(完整版)大一下學(xué)期高等數(shù)學(xué)期末考試試題及答案

高等數(shù)學(xué)A(下冊)期末考試試題【A卷】一、填空題：（本題共5小題，每小題4分，滿分20分，把答案直接填在題中橫線上）1、已知向量a、b滿足a+b=0，a=2，b=2，則a·b=______。2、設(shè)z=xln(xy)，則?3z/?x?y?x=______。3、曲面x+y+z=9在點(1,2,4)處的切平面方程為______。4、設(shè)f(x)是周期為2π的周期函數(shù)，它在[?π,π)上的表達式為f(x)=x，則f(x)的傅里葉級數(shù)在x=3處收斂于______，在x=π處收斂于______。5、設(shè)L為連接(1,0)與(0,1)兩點的直線段，則∫L(x+y)ds=______。二、解下列各題：（本題共5小題，每小題7分，滿分35分）1、求曲線{2x+3y+z=9,z=3x+y}在點M(1,?1,2)處的切線及法平面方程。2、求由曲面z=2x+2y及z=6?x?y所圍成的立體體積。3、判定級數(shù)∑(?1)^nln(n+1)/n是否收斂？如果是收斂的，是絕對收斂還是條件收斂？4、設(shè)z=f(xy,x)+siny，其中f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求?^2z/?x?y。5、計算曲面積分?S(x^2+y^2+z^2)dS，其中S是球面x^2+y^2+z^2=a^2被平面z=h(0<h<a)截出的頂部。三、（本題滿分9分）拋物面z=x+y被平面x+y+z=1截成一橢圓，求這橢圓上的點到原點的距離的最大值與最小值。四、（本題滿分10分）計算曲線積分∫L(exsiny-m)dx+(excosy-mx)dy，其中m為常數(shù)，L為由點A(a,0)至原點O(0,0)的上半圓周x+y=ax(a>0)。五、（本題滿分10分）求冪級數(shù)∑xn/n的收斂域及和函數(shù)。六、（本題滿分10分）計算曲面積分I=3∫∫S2xdydz+2ydzdx+3(z?1)dxdy，其中S為曲面z=1?x?y(z≥0)的上側(cè)。七、（本題滿分6分）設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，f(0)=a，F(xiàn)(t)=?Ω[z+f(x^2+y^2+z^2)]dv，其中Ωt是由曲面z=x^2+y^2和平面z=t(t≥0)所圍成的立體，則F'(0)=______。222與z=t-x-y所圍成的閉區(qū)域，求limF(t)/(t^3)。解：考慮用格林公式，設(shè)D為222與z=t-x-y所圍成的閉曲面，利用散度公式可得：?SF·dS=?DdivFdV其中，divF=1，代入上式得：?SF·dS=?DdV由于D是一個三棱錐，底面面積為4，高為1，因此體積為4/3。所以：limF(t)/(t^3)=4/3已知曲面D由平面222和z=t-x-y所圍成的閉區(qū)域，求limF(t)/(t^3)。解：根據(jù)格林公式，設(shè)D為曲面D的閉合曲面，利用散度公式可得：?SF·dS=?DdivFdV其中，divF=1，代入上式得：?SF·dS=?DdV由于D是一個三棱錐，底面面積為4，高為1，因此體積為4/3。所以：limF(t)/(t^3)=4/3刪除了明顯有問題的段落，同時對原文進行了簡化和改寫，使其更加簡明易懂。221+z(x+z)+y(z)=a，其中在xOy平面上的投影區(qū)域為D，即xy={(x,y)|x^2+y^2≤a^2-h^2}。解：將z看作參數(shù)，化簡方程得到一個橢圓方程，投影區(qū)域D是一個圓形。根據(jù)極坐標系，利用二重積分計算該圓形面積，最終得到結(jié)果為2πa^2-h^2。設(shè)M(x,y,z)為該橢圓上的任一點，則點M到原點的距離為d。通過拉格朗日乘數(shù)法，求出可能的極值點，進而得到距離的最大值和最小值。記L與直線段OA所圍成的閉區(qū)域為D，利用格林公式計算二重積分，得到I2的值。通過簡單的計算，得到I1的值。最終利用I2-I1得到結(jié)果為ma-πma^2/8。該冪級數(shù)的收斂半徑為3，收斂區(qū)間為[-3,3]。利用冪級數(shù)函數(shù)的定義，得到函數(shù)s(x)的表達式為∑(n≥1)x^n-1/(n^3)?！?】對于|x|<3，有$s'(x)=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{331-x}{3^{n}(3-x)^{n}}$。因此，$s(x)=\int_{-3}^{x}s'(x)dx=\int_{-3}^{x}\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{331-x}{3^{n}(3-x)^{n}}dx=-\ln(3-x)+\ln3$，其中$-3\leqx<3$?！?0】取$\Sigma_{1}$為$z=0(x+y\leq1)$的下側(cè)，記$\Sigma$與$\Sigma_{1}$所圍成的空間閉區(qū)域為$\Omega$，則由高斯公式，有$I_{2}=\iint_{\Sigma}\vec{F}\cdotd\vec{S}+\iint_{\Sigma_{1}}\vec{F}\cdotd\vec{S}=\iiint_{\Omega}\operatorname{div}\vec{F}dV=\iiint_{\Omega}6(x^{2}+y^{2}+z^{2})dV$。而$I_{1}=2\pi\iiint_{\Omega_{1}}(1-\rho^{2}/(1+z^{2}))\rhod\rhodzd\theta=2\pi$，其中$\Omega_{1}$為$\rho^{2}+z^{2}\leq1$的內(nèi)部。因此，$I=I_{2}-I_{1}=2\pi-3\pi=-\pi$。【2】$F(t)=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}\int_{0}^{4}r^{2}\sin\phidrd\phid\theta=\pi\int_{0}^{2}(r^{4}|_{0}^{4})dr=\frac{128\pi}{5}$。因此，$\frac{dF}{dt}=\frac{256\pit^{3}}{5}$。由于$\lim\limits_