直角三角形的性質

和判定（Ⅱ）1.2直角三角形的性質和判定Ⅱ（3）做一做

如圖1-9，在方格紙上（設小方格邊長為單位1）畫一個頂點都在格點上的直角三角形，使其兩直角邊a,b分別為3，4，量出這個直角三角形斜邊的長度.圖1-9我量得c為5.議一議議一議議一議議一議議一議議一議

在方格紙上，以圖1-9中的Rt△ABC的三邊為邊長分別向外作正方形，得到三個大小不同的正方形，如圖1-10，那么這三個正方形的面積S1，S2，S3

之間有什么關系呢？圖1-10

由圖1-10可知，S1=32，S2

=42

.為了求S3

，可以先算出紅色區(qū)域內(nèi)大正方形的面積，再減去4個小三角形的面積，得S3=52.∵32+42=52，

∴

S1+S2

=S3.

在圖1-10中，S1

+

S2

=S3

，即BC2+AC2=AB2

，那么是否對所有的直角三角形，都有兩直角邊的平方和等于斜邊的平方呢？圖1-10探究

如圖1-11，任作一個Rt△ABC，∠C=90°，若BC=a，AC=b，AB=c，那么a2+b2=c2是否成立呢？圖1-11步驟1先剪出4個如圖1-11所示的直角三角形，由于每個直角三角形的兩直角邊長為a，b（其中b>a），于是它們?nèi)龋⊿AS),從而它們的斜邊長相等.設斜邊長為c.圖1-11我們來進行研究.步驟2再剪出1個邊長為c

的正方形，如圖1-12所示.圖1-12步驟3把步驟1和步驟2中剪出來的圖形拼成如圖1-13的圖形.圖1-13由于△DHK≌△EIH，∴∠2＝∠4.又∵∠1+∠2=90°，∴∠1+∠4=90°.因此拼成的圖形是正方形DEFG，它的邊長為(a+b)，它的面積為(a+b)2

.又∠KHI=90°，∴∠1+∠KHI+∠4=180°，即D，H，E

在一條直線上.圖1-13同理E，I，F(xiàn)在一條直線上；F，J，G

在一條直線上；G，K，D在一條直線上.又正方形DEFG

的面積為，∴即a2+2ab+b2=c2+2ab，∴a2+b2=c2.圖1-13結論直角三角形兩直角邊a，b的平方和，等于斜邊c的平方.

a2+b2=c2

由此得到直角三角形的性質定理：

其實我國早在三千多年前就已經(jīng)知道直角三角形的上述性質，由于古人稱直角三角形的直角邊中較短的一邊為勾，較長的一邊為股，斜邊為弦（如圖1-14），因此這一性質被稱為勾股定理.

勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的關系.在直角三角形中，若已知直角三角形任意兩條邊長，我們可以根據(jù)勾股定理，求出第三邊的長.勾股弦故AD的長為12cm.在Rt△ADB中，由勾股定理得AD2+BD2=AB2

，如圖1-15，在等腰三角形ABC

中，已知AB=AC=13cm，BC=10cm，AD⊥BC

于點D.

你能算出BC邊上的高AD的長嗎？例1圖1-15解在△ABC中，∵

AB=AC

=

13

，BC

=10，AD⊥BC，∴

BD==5.在Rt△ABC中，∠C=90°.（1）已知a=25，b=15，求c；（2）已知a=5，c=9，求b；（3）已知b=5，c=15，求a.練習答：（1）c=；（2）