的直線方程為，記，則直線的斜率為，由圖知：要使函數(shù)的圖象在區(qū)間上的部分與直線有三個不同的交點，則令直線的斜率在過原點的與的圖象相切的直線的斜率和直線的斜率之間，所以，所以實數(shù)的取值范是故答案為：.16.已知函數(shù)，函數(shù)有2個零點，則實數(shù)a的取值范圍是____________．【答案】或【分析】本題考查了導數(shù)的幾何意義，函數(shù)的零點與函數(shù)圖象的關(guān)系，作出的函數(shù)圖象，結(jié)合函數(shù)圖象求出當直線與的圖象有兩個交點時的斜率范圍即可．【詳解】解：函數(shù)，函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，繪制函數(shù)圖像如圖所示，函數(shù)有2個零點則函數(shù)與函數(shù)有2個交點，當斜率為零，即時，由圖像可得有兩個交點，則成立；當斜率不為零，即時，如圖所示，考查臨界情況，當直線與函數(shù)相切時，設(shè)切點坐標為，由題意可得：,解得則直線與函數(shù)相切時斜率為，數(shù)形結(jié)合可知實數(shù)a的取值范圍是．綜上，答案為：或．四、解答題：本題共6小題，共計70分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17（10分）①；②．若直線為__________（選擇①、②中的一個）的切線．（1）求切點坐標；（2）求實數(shù)a的值．注：如果條件①和條件②都解答，按第一個解答計分．【答案】若選①，（1）；（2）；若選②，（1）；（2）.【分析】（1）設(shè)出切點，對函數(shù)求導，將切點橫坐標代入導函數(shù)得切線斜率進而求出橫坐標，最后得出答案；（2）將切點坐標代入即可求出a.【詳解】選擇①（1）設(shè)切點，，，解得，所以切點為．（2）由（1）知切點為，所以切線為，即，所以．選擇②（1）設(shè)切點，，，解得，所以切點．（2）由（1）知切點為，所以切線為，所以．18.（12分）在曲線E：上求出滿足下列條件的點P的坐標．（1）在點P處曲線E的切線平行于直線；（2）在點P處曲線E的切線的傾斜角是135°．【答案】（1）（2）【分析】（1）先通過瞬時變化率求出導函數(shù)，再根據(jù)切線斜率即可求出切點；（2）先根據(jù)傾斜角求出斜率，再根據(jù)斜率即可求出切點.（1）．設(shè)為所求的點．因為切線與直線平行，所以，解得，所以，即．（2）因為切線的傾斜角是135°，所以其斜率為，即，解得．所以，即．19.（12分）已知P(－1，1)，Q(2，4)是曲線y＝x2上的兩點．（1）求過點P，Q的曲線y＝x2的切線方程；（2）求與直線PQ平行的曲線y＝x2的切線方程．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）先求導數(shù)，從而得出在，點處的導數(shù)，即求出過點，的切線的斜率，由直線的點斜式方程便可寫出切線方程；（2）可設(shè)切點為，從而得出切線的斜率為，并可求出，從而根據(jù)條件，這樣即可求出，求出切點的坐標，根據(jù)直線的點斜式方程便可得出切線的方程．【詳解】（1）；過點，的切線斜率分別為，4；過點的切線方程為：；即；過點的切線方程為：；即；（2）設(shè)切點為；；切線和直線平行，且切線的斜率為；；；切點為；切線方程為；即．（12分）為了響應國家節(jié)能減排的號召，甲、乙兩個工廠進行了污水排放治理，已知某一個月內(nèi)兩廠污水的排放量W與時間t的關(guān)系如圖所示.（1）該月內(nèi)哪個廠的污水排放量減少得更多？（2）在接近時，哪個廠的污水排放量減少得更多？【答案】（1）乙工廠（2）甲工廠【分析】（1）結(jié)合圖象即可求解；（2）在接近時，污水排放量減少可以看成在處切線的斜率，結(jié)合圖象即可求解（1）觀察圖象可知：，令甲工廠的污水排放量減少為，乙工廠的污水排放量減少為，結(jié)合圖像可知：，所以該月內(nèi)乙工廠的污水排放量減少得更多（2）在接近時，污水排放量減少為，其中為接近的時間且，由導數(shù)的定義與幾何意義可知，可以看成在處切線的斜率，設(shè)甲工廠在處切線的斜率為，乙工廠在處切線的斜率為，結(jié)合圖象可知，所以在接近時，甲工廠的污水排放量減少得更多21.（12分）已知函數(shù)，且曲線在點處的切線方程為l，直線m平行于直線l且過點.（1）求出直線l與m的方程；（2）指出曲線上哪個點到直線m的距離最短，并求出最短距離.【答案】（1）直線：，直線：；（2）【分析】（1）首先求出函數(shù)的導函數(shù)，即可求出切線的斜率，再利用點斜式求出切線方程，根據(jù)直線平行則斜率相等，即可求出直線的方程；（2）顯然（1）中的切點到直線的距離最短，再利用點到直線的距離公式計算可得；（1）解：因為，所以，所以，又，即切點為，所以切線的方程為，即，直線與直線平行，所以斜率為，且直線過點，所以直線的方程為，即，即直線：，直線：；（2）解：依題意點到直線：的距離最短，最短距離22.（12分）設(shè)A，B為曲線C：y＝上兩點，A與B的橫坐標之和為4．（1）求直線AB的斜率；（2）設(shè)M為曲線C上一點，C在M處的切線與直線AB平行，且AM⊥BM，求直線AB的方程．【答案】（1）1；（2）y＝x＋7．【分析】（1）設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的斜率k＝＝，代入即可求得斜率；（2）由（1）中直線AB的斜率，根據(jù)導數(shù)的幾何意義求得M點坐標，設(shè)直線AB的方程為y＝x＋m，與拋物線聯(lián)立，求得根，結(jié)合弦長公式求得