第八章成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析8.2一元線性回歸模型及其應(yīng)用8.2.1一元線性回歸模型練習(xí)1.說明函數(shù)模型與回歸模型的區(qū)別，并分別舉出兩個應(yīng)用函數(shù)模型和回歸模型的例子.2.在一元線性回歸模型（1）中，參數(shù)b的含義是什么？3.將圖8.2-1中的點按父親身高的大小次序用折線連起來，所得到的圖象是一個折線圖，可以用這條折線表示兒子身高和父親身高之間的關(guān)系嗎？8.2.2一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計練習(xí)1.對一元線性回歸模型參數(shù)a和b的估計中，有人認(rèn)為：“估計方法不止一種，根據(jù)不同的樣本觀測數(shù)據(jù)到直線‘整體接近程度’的定義，可以得到參數(shù)a和b不同的估計，只要‘整體接近程度’定義合理即可.”你覺得這個說法對嗎？2.假如女兒身高y（單位：cm）關(guān)于父親身高x（單位：cm）的經(jīng)驗回歸方程為.已知父親身高為175cm，請估計女兒的身高.3.根據(jù)8.1.1節(jié)表8.1-1中的數(shù)據(jù)，建立人體的脂肪含量關(guān)于年齡的經(jīng)驗回歸方程，畫出殘差圖，描述殘差圖的特點.4.計算表8.2-2中的所有殘差之和，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？5.假設(shè)變量x與變量Y的n對觀測數(shù)據(jù)為，，…，，兩個變量滿足一元線性回歸模型.請寫出參數(shù)b的最小二乘估計.例經(jīng)驗表明，一般樹的胸徑（樹的主干在地面以上1.3m處的直徑）越大，樹就越高.由于測量樹高比測量胸徑困難，因此研究人員希望由胸徑預(yù)測樹高.在研究樹高與胸徑之間的關(guān)系時，某林場收集了某種樹的一些數(shù)據(jù)（表8.2-3），試根據(jù)這些數(shù)據(jù)建立樹高關(guān)于胸徑的經(jīng)驗回歸方程.表8.2-3編號123456胸徑/18.120.122.224.426.028.3樹高/m18.819.221.02L022.122.1編號789101112胸徑/29.632.433.735.738.340.2樹高/m22.422.623.024.3；23.924.7分析：因為要由胸徑預(yù)測樹高，所以要以成對樣本數(shù)據(jù)的胸徑為橫坐標(biāo)、樹高為縱坐標(biāo)描出散點，進(jìn)而得到散點圖，再根據(jù)散點圖判斷樹高與胸徑是否線性相關(guān).如果是，再利用公式（2）計算出，即可.解：以胸徑為橫坐標(biāo)、樹高為縱坐標(biāo)作散點圖，得到圖8.2-9.圖82-9在圖8.2-9中，散點大致分布在一條從左下角到右上角的直線附近，表明兩個變量線性相關(guān)，并且是正相關(guān)，因此可以用一元線性回歸模型刻畫樹高與胸徑之間的關(guān)系.用d表示胸徑，h表示樹高，根據(jù)最小二乘法，計算可得經(jīng)驗回歸方程為，相應(yīng)的經(jīng)驗回歸直線如圖8.2-10所示.圖8.2-10根據(jù)經(jīng)驗回歸方程，由表8.2-3中胸徑的數(shù)據(jù)可以計算出樹高的預(yù)測值（精確到0.1）以及相應(yīng)的殘差，如表8.2-4所示.表8.2-4編號胸徑/cm樹高觀測值/m樹高預(yù)測值/m殘差/m118.118.819.4-0.6220.119.219.9-0.7322.221.020.40.6424.421.020.90.1526.022.121.30.8628.322.121.90.2729.622.422.20.2832.422.622.9-0.3933.723.023.2-0.21035.724.323.70.61138.323.9244-0.51240.224.724.90.2以胸徑橫坐標(biāo)，殘差為縱坐標(biāo)，作殘差圖，得到圖8.2-11.圖8.2-11觀察殘差表和殘差圖，可以看到，殘差的絕對值最大是0.8，所有殘差分布在以橫軸為對稱軸、寬度小于2的帶狀區(qū)域內(nèi).可見經(jīng)驗回歸方程較好地刻畫了樹高與胸徑的關(guān)系，我們可以根據(jù)經(jīng)驗回歸方程由胸徑預(yù)測樹高.練習(xí)1.在回歸分析中，分析殘差能夠幫助我們解決哪些問題？2.1997~2006年中國的國內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）的數(shù)據(jù)如下：年份GDP/億元年份GDP/億元199779715.02002121717.4199885195.52003137422.0199990564.42004161840.22000100280.12005187318.92001110863.12006219438.5（1）作GDP和年份的散點圖，根據(jù)該圖猜想它們之間的關(guān)系可以用什么模型描述；（2）建立年份為解釋變量，GDP為響應(yīng)變量的一元線性回歸模型，并計算殘差；（3）根據(jù)你得到的一元線性回歸模型，預(yù)測2017年的GDP，看看你的預(yù)測值與實際的GDP的誤差是多少；（4）你認(rèn)為這個模型能較好地刻畫GDP和年份的關(guān)系嗎？