數(shù)學(xué)新課標(biāo)（SK）

九年級(jí)上冊(cè)第2章對(duì)稱圖形——圓2.5直線與圓的位置關(guān)系探究新知探究新知重難互動(dòng)探究重難互動(dòng)探究課堂小結(jié)課堂小結(jié)新知梳理新知梳理第3課時(shí)三角形的內(nèi)切圓2.5直線與圓的位置關(guān)系探究新知活動(dòng)1知識(shí)準(zhǔn)備1．經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的________．2．圓的切線__________過(guò)切點(diǎn)的半徑．切線垂直于2.5直線與圓的位置關(guān)系活動(dòng)2教材導(dǎo)學(xué)三角形內(nèi)切圓的作法已知△ABC，作⊙O，使它與△ABC的三條邊都相切．你的作圖步驟分成哪幾步？圖2－5－43第一步：_________________；第二步：_________________；第三步：_________________．略略略2.5直線與圓的位置關(guān)系[答案]如圖2－5－44所示，步驟略．圖2－5－44

2.5直線與圓的位置關(guān)系知識(shí)鏈接——[新知梳理]知識(shí)點(diǎn)一嘗試：如圖2－5－45，在一塊直角三角形廢料中，要在上面挖掉一個(gè)最大的圓，用尺規(guī)作圖畫出這個(gè)圓，并保留正確的作圖痕跡．圖2－5－452.5直線與圓的位置關(guān)系[答案]如圖2－5－46所示．圖2－5－46

2.5直線與圓的位置關(guān)系新知梳理知識(shí)點(diǎn)一三角形的內(nèi)切圓、三角形的內(nèi)心、圓的外切三角形定義：與三角形各邊都______的圓叫做三角形的______圓，______圓的______叫做三角形的內(nèi)心，這個(gè)三角形叫做圓的______三角形．相切內(nèi)切內(nèi)切圓心外切2.5直線與圓的位置關(guān)系[說(shuō)明](1)任意一個(gè)三角形有且僅有1個(gè)內(nèi)切圓．任意一個(gè)圓有無(wú)數(shù)個(gè)外切三角形．(2)“切”的含義是指圓與三角形的邊相切；三角形的內(nèi)切圓是以三角形為準(zhǔn)，圓在它的里面．圓的外切三角形是以圓為準(zhǔn)，三角形在它的外面．(3)三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)．(4)三角形內(nèi)心的性質(zhì)：①三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等；②三角形的內(nèi)心與任一頂點(diǎn)的連線平分三角形的內(nèi)角；③三角形的內(nèi)心一定在三角形的內(nèi)部．2.5直線與圓的位置關(guān)系知識(shí)點(diǎn)二三角形的內(nèi)切圓與外接圓的比較類別三角形的內(nèi)切圓三角形的外接圓圖形⊙O的名稱⊙O叫做△ABC的內(nèi)切圓⊙O叫做△ABC的外接圓△ABC的名稱△ABC叫做⊙O的外切三角形△ABC叫做⊙O的內(nèi)接三角形圓心O的名稱圓心O叫做△ABC的內(nèi)心圓心O叫做△ABC的外心圓心O的確定作兩個(gè)角的角平分線作兩條邊的中垂線內(nèi)心與外心的性質(zhì)內(nèi)心O到三邊的距離相等外心O到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等重難互動(dòng)探究2.5直線與圓的位置關(guān)系探究問(wèn)題一三角形內(nèi)切圓的作圖例1

某新建小區(qū)要在一塊等邊三角形的公共區(qū)域內(nèi)修建一個(gè)圓形花壇．(1)若要使花壇面積最大，請(qǐng)你在這塊公共區(qū)域(如圖2－5－47)內(nèi)確定圓形花壇的圓心P；(2)若這個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為18米，請(qǐng)計(jì)算出花壇的面積．圖2－5－472.5直線與圓的位置關(guān)系[解析]由題意可知三角形為等邊三角形，設(shè)計(jì)方案可根據(jù)內(nèi)切圓的性質(zhì)及正三角形的性質(zhì)，在三角形內(nèi)作內(nèi)切圓，此時(shí)圓形花壇的面積最大，然后由圓的性質(zhì)求出內(nèi)切圓的半徑，從而求出面積．2.5直線與圓的位置關(guān)系2.5直線與圓的位置關(guān)系[歸納總結(jié)]

解答實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的關(guān)鍵是將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為合適的數(shù)學(xué)模型，本題中要使花壇面積最大，則所作的圓與三角形三邊都相切，即作出三角形的內(nèi)切圓即可．圖2－5－482.5直線與圓的位置關(guān)系探究問(wèn)題二三角形內(nèi)切圓半徑的計(jì)算例2

