專題17全國初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽分類匯編卷（四）幾何初步認(rèn)識(shí)（提優(yōu)）一．選擇題1．（浙江競(jìng)賽）小明把棱長為4的正方體分割成了29個(gè)棱長為整數(shù)的小正方體，則其中棱長為1的小正方體有（）A．22個(gè) B．23個(gè) C．24個(gè) D．25個(gè)【解答】解：棱長為4的正方體的體積為64，如果只有棱長為1的正方體就是64個(gè)不符合題意排除，如果有一個(gè)3×3×3的立方體（體積27）就有只能有1×1×1的立方體37個(gè)37+1＞29不符合題意排除，所以應(yīng)該是有2×2×2和1×1×1兩種立方體．則設(shè)棱長為1的有X個(gè)則棱長為2的有（29﹣X）個(gè)，解方程：X+8（29﹣X）＝64，解得：X＝24，所以小明分割的立方體應(yīng)為：棱長為1的24個(gè)，棱長為2的5個(gè)．故選：C．2．（“創(chuàng)新杯”競(jìng)賽）由若干個(gè)單位立方體組成一個(gè)較大的立方體，然后把這個(gè)大立方體的某些面上涂上油漆，油漆干后，把大立方體拆開成單位立方體，發(fā)現(xiàn)有45個(gè)單位立方體上任何一面都沒有漆．那么大立方體被涂過油漆的面數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：設(shè)大立方體棱長為n，顯然n＞3；若n＝6，即使六面都油漆過，未油漆的小方塊也有43＝64個(gè)，大于45．故n＝4或5．除掉已油漆的單位立方體后，剩下未漆的構(gòu)成一個(gè)長方體，設(shè)其和長寬高為a，b，c，則abc＝45，且a，b，c≤5，故只能是3×3×5＝45，即n＝5，它的4個(gè)面油漆過．故選：D．3．為解決四個(gè)村莊用電問題，政府投資在已建電廠與這四個(gè)村莊之間架設(shè)輸電線路．現(xiàn)已知這四個(gè)村莊及電廠之間的距離如圖所示（距離單位：公里），則能把電力輸送到這四個(gè)村莊的輸電線路的最短總長度應(yīng)該是（）A．19.5 B．20.5 C．21.5 D．25.5【解答】解：如圖，最短總長度應(yīng)該是：電廠到A，再從A到B、D，然后從D到C，5+4+6+5.5＝20.5km．故選：B．二．填空題4．從起始站A市坐火車到終點(diǎn)站G市中途共?？?次，各站點(diǎn)到A市距離如下：站點(diǎn)BCDEFG距A市距離（千米）4458051135149518252270若火車車票的價(jià)格由路程決定，則沿途總共有種不同的票價(jià)．【解答】解：∵①從A分別到B、C、D、E、F、G共6種票價(jià)，如圖BC＝805﹣445＝360，CD＝1135﹣805＝330，DE＝1495﹣1135＝360，EF＝1825﹣1495＝330，F(xiàn)G＝2270﹣1825＝445，即AB＝FG，BC＝DE，CD＝EF，②∵BC＝360，BD＝690，BE＝1050，BF＝1380，BG＝1825＝AF，∴從B出發(fā)的有4種票價(jià)，有BC、BD、BE、BF，4種；③∵CD＝330，CE＝690＝BD，CF＝1020，CG＝1465，∴從C出發(fā)的（除去路程相同的）有3種票價(jià)，有CD，CF，CG，3種；④∵DE＝360＝BC，DF＝690＝BD，DG＝1135＝AD，∴從D出發(fā)的（除去路程相同的）有0種票價(jià)；⑤∵EF＝330＝CD，EG＝775，∴從E出發(fā)的（除去路程相同的）有1種票價(jià)，有EG，1種；⑥∵FG＝445＝AB，∴從F出發(fā)的（除去路程相同的）有0種票價(jià)；∴6+4+3+0+1+0＝14，故答案為：14．5．用一些棱長是1的小正方體碼放成一個(gè)立體，從上向下看這個(gè)立體，如圖1，從正面看這個(gè)立體，如圖2，則這個(gè)立體的表面積最多是．