第2章一元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用2008年11月28日1南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系第1節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念第2節(jié) 求導(dǎo)基本法則第3節(jié) 微分第4節(jié) 微分中值定理及其應(yīng)用第5節(jié)

Taylor定理及其應(yīng)用第6節(jié) 函數(shù)性態(tài)的研究函數(shù)性態(tài)研究2008年11月28日2南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系研究函數(shù)的性態(tài):增減

,

極值

,

凹凸

,

拐點(diǎn)

,解決最值問題目標(biāo)函數(shù)的建立與簡(jiǎn)化最值的判別問題3.

其他應(yīng)用:證明不等式;求不定式極限;研究方程實(shí)根等.第6節(jié)函數(shù)性態(tài)的研究6.1函數(shù)的單調(diào)性6.2函數(shù)的極值6.3函數(shù)的最值6.4函數(shù)的凸性2008年11月28日3南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系6.4

函數(shù)的凸性1、凸凹函數(shù)的定義2、凸凹函數(shù)的的判定3、曲線的拐點(diǎn)及其求法4、漸近線5、圖形描繪6、凸凹函數(shù)的其它定義形式7、函數(shù)的凸性定義推廣2008年11月28日4南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系問題:如何研究曲線的彎曲方向?xyoABC拐點(diǎn)xyox12xyox1x2

x圖形上任意弧段位于所張弦的上方x

=

lx1

+

(1

-

l)

x2(0

<

l

<

1)(

x,

f

(

x))x圖形上任意弧段位于所張弦的下方(

x,

l

f

(

x1

)

+

(1

-

l)

f

(

x2

))y

=

f

(

x)x(

x,

f

(

x))y

=

f

(

x)x

=

lx1

+

(1

-

l)

x2(0

<

l

<

1)(

x,

l

f

(

x1

)

+

(1

-

l)

f

(

x2

))1、凸凹函數(shù)的定義(凸函數(shù)與凹函數(shù))曲線y

=f

(x),x

?

I上,任意兩點(diǎn)的弦位于曲線上方.定義6.1設(shè)f

:

I

fiR，若"x1

,x2

?

I，"l

?

[0,1]有f

(l

x1

+

(1

-

l)

x2若"x1

?x2

?

I，"l

?

(0,1)有f

(l

x1

+

(1

-

l)

x2<

l

f

(

x1

)

+

(1

-

l)

f

(

x2

)>￡

l

f

(

x1

)

+

(1

-

l)

f

(

x2

)?則稱f

為I上的凸函數(shù)；凹下則稱f

為I上的嚴(yán)格凸函數(shù)；嚴(yán)格凹顯然：

f

是(嚴(yán)格)凸的

-

f

是(嚴(yán)格)凹的2008年11月28日6南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系2、凸凹函數(shù)的的判定定理6.5

(判定法則1)xyoy

=

f

(

x)abABf

(x)遞增xyoy

=

f

(

x)bBAaf

(x)遞減2008年11月28日7南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系設(shè)函數(shù)f

在區(qū)間I上一階可導(dǎo),若f

'在I上嚴(yán)格單調(diào)增(單調(diào)增)

f

是I上的嚴(yán)格凸(凸)函數(shù).嚴(yán)格凹(凹)函數(shù).嚴(yán)格單調(diào)減(單調(diào)減)x0x

1x

2x定理6.5的證明

設(shè)f'在I上嚴(yán)格單調(diào)增，"

x1，x2

?

I

,(0

<l

<1),

則f

(

x2

)

=

f

(

x0

)

+

f

￠(h

)(

x2

-

x0

)設(shè)x1

<x2，x0

:=lx1

+(1

-l)x2f

(

x1

)

=

f

(

x0

)

+

f

￠(x)(

x1

-

x0

)>

f

(

x0

)

+

f

￠(

x0

)(

x1

-

x0

),①>

f

(

x0

)

+

f

￠(

x0

)(

x2

-

x0

).

②l①+(1-l)②l

f

(

x1

)

+

(1

-

l)

f

(

x2

)>

f

(

x0

)

+

f

￠(

x0

)[l(

x1

-

x0

)

+

(1

-

l)(

x2

-

x0

)]

=0=

f

(

x0

)

=

f

(lx1

+

(1

-

l)

x2

)2008年11月28日8南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系定理6.5

(判定法則1)設(shè)函數(shù)f

在區(qū)間I上一階可導(dǎo),若f

'在I上嚴(yán)格凹(凹)函數(shù).嚴(yán)格單調(diào)增(單調(diào)增)

f

是I上的嚴(yán)格凸(凸)函數(shù).嚴(yán)格單調(diào)減(單調(diào)減)2008年11月28日9南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系x3Oyx?x1

x2??引理

f

(x)為區(qū)間

I上的凸函數(shù)的充要條件是：對(duì)于I中的任意三點(diǎn)

x1

<

x2

<

x3

,有f

(

x2

)