如圖2－5－49，⊙I是Rt△ABC(∠C＝90°)的內(nèi)切圓，⊙I和三邊分別切于點(diǎn)D，E，F(xiàn).(1)求證：四邊形IDCE是正方形；(2)設(shè)BC＝A，AC＝B，AB＝C，求內(nèi)切圓I的半徑．圖2－5－492.5直線與圓的位置關(guān)系[解析](1)根據(jù)切線的性質(zhì)即可證明四邊形IDCE是一個(gè)矩形，再根據(jù)一組鄰邊相等的矩形是正方形即可證明；(2)根據(jù)面積相等可計(jì)算結(jié)果．解：(1)證明：∵BC，AC與⊙I分別相切于點(diǎn)D，E，∴∠IDC＝∠IEC＝∠C＝90°，∴四邊形IDCE為矩形．又∵IE＝ID，∴矩形IDCE是正方形．2.5直線與圓的位置關(guān)系[歸納總結(jié)]

本題通過(guò)面積法計(jì)算三角形內(nèi)切圓的半徑．2.5直線與圓的位置關(guān)系探究問(wèn)題三三角形內(nèi)心性質(zhì)的應(yīng)用例3[高頻考題]已知I為△ABC的內(nèi)心，連接AI交△ABC的外接圓于點(diǎn)D，如圖2－5－50所示，連接BD和CD.求證：BD＝CD＝ID.圖2－5－502.5直線與圓的位置關(guān)系[解析]連接BI，根據(jù)三角形的內(nèi)切圓的意義和圓周角定理得到BD＝DC，根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出∠IBD＝∠BID，根據(jù)等腰三角形的判定求出BD＝ID即可．證明：如圖2－5－51所示，連接BI.圖2－5－512.5直線與圓的位置關(guān)系∵I是△ABC的內(nèi)心，∴∠BAD＝∠DAC，∠ABI＝∠CBI，∴＝，∴BD＝CD.∵∠BID＝∠ABI＋∠BAD，∠IBD＝∠CBI＋∠DBC，∠CAD＝∠BAD＝∠DBC，∴∠DBI＝∠BID，∴BD＝ID，∴BD＝CD＝ID.2.5直線與圓的位置關(guān)系[歸納總結(jié)]

本題主要考查對(duì)等腰三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，三角形的外角性質(zhì)，圓周角定理，圓周角、弧、弦之間的關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是解決此題的關(guān)鍵．2.5直線與圓的位置關(guān)系[備選題]

如圖2－5－52，己知△ABC，AD平分∠BAC且與它的外接圓交于點(diǎn)D，在線段AD上有一點(diǎn)I滿足BD＝ID.試問(wèn)點(diǎn)I是否是△ABC的內(nèi)心？若是，請(qǐng)加以證明；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．圖2－5－522.5直線與圓的位置關(guān)系[解析]連接BI，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠BID＝∠IBD，推出∠ABI＝∠CBI，得出I是∠BAC和∠ABC的平分線的交點(diǎn)即可．證明：點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心．證明如下：連接BI，圖2－5－532.5直線與圓的位置關(guān)系∵∠BID＝∠ABI＋∠BAD，∠IBD＝∠CBI＋∠DBC，BD＝ID，∴∠BID＝∠IBD.∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝∠DBC，∴∠BID－∠BAD＝∠DBI－∠DBC，∴∠ABI＝∠CBI，即BI是∠ABC的平分線，∴I是∠BAC和∠ABC的平分線的交點(diǎn)，∴點(diǎn)I也在∠ACB的平分線上，即I是△ABC的內(nèi)心．課堂小結(jié)2.5直線與圓的位置關(guān)系三角形的內(nèi)切圓2.5直線與圓的位置關(guān)系圖2－5－542.5直線與圓的位置關(guān)系2.5直線與圓的位置關(guān)系(1)理解與應(yīng)用：利用公式計(jì)算邊長(zhǎng)分別為5，12，13的三角形內(nèi)切圓的半徑；(2)類比與推理：若四邊形ABCD存在內(nèi)切圓(與各邊都相切的圓，如圖2－5－54②)，且面積為S，各邊長(zhǎng)分別為A，B，C，D，試推導(dǎo)四邊形的內(nèi)切圓半徑公式；(3)拓展與延伸：若一個(gè)N邊形(N為不小于3的整數(shù))存在內(nèi)切圓，且面積為S，各邊長(zhǎng)分別為A1，A2，A3，…，AN，合理猜想其內(nèi)切圓半徑公式(不需要說(shuō)明理由)．2.5直線與圓的位置關(guān)系[解析](1)根據(jù)上述三角形的內(nèi)切圓的半徑公式，由已知條件，結(jié)合勾股定理的逆定理知該三角形是直角三