【解答】解：圖1可得最底層正方體有8個(gè)正方體；由圖2可得第2層擺放幾何體最多把俯視圖中從左邊數(shù)1，2，4列的正方體上都擺放幾何體，共有5個(gè)正方體，∴從上面看可得到8個(gè)正方體，面積為8×12＝8，從正面看可得到8個(gè)正方體，面積為8×12＝8，從左面看露出正方體的面有8個(gè)，面積為6×12＝6，∴這個(gè)立體的表面積最多為（8+8+6）×2+4＝48故答案為：48．6．把兩個(gè)長3cm、寬2cm、高1cm的小長方體先粘合成一個(gè)大長方體，再把它切分成兩個(gè)大小相同的小長方體，最后一個(gè)小長方體的表面積最多可能比最初的一個(gè)小長方體的表面大cm2．【解答】解：長3cm、寬2cm、高1cm的小長方體的表面積為（3×2+3×1+2×1）×2＝22（cm2）1、把兩個(gè)長方體的1×2的面粘在一起，新的長方體長6cm、寬2cm、高1cm，∵要切出最大面，∴切6×2面，∴最后一個(gè)小長方體的表面積為（6×2+6×0.5+2×0.5）×2＝32（cm2），∴現(xiàn)在面積比原面積大32﹣22＝10（cm2）；2、把兩個(gè)長方體的1×3的面粘在一起，新的長方體長4cm、寬3cm、高1cm，∵要切出最大面，∴切4×3面，∴最后一個(gè)小長方體的表面積為（4×3+4×0.5+3×0.5）×2＝31（cm2），∴現(xiàn)在面積比原面積大31﹣22＝9（cm2）；3、把兩個(gè)長方體的2×3的面粘在一起，新的長方體長3cm、寬2cm、高2cm，∵要切出最大面，∴切3×2面，∴最后一個(gè)小長方體的表面積為（3×2+3×1+2×1）×2＝22（cm2），∴現(xiàn)在面積比原面積大22﹣22＝0（cm2），故最后一個(gè)小長方體的表面積最多可能比最初的一個(gè)小長方體的表面大10cm2．故答案為：10．7．（江蘇競(jìng)賽）α、β、γ中有兩個(gè)銳角和一個(gè)鈍角，其數(shù)值已經(jīng)給出，在計(jì)算115（α+β+γ）的值時(shí)，有三位同學(xué)分別算出了23°、24°、25°這三個(gè)不同的結(jié)果，其中只有一個(gè)是正確的答案，則α+β+γ＝【解答】解：∵α、β、γ中有兩個(gè)銳角和一個(gè)鈍角，∴0°＜α＜90°，0°＜β＜90°，90°＜γ＜180°，∴α+β+γ＜360°，∵15×23°＝345°，15×24°＝360°，15×25°＝375°，∴α+β+γ＝345°．故答案是345°8．如圖所示，已知∠AOB+∠AOC＝180°，OP、OQ分別平分∠AOB、∠AOC．且∠POQ＝50°，則∠AOB＝，∠AOC＝．【解答】解：∵OP、OQ分別平分∠AOB、∠AOC，∴∠AOP=12∠AOB，∠AOQ∵∠POQ＝∠AOQ﹣∠AOP＝50°，∴12∠AOC?12∴∠AOC﹣∠AOB＝100°，∵∠AOB+∠AOC＝180°，∴∠AOC＝140°，∠AOB＝40°．故答案為：40°，140°．三．解答題9．小明晚上6點(diǎn)多外出購物，看手表上時(shí)針與分針的夾角為110°，接近7點(diǎn)回到家，發(fā)現(xiàn)時(shí)針與分針的夾角又是110°．問小明外出時(shí)用了多少時(shí)間？【解答】解：設(shè)時(shí)針從小明外出到回家走了x°，則分針走了（2×110°+x°），由題意，得220°+x°解得x＝20°，∵時(shí)針每小時(shí)走30°，∴20°30°10．（“創(chuàng)新杯”競(jìng)賽）某火車站的鐘樓上裝有一個(gè)電子報(bào)時(shí)鐘，在鐘面的邊界上，每一分鐘的刻度處都裝有一只小彩燈．（1）晚上9時(shí)30分，時(shí)針與分針?biāo)鶌A的角內(nèi)有多少只小彩燈（包括分針處的彩燈）？（2）晚上9時(shí)35分20秒，時(shí)針與分針?biāo)鶌A的角內(nèi)有多少只小彩燈？