-

f

(

x1

)

￡

f

(

x3

)

-

f

(

x2

)x2

-

x1

x3

-

x22008年11月28日10南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系如果f

(x)在區(qū)間I

具有二階導(dǎo)數(shù),2008年11月28日11南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系(?)(1)

f

￠(x)>0,

f

(x)在I上的圖形是嚴(yán)格凸的;（凸的）(2)

f

￠(x)<0,則f

(x)在I

上的圖形是嚴(yán)格凹的(￡)(凹的)推論6.1(判定法則2)例1解

y

=

3

x2

,判斷函數(shù)

y

=

x3

的凸性.y

=

6

x,<

0,當(dāng)x

<0時(shí)，y∴函數(shù)在(-∞,0]為凹的；>

0,當(dāng)x

>0時(shí)，y\曲線在[0,+￥

)為凸的；點(diǎn)(0,0)是曲線由凸變凹的分界點(diǎn).注意到,2008年11月28日12南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系3、曲線的拐點(diǎn)及其求法定義連續(xù)曲線上凹凸的分界點(diǎn)稱為曲線的拐點(diǎn).注意:拐點(diǎn)處的切線必在拐點(diǎn)處穿過曲線.拐點(diǎn)的求法定理

2

如果

f

(

x)在(

x0

-

d

,

x0

+

d

)內(nèi)存在二階導(dǎo)數(shù)

,

則

點(diǎn)

(x0

,

f

(

x0

))是

拐

點(diǎn)

的

必

要

條

件

是f

"(

x

)

=

0.0證

f

(

x)

二階可導(dǎo),

\

f

￠(

x)

存在且連續(xù),2008年11月28日13南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系又

(x0

,f

(x0

))是拐點(diǎn),則

f

(

x)

=

[

f

(

x)]

在x0兩邊變號(hào),\f

(x)在x0取得極值,由可導(dǎo)函數(shù)取得極值的條件,\

f

￠(

x0

)

=

0.2008年11月28日14南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系方法1設(shè)函數(shù)f

(x)在x0的鄰域內(nèi)二階可導(dǎo),且f

￠(x0

)=0,x0兩近旁f

(

x)變號(hào),點(diǎn)(

x0

,

f

(

x0

))即為拐點(diǎn);x0兩近旁f

(

x)不變號(hào),點(diǎn)(

x0

,

f

(

x0

))不是拐點(diǎn).時(shí),上式左端正負(fù)號(hào)由右端第一項(xiàng)確定,當(dāng) 充分接近故結(jié)論正確

.0

02008年11月28日15南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系方法2

設(shè)n

?

3,f

(

n)

(

x

)$,

f

(

n)

(

x

)

?

0,(

n-1)f

''(x0

)=...=f

(x0

)=0,則（1）

n-奇數(shù)，(x0

,f

(x0

))是拐點(diǎn);（2）n-偶數(shù)，(x0

,f

(x0

))不是拐點(diǎn).證:

利用

在 點(diǎn)的泰勒公式

,

可得例2

求曲線y=3

x4

-4

x

3

+1的拐點(diǎn)及凹、凸的區(qū)間.解

D

:

(-￥

,+￥

)y

=

12

x3

-

12

x2

,3y￠=

36

x(

x

-

2).2令y

=

0,

得

x1

=

0,

x2

=

3

.x(-￥

,0)(

23

,+￥

)(0,

23)023f

(

x)f

(

x)+-+00凸的凹的凸的拐點(diǎn)(0,1)拐點(diǎn)(

2

3

,1127)2008年11月28日16南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系[0,

23],[23

,+￥

).凹凸區(qū)間為(-￥

,0],2008年11月28日17南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系求曲線

y

=

sin

x

+

cos

x

[0,

2p

]內(nèi)

的拐點(diǎn).=

-sin

x

-

cos

x

,例3解

y

=

cos

x

-

sin

x

, yy

=

-cos

x

+

sin

x

.令y4421x

=

7p.=

0,

得

x

=

3p,4f

￠(3p)

=2

?

0,42008年11月28日18南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系f

￠(7p)

=

-

2?

