第五節(jié)隨機(jī)變量函數(shù)的分布第1頁(yè)，課件共12頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月一、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布

例1

測(cè)量一個(gè)正方形的邊長(zhǎng),其結(jié)果是一個(gè)隨機(jī)變量X,其分布如下表,求周長(zhǎng)Y和面積Z的分布列.X9101112p0.20.30.40.1解周長(zhǎng)Y和面積Z的分布我們?cè)谕粋€(gè)分布列中進(jìn)行,由于X9101112p0.20.30.40.1Y36404448p0.20.30.40.1Z

81100121144p0.20.30.40.1Y的分布如下:Z的分布如下:YZ第二章隨機(jī)變量及其分布4836404414481100121第2頁(yè)，課件共12頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例2若隨機(jī)變量X的分布如下表,求Y=X2的分布.X-10123p0.20.10.30.30.1X-10123p0.20.10.30.30.1Y0149pY因此Y=X2的分布列為解第二章隨機(jī)變量及其分布410190.10.10.50.3第3頁(yè)，課件共12頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月一般地,對(duì)Y=g(x),若X的分布列為下表所示Xx1x2

…

xk

…pp1

p2

…

pk

…Yy1

y2

…

yk

…p(1)若對(duì)X的所有可能取值xi,i=1,2,…,yi=g(xi)≠yj=g(xj)，則Y的分布列為(2)若對(duì)X的所有可能取值xi,i=1,2,…,第二章隨機(jī)變量及其分布…

p1p2…pkyk=g(xi)=g(xj)

,則Y的分布列中

第4頁(yè)，課件共12頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（1）分布函數(shù)法二、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布

設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為fX(x),為求函數(shù)Y=g(x)的密度函數(shù)fY(y)，先求其分布函數(shù)然后利用連續(xù)型隨機(jī)變量分布函數(shù)與密度函數(shù)的關(guān)系，在上式兩端對(duì)y求導(dǎo)數(shù)，即得密度函數(shù)fY(y).這種求連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的密度函數(shù)的方法，稱(chēng)為分布函數(shù)法，它是求連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的密度函數(shù)的基本方法.第二章隨機(jī)變量及其分布FY(y)=p{Y≤y}=p{g(X)≤y}第5頁(yè)，課件共12頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例3

設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為fX(x)，Y=4X-1，求Y的密度函數(shù)fY(y).解先求Y的分布函數(shù)FY(y)即有

即將Y的分布函數(shù)轉(zhuǎn)成了X的分布函數(shù)，現(xiàn)在對(duì)上式兩端對(duì)y求導(dǎo)數(shù)，得

一般地，若X的密度函數(shù)為fX(x)，Y=g(x)，則其中S為由所有能使g(x)<y的x值組成的集合，則可由X的分布得到Y(jié)的分布.第二章隨機(jī)變量及其分布第6頁(yè)，課件共12頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（2）公式法定理設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為fX(x)，函數(shù)Y=g(X)嚴(yán)格單調(diào)，反函數(shù)h(y)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則Y=g(X)也是連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為其中

第二章隨機(jī)變量及其分布第7頁(yè)，課件共12頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例4

設(shè)X~

N(μ,σ2)，求Y=aX+b(a,b為常數(shù)，a≠0）的密度函數(shù).因?yàn)閄的密度函數(shù)為解或,故g(x)的值域也為

.于是由定理得可知，正態(tài)隨機(jī)變量的線(xiàn)性函數(shù)仍服從正態(tài)分布.即從而

,.第二章隨機(jī)變量及其分布若X~

N(μ,σ2)，則aX+b~

N(aμ+b,(aσ)2)第8頁(yè)，課件共12頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例5設(shè)X~

N(μ,σ2)，求Y=eX的密度函數(shù).由于y=ex是嚴(yán)格單調(diào)遞增函數(shù),它的反函數(shù)為x=lny.解當(dāng)y≤

0時(shí)，F(xiàn)Y(y)=0從而fY(y)=0.當(dāng)y>0時(shí)，即有此為對(duì)數(shù)正態(tài)分布，記為L(zhǎng)N(μ,σ2)，也是一個(gè)常用分布，實(shí)際中有不少隨機(jī)變量服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布,如:金融資產(chǎn)的價(jià)格、絕緣材料的壽命、設(shè)備故障的維修時(shí)間、家中兩個(gè)小孩的年齡差等等都服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布.第二章隨機(jī)變量及其分布第9頁(yè)，課件共12頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1.離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布2.連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布一維離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布

一維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布分布函數(shù)法公式法小