【解答】解：（1）晚上9時(shí)30分，時(shí)針與分針之間有（45+3060×5）﹣30＝17中間有17個(gè)分鐘刻度，而每一分鐘刻度處裝有一只小彩燈，連同分針出的彩燈，9時(shí)30分，時(shí)針與分針?biāo)鶌A的角內(nèi)有18只小彩燈；（2）晚上9時(shí)35分20秒，時(shí)針與分針之間有（45+352060÷60×5）﹣352060中間有12個(gè)分鐘刻度，而每一個(gè)分鐘刻度處裝有一只小彩燈，所以9時(shí)35分20秒時(shí)，時(shí)針與分針?biāo)鶌A的角內(nèi)裝有的小彩燈個(gè)數(shù)為12．11．（“啟智杯”競(jìng)賽）一個(gè)棱長為5厘米的正方體，它是由125個(gè)棱長為1厘米的小正方體組成的，P為上底面ABCD的中心，如果挖去的陰影部分為四棱錐，剩下的部分還包括多少個(gè)完整的棱長是1厘米的小正方體？【解答】解：根據(jù)題干分析可得：剩下的立體圖形是底面為正方形的正四棱錐，如圖，從正側(cè)面看，共有5層，從下數(shù)第一層完整的正方體個(gè)數(shù)為：25﹣1＝24（個(gè)），第二層也是25﹣9＝16（個(gè)），第三層也是25﹣9＝16（個(gè)），四層0個(gè)，第五層沒有完整的正方體；所以24+16+16＝56（個(gè)）；答：最后剩下的立體圖形中包含56個(gè)完整的棱長是1厘米的小正方體．12．一個(gè)蓋著瓶蓋的瓶子里面裝著一些水（如下圖所示），請(qǐng)你根據(jù)圖中標(biāo)明的數(shù)據(jù)，計(jì)算瓶子的容積．【解答】解：由已知條件知，第二個(gè)圖上部空白部分的高為7﹣5＝2cm，從而水與空著的部分的體積比為4：2＝2：1．由第一個(gè)圖知水的體積為10×4＝40，所以總的容積為40÷2×（2+1）＝60立方厘米．13．如圖，已知∠AOB是直角，∠BOC＝60°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．（1）求∠EOF的度數(shù)；（2）若將條件“∠AOB是直角，∠BOC＝60°”改為：∠AOB＝x°，∠EOF＝y(tǒng)°，其它條件不變．①則請(qǐng)用x的代數(shù)式來表示y；②如果∠AOB+∠EOF＝156°．則∠EOF是多少度？【解答】解：（1）∵∠AOB是直角，∠BOC＝60°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．∴∠EOF＝∠EOC﹣∠FOC=12∠AOC?12∠BOC=12（∠AOB+∠BOC）?12（2）①∵∠AOB＝x°，∠EOF＝y(tǒng)°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．∴∠EOF＝∠EOC﹣∠FOC=12∠AOC?12∠BOC=12（∠AOB+∠BOC）?即y=12②∵∠AOB+∠EOF＝156°．則x+y＝156°，又∵y=12聯(lián)立解得y＝52°．即∠EOF是52度．14．?dāng)?shù)形結(jié)合思想是通過數(shù)和形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系和相互轉(zhuǎn)化來解決問題的數(shù)學(xué)思想方法．我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休．”【問題背景】往返于甲、乙兩地的客車，中途停靠2個(gè)車站（來回票價(jià)一樣），可以從任意站點(diǎn)買票出發(fā)且任意兩站間的票價(jià)都不同，共有種不同的票價(jià)，需準(zhǔn)備種車票．聰明的小周是這樣思考這個(gè)問題的，她用A，B，C，D，4個(gè)點(diǎn)表示車站，每兩站之間的票價(jià)用相應(yīng)兩點(diǎn)間的線段表示，共連出多少條線段，就有多少種不同的票價(jià)．【遷移應(yīng)用】A，B，C，D，E，F(xiàn)六支足球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽，當(dāng)比賽到某一天時(shí)，統(tǒng)計(jì)出A，B，C，D，E五支隊(duì)已經(jīng)分別比賽了5，4，3，2，1場(chǎng)球，則還沒有與B隊(duì)比賽的球隊(duì)是隊(duì)．