0,\在[0,2p]內(nèi)曲線有拐點(diǎn)為44(7p,0).(3p,0),2008年11月28日19南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系注意:

若

f

(

x0)

不存在,點(diǎn)(

x0

,

f

(

x0))

也可能是連續(xù)曲線

y

=

f

(

x)

的拐點(diǎn).f

(

x)

=

(

x

-

1)

3

xf

￠(

x)

=

2(2

x

+

1)

,93

x

5令f

"(x)=0,

得x

=-1

,2當(dāng)x=0時(shí)，f

￠(x)不存在.2

42008年11月28日20南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系\(-1

,3

3

4)

和（0，0）為曲線的拐點(diǎn).0

02008年11月28日21南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系那么x

=x0

就是y

=f

(x)的一條鉛直漸近線.定義:當(dāng)曲線y

=f

(x)上的一動(dòng)點(diǎn)P沿著曲線移向無窮點(diǎn)時(shí),如果點(diǎn)P到某定直線L

的距離趨向于零,那么直線L

就稱為曲線y

=f

(x)的一條漸近線.1.鉛直漸近線(垂直于x

軸的漸近線)如果

lim

f

(

x)

=

￥

或

lim

f

(

x)

=

￥xfi

x+

xfi

x-4、漸近線例如,1(

x

+

2)(

x

-

3)y

=x

=

3.有鉛直漸近線兩條:x

=-2,2008年11月28日22南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系2.水平漸近線(平行于x

軸的漸近線)如果

lim

f

(

x)

=

b

或

lim

f

(

x)

=

b

(b

為常數(shù))xfi

+￥

xfi

-￥那么y

=b

就是y

=f

(x)的一條水平漸近線.例如

y

=

arctan

x,有水平漸近線兩條:22y

=

-

p.y

=

p,2008年11月28日23南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系3.斜漸近線(a,b

為常數(shù))xfi

-￥如果

lim

[

f

(

x)

-

(ax

+

b)]

=

0xfi

+￥或lim[f

(x)-(ax

+b)]=0那么y

=ax

+b

就是y

=f

(x)的一條斜漸近線.斜漸近線求法:x2008年11月28日24南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系lim

f

(

x)

=

a,xfi

￥lim[

f

(

x)

-

ax]

=

b.xfi

￥那么y

=ax

+b

就是曲線y

=f

(x)的一條斜漸近線.注意

如果x(1)lim

f

(x)不存在;xfi

￥x(2)lim

f

(x)=a

存在,但lim[f

(x)-ax]不存在,xfi

￥xfi

￥可以斷定y

=f

(x)不存在斜漸近線.例1求

f

(

x)

=

2(

x

-

2)(

x

+

3)

的漸近線.2008年11月28日25南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系解x

-

1D

:

(-￥

,1)

(1,+￥

).xfi

1+

xfi

1-

lim

f

(

x)

=

-

￥

,

lim

f

(

x)

=

+

￥

,xfi

￥x

x(

x

-

1)xfi

￥\x

=1

是曲線的鉛直漸近線.又

lim

f

(

x)

=

lim

2(

x

-

2)(

x

+

3)

=

2,x(

x

-

1)lim[2(

x

-

2)(

x

+

3)

-

2

x]xfi

￥x

-

12008年11月28日26南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系xfi

￥=

lim

2(

x

-

2)(

x

+

3)

-

2

x(

x

-

1)

=

4,\y

=2

x

+4

是曲線的一條斜漸近線.x

-

12008年11月28日27南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系f

(x)=2(x

-2)(x

+3)

的兩條漸近線如圖5、圖形描繪并求出及列表判別增減及凹凸區(qū)間,求出極值和拐點(diǎn);求漸近線;確定某些特殊點(diǎn),描繪函數(shù)圖形.2008年11月28日28南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系為0

和不存在的定義域,并考察其對(duì)稱性及周圖形描繪的步驟確定函數(shù) 期性;求的點(diǎn);例2

描繪方程的圖形.(x

-

3)2解

1)

y

=

4(x

-1)

,

定義域?yàn)?)

求關(guān)鍵點(diǎn)

2(x

-

3)

+

4

y

-

4

y

-

4xy

=

0\y￠=

x

-

3

-

2

y2(x

-1)2

+

4

y

-

8

y

-

4xy

=

0\2(x

-1)y￠=

1

-

4

y令

y

=

0

得

x

=

-1,

3

;,2008年11月28日29南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系4(x

-1)(x

-

3)2y

=13(-￥

,-1)

-1(-1,1)(1,3)(3,

+

￥

)xyyy+----+++-

20,(x

-

3)24(x

-1)y

=y￠=

(x

-

3)(x

+1)4(x

-1)2,

y￠=

2(x

-1)32008年11月28日30南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系3)

判別曲線形態(tài)00(極大)(極小)無定義4)

求漸近線 lim

y

=￥

,\x=1

為鉛直漸近線xfi

1又因xfi

￥

x

44lim

y

=1

,

即a

=114b

=

lim

(

y

-xfi

￥(x

-

3)2

1-

4

x]x)

=

lim

[xfi

￥

4(x

-1)=

lim

-

5x

+

9

=

-

5xfi

￥

4(x

-1)

45)

求特殊點(diǎn)xy04-

9421\y

=1

x

-5

為斜漸近線4

42y

=

(x

-

3)4(x

-1)y￠=

(x

-

3)(x

+1)4(x

-1)22(x

-1)32008年11月28日31南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系y￠=(極大)(極小)x

=11

54

4x

-鉛直漸近線斜漸近線

y

=特殊點(diǎn)-10

1

2

324(x

-1)y

=

(x

-

3)-

2無定義16）繪圖x

(-￥

,-1)

-1y(-1,1)(1,3)3

(3,

+

￥

)0xy04-

94212008年11月28日32南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系6、凸凹函數(shù)的其它定義形式2008年11月28日33南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系定義6.1設(shè)f

:

I

fi(凸函數(shù)與凹函數(shù))R，若"x1

,x2

?

