習(xí)題課——等比數(shù)列習(xí)題課1.了解分期付款的含義,理解復(fù)利的實(shí)質(zhì).2.掌握有關(guān)分期付款的還貸問題.3.掌握數(shù)列求和的常用方法——錯位相減法.題型一題型二題型三題型四等比數(shù)列的基本運(yùn)算【例1】

(1)已知Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,Sn=93,an=48,公比q=2,求項(xiàng)數(shù)n.(2)已知四個實(shí)數(shù),前三個數(shù)成等差數(shù)列,后三個數(shù)成等比數(shù)列,首末兩數(shù)之和為37,中間兩數(shù)之和為36,求這四個數(shù).分析:(1)可通過建立關(guān)于首項(xiàng)a1,項(xiàng)數(shù)n的方程求解.(2)根據(jù)條件可設(shè)出其中的兩個數(shù),再通過一些條件表示出另兩個數(shù),然后求解.題型一題型二題型三題型四又q=2,可解得n=5.(2)設(shè)前兩個數(shù)分別為a,b,則第三、四個數(shù)分別為36-b,37-a,由題意,題型一題型二題型三題型四反思等比數(shù)列基本量的運(yùn)算是等比數(shù)列中的一類基本問題,數(shù)列中有五個量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通過列方程(組)求解.解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握等比數(shù)列的有關(guān)公式并靈活運(yùn)用,在運(yùn)算過程中,還應(yīng)善于運(yùn)用整體代換思想,簡化運(yùn)算的過程.在使用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時,應(yīng)根據(jù)公比q的情況進(jìn)行分類討論,切不可忽視q的取值而盲目用求和公式.題型一題型二題型三題型四【變式訓(xùn)練1】

在等比數(shù)列{an}中,a1+an=66,a2an-1=128,且前n項(xiàng)和Sn=126,求n及公比q.解:∵a1an=a2an-1=128,且a1+an=66,∴a1,an是方程x2-66x+128=0的兩根,∴x1=2,x2=64.題型一題型二題型四題型三錯位相減法求和【例2】

求數(shù)列1,3a,5a2,7a3,…,(2n-1)an-1的前n項(xiàng)和.分析:數(shù)列中含字母參數(shù),應(yīng)注意分類討論,利用錯位相減法.解:當(dāng)a=0時,數(shù)列變?yōu)?,0,0,…,0,則Sn=1+0+…+0=1,當(dāng)a=1時,數(shù)列變?yōu)?,3,5,7,…,(2n-1),當(dāng)a≠1且a≠0時,Sn=1+3a+5a2+7a3+…+(2n-1)an-1,①aSn=a+3a2+5a3+7a4+…+(2n-1)an,②題型一題型二題型四題型三反思對含參類求和問題要養(yǎng)成分類討論的習(xí)慣.由①-②,得Sn-aSn=1+2a+2a2+2a3+…+2an-1-(2n-1)an,即有(1-a)Sn=1-(2n-1)an+2(a+a2+a3+…+an-1)題型一題型二題型四題型三【變式訓(xùn)練2】

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=kcn-k(其中c,k為常數(shù)),且a2=4,a6=8a3.(1)求an;(2)求數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和Tn.解:(1)當(dāng)n>1時,an=Sn-Sn-1=k(cn-cn-1),a6=k(c6-c5),a3=k(c3-c2),∵a2=4,即k(c2-c1)=4,解得k=2,∴an=2(2n-2n-1)=2×2n-2n=2n.當(dāng)n=1時,a1=S1=2,綜上所述,an=2n(n∈N+).題型一題型二題型四題型三(2)nan=n·2n,則Tn=2+2·22+3·23+…+n·2n,①2Tn=1·22+2·23+3·24+…+(n-1)2n+n·2n+1,②由①-②,得-Tn=2+22+23+…+2n-n·2n+1,Tn=2+(n-1)2n+1.題型一題型二題型三題型四轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列問題【例3】

設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=,n∈N+,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.分析:解答本題可充分利用Sn與an的關(guān)系式,將問題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列問題來求解.整理得an+2n=4(an-1+2n-1),所以數(shù)列{an+2n}是首項(xiàng)為a1+2=4,公比為4的等比數(shù)列.所以an+2n=4×4n-1,所以an=4n-2n.題型一題型二題型三題型四反思1.將一個數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為等比(差)數(shù)列來求解,這是求解有關(guān)數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的基本思想.2.已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1,且an+1=man+k(m,k為常數(shù)).(1)當(dāng)m≠1時,可得an+1-c=m(an-c),則有an+1-man=c(1-m),c=,轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解.(2)當(dāng)m=1時,an+1-an=k,利用等差數(shù)列求解.題型一題型二題型三題型四題型一題型二題型三題型四題型一題型二題型三題型四等差與等比數(shù)列的綜合問題【例4】

等差數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),a1=3,前n項(xiàng)和為Sn,{bn}為等比數(shù)列,b1=1,且b2S2=64,b3S3=960.(1)求an與bn;分析:(1)中根據(jù)已知條件列方程組求an,bn.(2)中應(yīng)先求出Sn再求和.題型一題型二題型三題型四解:(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,數(shù)列{bn}的公比為q,則d>0,an=3+(n-1)d,bn=qn-1.題型一題型二題型三題型四反思等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題,解答時應(yīng)注意在題設(shè)條件下,尋求它們之間的內(nèi)在聯(lián)系,尋求它們之間的相互轉(zhuǎn)化,尋求它們之間的相互利用.題型一題型二題型三題型四【變式訓(xùn)練4】

已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,且a3=-6,a6=0.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)若等比數(shù)列{bn}滿足b1=-8,b2=a1+a2+a3,求{bn}的前n項(xiàng)和公式.解:(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.因?yàn)閍3=-6,a6=0,解得a1=-10,d=2.所以an=-10+(n-1)×2=2n-12.(2)設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q.因?yàn)閎2=a1+a2+a3=-24,b1=-8,所以-8q=-24,q=3.123451等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.已知S3=a2+10a1,a5=9,則a1的值為(

)解析:設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,若q=1,則由a5=9,得a1=9,此時S3=27,而a2+10a1=99,不滿足題意,因此q≠1.答案:C123452已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列,Sn是它的前n項(xiàng)和,若a2a3=2a1,且a4與2a7的等差中項(xiàng)為,則S5=(

)A.35 B.33 C.31 D.29答案:C12345答案:C12345123455設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,已知a1≠0,2an-a1=S1·Sn,n∈N+.(1)求a1,a2,并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和.因?yàn)閍1≠0,所以a1=1.令n=2,得2a2-1=S2=1+a2.解得a2=2.當(dāng)n≥2時,由2an-1=Sn,2an-1-1=Sn-1兩式相減得2an-2an-1=an.即an=2an-1.于是數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列.因此,an=2n-1.所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n-1.12345(2)由(1)知,nan=n·2n-1