請說明理由（5）隨著時間的發(fā)展，又收集到2007~2016年的GDP數(shù)據(jù)如下：年份GDP/億元年份GDP/億元2007270232.32012540367.42008319515.52013595244.42009349081.42014643974.02010413030.32015689052.12011489300.62016744127.2建立年份（1997~2016）為解釋變量，GDP為響應(yīng)變量的經(jīng)驗回歸方程，并預(yù)測2017年的GDP，與實際的GDP誤差是多少？你能發(fā)現(xiàn)什么？習(xí)題8.2復(fù)習(xí)鞏固1.如果散點圖中所有的散點都落在一條斜率為非0的直線上，請回答下列問題：（1）解釋變量和響應(yīng)變量的關(guān)系是什么？（2）是多少？【答案】（1）線性函數(shù)關(guān)系（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得到解釋變量和響應(yīng)變量的關(guān)系是線性函數(shù)關(guān)系；（2）由（1）知：【小問1詳解】因為散點圖中所有的散點都落在一條斜率為非0的直線上，所以解釋變量和響應(yīng)變量的關(guān)系是線性函數(shù)關(guān)系.【小問2詳解】由（1）知：2.一個車間為了規(guī)定工時定額，需要確定加工零件所花費的時間，為此進(jìn)行了10次試驗，收集數(shù)據(jù)如下表所示.零件數(shù)x個102030405060708090100加工時間ymin626875818995102108115122（1）畫出散點圖；（2）建立加工時間關(guān)于零件數(shù)的一元線性回歸模型（精確到0.001）；（3）關(guān)于加工零件的個數(shù)與加工時間，你能得出什么結(jié)論？【答案】（1）散點圖見解析（2）（3）每多加工個零件，需要增加分鐘加工時間.【解析】【分析】（1）根據(jù)表格提供數(shù)據(jù)畫出散點圖.（2）根據(jù)回歸直線方程計算公式，計算出回歸直線方程.（3）根據(jù)回歸直線方程作出判斷.【小問1詳解】畫出散點圖如下圖所示：【小問2詳解】，，，所以.【小問3詳解】根據(jù)回歸直線方程可知：每多加工個零件，需要增加分鐘加工時間.綜合運用3.人口問題是關(guān)乎國計民生的大問題.下表是1949~2016年中國的人口總數(shù)（摘自《中國統(tǒng)計年鑒2017》）.年份總?cè)丝?萬人年份總?cè)丝谌f人年份總?cè)丝谌f人19495416719821016542000126743195055196198310300820011276271951563001984104357200212845319556146519851058512003129227196066207198610750720012998819657253819871093002005130756197082992198811102620061314481971852291989112704200713212919728717719901143332008132802197389211199111582320091334501974908591992117171201013409119759242019931185172011134735197693717199411985020121354041977949741995121121201313607219789625919961223892014136782197997542199712362620151374621980987051998124761201613827119811000721999125786（1）畫出散點圖；（2）建立總?cè)丝跀?shù)關(guān)于年份的一元線性回歸模型；（3）直接用上面建立的回歸模型預(yù)測2020年的中國人口總數(shù)，得到的結(jié)果合理嗎？為什么？【答案】（1）散點圖見解析（2），（單位：萬人）.（3）答案見解析.【解析】【分析】（1）描點可作出散點圖；（2）根據(jù)線性回歸方程的計算公式計算可得答案；（3）將代入（2）中的線性回歸方程，計算可得答案.【小問1詳解】解：散點圖如下圖所示：.【小問2詳解】解：由表中數(shù)據(jù)和相關(guān)系數(shù)來計算其擬合程度，首先，，再代入數(shù)據(jù)得，以及，因此，是有很強的正相關(guān)關(guān)系的，因此設(shè)回歸直線為，由，，計算得，因此該回歸模型為，（單位：萬人）.【小問3詳解】解：當(dāng)時，（單位：萬人），結(jié)果計算出來屆時我國人口總數(shù)為15億，的確保證了是增長型，但是由于這只是預(yù)測，并沒有考慮到2020年出現(xiàn)的疫情和相應(yīng)的政策等，因此難免會有所誤差.4.在某地區(qū)的一段時間內(nèi)觀測到的不小于某震級x的地震數(shù)N的數(shù)據(jù)如下表：震級x3.03.23.43.63.84.04.24.44.64.85.0地震數(shù)N28381203801479510695764155023842269819191356973震級x5.25.45.65.86.06.26.46.66.87.0地震數(shù)N74660443527420614898574125試建立經(jīng)驗回歸方程表示二者之間的關(guān)系，該模型對預(yù)測地震有幫助嗎？（、精確到整數(shù)，相關(guān)系數(shù)精確到0.001）【答案】，該模型對預(yù)測地震有幫助.【解析】【分析】根據(jù)回歸直線方程計算公式，計算出回歸直線方程，并作出判斷.【詳解】，，，所以.該模型對預(yù)測地震是有幫助：①回歸直線方程顯示，當(dāng)增大時，減小，與表格提供的實際數(shù)據(jù)的變化趨勢