【拓展創(chuàng)新】某攝制組從A市到B市有一天的路程，計(jì)劃上午比下午多走100千米到C市吃午飯，但由于堵車，中午才趕到一個(gè)小鎮(zhèn)，只行駛了上午原計(jì)劃的三分之一，過了小鎮(zhèn)，汽車行駛了400千米，傍晚才停下來休息，司機(jī)說，再走從C市到這里的路程的二分之一就到達(dá)目的地了，求A，B兩市相距多少千米？【解答】解：【問題背景】如圖：從任意站點(diǎn)買票出發(fā)且任意兩站間的票價(jià)都不同，共有3+2+1＝6種不同的票價(jià)，需準(zhǔn)備6×2＝12種車票．故答案為：6，12；【遷移應(yīng)用】A比了5場(chǎng)，所以A與E比過，又E只比了1場(chǎng)，而B比了4場(chǎng)，所以B與E沒比過．故答案為：E；【拓展創(chuàng)新】如圖：設(shè)A，B兩市相距x千米，∵AC﹣BC＝100，AC+BC＝x，∴AC=x2+∴列以下方程：23解得x＝600．答：A，B兩市相距600千米．15．（1）現(xiàn)有一個(gè)19°的“模板”（如圖），請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種辦法，只用這個(gè)“模板”和鉛筆在紙上畫出1°的角來．（2）現(xiàn)有一個(gè)17°的“模板”與鉛筆，你能否在紙上面畫出一個(gè)1°的角來？（3）用一個(gè)21°的“模板”與鉛筆，你能否在紙上畫出一個(gè)1°的角來？對(duì)（2）、（3）兩問，如果能，請(qǐng)你簡(jiǎn)述畫法步驟，如果不能，請(qǐng)你說明理由．【解答】解：（1）在平面上取一點(diǎn)O，過O點(diǎn)畫一條直線AOB，以19°模板頂點(diǎn)與O重合，一邊與OB射線重合，另一邊落在射線OB1，仍以O(shè)為頂點(diǎn)，角一邊重合于OB1，另一邊落在射線OB2，這樣作出19個(gè)19°的角，其總和為361°，∠BOB19就是1°角；（2）利用17°角的模板，要畫出1°的角，關(guān)鍵在于找到整數(shù)m和n，使得17×m﹣180×n＝1．事實(shí)上17×53﹣180×5＝901﹣900＝1．所以作法如下：在平面上任取一點(diǎn)O，過O點(diǎn)畫直線AOB，以O(shè)B為始邊．O為頂點(diǎn)，逆時(shí)針方向依次畫53個(gè)17°的角，設(shè)最后的終邊為OB53，而5×180°的終邊在OA射線，這時(shí)∠AOB53即為1°的角；（3）若用21°的模板可以畫出1°的角，則存在整數(shù)m，n，使得21×m﹣180×n＝1，此時(shí)我們發(fā)現(xiàn)，這樣的m，n不存在，因此，用21°角的模板和鉛筆不能畫出1°角來．16．∠AOB＝90°，∠COD＝60°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．（1）如圖1，當(dāng)A，O，D三點(diǎn)共線時(shí)，則∠EOF＝（2）將∠COD繞點(diǎn)O順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至如圖2所示位置，∠COD的兩邊OC，OD都在∠AOB的內(nèi)部，求∠EOF的度數(shù)；（3）當(dāng)∠COD旋轉(zhuǎn)至如圖3所示位置，作∠EOF的角平分線ON，求∠EON的度數(shù)．【解答】解：（1）∵∠COD＝60°，∠AOB＝90°，∴∠AOC＝120°，∠BOD＝90°，∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，∴∠AOE＝60°，∠FOD＝45°，∴∠EOF＝180°﹣60°﹣45°＝75°；（2）∵OE平分∠AOC，∴設(shè)∠AOE＝∠COE＝x，∴∠BOD＝∠AOB﹣∠