I，"l

?

[0,1]有f

(l

x1

+

(1

-

l)

x2若"x1

?x2

?

I，"l

?

(0,1)有f

(l

x1

+

(1

-

l)

x2<

l

f

(

x1

)

+

(1

-

l)

f

(

x2

)>則稱f

為I上的嚴(yán)格凸函數(shù)；嚴(yán)格凹￡

l

f

(

x1

)

+

(1

-

l)

f

(

x2

)?則稱f

為I上的凸函數(shù)；凹定義1:2008年11月28日34南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系y

=

f

(

x),

x

?

I

,都有

f

(l1

x1

+

l2

x2

)

￡

l1

f

(

x1

)

+

l2

f

(

x2

),

稱

f在I上凸;如

f

(l1

x1

+

l2

x2

)

<

l1

f

(

x1

)

+

l2

f

(

x2

),

稱

f在I上嚴(yán)格凸.?>嚴(yán)格凹如對(duì)"x1

,x2

?

I

,x1

?x2

,"l1

,l2

>0,l1

+l2

=1.凹2

2f

(

x1

+

x2

)

￡

f

(

x1

)

+

f

(

x2

)

,定義2

設(shè)f

(x)在(a,b)內(nèi)連續(xù),如果對(duì)(a,b)內(nèi)任意兩點(diǎn)

x1

,

x2

,

恒有那末稱

f

(

x)在(a,

b)內(nèi)的圖形是凸的;如果對(duì)(a,

b)內(nèi)任意兩點(diǎn)

x1

,

x2

,

恒有f

(

x1

+

x2

)

?

f

(

x1

)

+

f

(

x2

)

,2

2那末稱

f

(

x)在(a,

b)內(nèi)的圖形是凹的;2008年11月28日35南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系xyo

aby

=

f

(

x)xyoy

=

f

(

x)ab曲線位于每一點(diǎn)切線的上方2008年11月28日36南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系曲線位于每一點(diǎn)切線的下方定義3

設(shè)f

(

x)

?

C[a,b],

在(a,b)內(nèi)f

'(

x)$.若"

x1

,

x2

?

(a,b)

(

x1

?

x2

)有f

(

x2

)

>

f

(

x1

)

+

f

'(

x1

)(

x2

-

x1

)

(1)(2)或

f

(

x1

)

>

f

(

x2

)

+

f

'(

x2

)(

x1

-

x2

)則稱函數(shù)f

(x)在[a,b]上是嚴(yán)格凸的；定理

設(shè)

f

為區(qū)間

I

上的可導(dǎo)函數(shù),

則下述論斷互相等價(jià)：f

(x)為I

上的凸函數(shù);f

￠(x)為I

上的增函數(shù);對(duì)于

I

上的任意兩點(diǎn)

x1

,

x2

,

有f

(

x2

)

?

f

(

x1

)

+

f

￠(

x1

)(

x2

-

x1

).2008年11月28日37南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系7.推廣性的定義f

:I

fi

R是I上的凸函數(shù)ni

=1"xi

?

I

,li

?

[0,1](i

=1,,n),

li

=1,有n

ni

=1

i

=1

f

li

xi

￡

li

f

(

xi

).nini

=1f

1

2

n

￡

f

(

x

).

x

+

x

+

+

x

1nJensen不等式2008年11月28日38南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系39如果f

(x)在區(qū)間I

具有二階導(dǎo)數(shù),f

￠(

x)

>

0,ni

=1"xi

?

I

,li

?

[0,1](i

=1,,n),

li

=1,有n

n

i

=1

i

=1f

li

xi

￡

li

f

(

xi

).n證明：x0

:=

li

xii

=12f

(

x)

=

f

(

x0

)

+

f

￠(

x0

)(

x

-

x0

)

+

f

￠(x)(

x

-

x0

)?

f

(

x0

)

+

f

￠(

x0

)(

x

-

x0

)f

(

xi

)

?

f

(

x0

)

+

f

￠(

x0

)(

xi

-

x0

)

(i

=

1,

2,,

n)n

n

n

n

li

f

(

xi

)

?

li

f

(

x0

)

+

f

￠(