1.1銳角三角函數（1）教學設計主備人：一、備課標（一）內容標準：利用相似的直角三角形，探索并認識銳角三角函數tanA（二）能力目標：體驗從具體情境中抽象出數學符號的過程，培養(yǎng)學生的符號意識與應用意識，初步形成幾何直觀和運算能力，發(fā)展形象思維與抽象思維。二、教材與學情分析1.教材分析：本節(jié)選自北師大版九年級數學下冊第一章第一節(jié)，本節(jié)內容分二課時完成，本次課設計是第一課時的教學。直角三角形中邊角之間的關系在實際生活中應用廣泛.這節(jié)先從實際問題——梯子的傾斜程度引入了銳角三角函數——正切.它是刻畫物體的傾斜程度，山的坡度一個重要的量.本節(jié)從現實情境出發(fā)，讓學生在經歷探索直角三角形邊角關系的過程中，理解銳角三角函數正切的意義——直角三角形中邊的比值與角的大小之間的一種內在數量關系，并能夠根據直角三角形的邊角關系進行計算.本節(jié)也為后面類比學習正弦、余弦的概念奠定了基礎.2.學情分析：在本節(jié)課以前，學生學習了直角三角形的邊邊關系（如勾股定理）、角角關系（直角三角形的兩個銳角互余）等知識.對于邊角關系，平面幾何中在特殊的直角三角形中有所接觸，如“在直角三角形中，30°所對的直角邊是斜邊的一半”等，但還不能從根本上掌握直角三角形的邊與角之間的內在聯(lián)系.本節(jié)課教師采用實驗的方法，讓學生借助前面學習過的直角三角形和相似三角形的有關性質，真正領會到直角三角形中邊與角之間確實存在著一定的關系，從而，探索出直角三角形中一個銳角的對邊與鄰邊的的比是由銳角的大小變化而變化的。三、教學重、難點重點：1.從現實情境中探索直角三角形的邊角關系，理解正切、傾斜程度、坡度的數學意義，密切數學與生活的聯(lián)系；2.會根據正切的定義進行計算求值.難點：理解正切的意義，并用它來表示兩邊的比.理解坡度（坡比）的概念四、教學目標1.經歷探索直角三角形中邊角關系的過程，理解正切的定義，并與現實生活的聯(lián)系；2.會用tanA表示生活中物體的傾斜程度、坡度等，能夠用正切進行簡單的計算；3.知道數學來源于生活，并能利用數形結合思想分析問題和解決實際問題.五、教學過程(一)構建動場活動1.1．通過課題“銳角三角函數”本節(jié)與函數相關，回顧函數的概念？2．直角三角形中，邊有哪些關系？角有哪些關系？邊角之間又有怎樣的關系呢？AABCBC設計意圖：第1個問題從課題出發(fā)，復習函數概念，為后邊理解正切是三角函數做鋪墊；第2個問題復習已學的直角三角形結論，并分為角的關系，邊的關系，由“30°角所對直角邊是斜邊的一半”導入本節(jié)內容，本章主要研究直角三角形邊角關系?；顒?.梯子是我們日常生活中常見的物體.那我們該如何判斷物體的傾斜程度呢？生：根據梯子與地面的夾角，夾角越大，梯子越陡。（板書）師：我們把這個角叫做傾斜角。實際生活中，有時我們不方便測量傾斜角的度數，那我們能從三角形的邊上刻畫梯子傾斜程度嗎？設計意圖：由學生熟悉的梯子引入新課，緊扣課題，從而自然過渡到下邊的探究活動。問題1：圖1和圖2中，這里各擺放的兩個梯子，你能辨別出那一個比較陡一些嗎？你是如何判斷的？圖1圖1圖2（結論：當鉛直高度一樣，水平寬度越小，梯子越陡；當水平寬度一樣，鉛直高度越大，梯子越陡）問題2：圖3中擺放的兩個梯子，哪一個比較陡一些？你是如何判斷的？（通過證明相似得出傾斜角相等，兩個梯子一樣陡的結論.關鍵是從相似的證明過程中得出鉛直高度與水平寬度的比值相等）圖3圖4圖3圖4問題3：圖4中擺放的兩個梯子，哪一個比較陡一些？你是如何判斷的？（小組討論驗證AB更陡）（鉛直高度與水平寬度都不相等時，學生順其自然想到用它們的比值刻畫梯子的陡緩，猜想出比值越大，梯子越陡）（理論驗證：在保持傾斜程度不變的情況下，將兩部梯子平移到一起，觀察傾斜角的大?。换蛘咴谝粋€梯子的頂點處構造平行，比較傾斜角大小。最終得出鉛直高度與水平寬度比值越大，梯子越陡）問題4：通過一組探究后，梯子的傾斜程度與什么相關？設計意圖：通過一組梯子問題的探究一方面讓學生發(fā)現梯子的陡緩與哪些量有關系，更重要的是讓學生逐步建立銳角和對邊與鄰邊比值之間的關系.在發(fā)現問題和解決問題的過程中，學生的邏輯推理能力、數據分析能力都得到了發(fā)展，在小組合作過程中培養(yǎng)了學生合作交流能力。(二)自主學習活動3.直角三角形的邊與角的關系如圖，小明想通過測量B1C1及AC1，算出它們的比，來說明梯子的傾斜程度；而小亮則認為，通過測量B2C2及AC2，算出它們的比，也能說明梯子的傾斜程度．你同意小亮的看法嗎？并嘗試說明理由1.Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么關系?解：∵∠A=∠A，∠AC1B1=∠AC2B2，∴Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2.2.有什么關系？解：∵Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2，∴B1C13.如果改變B2在梯子上的位置(如B3C3)呢?∠A=∠A，∠AC1B1=∠AC3B3，∴Rt△AB1C1∽Rt△AB3C3.∴B1C1（直角三角形中，一個銳角一旦確定，它的對邊與鄰邊的比也隨之確定）如果改變∠A的大小呢？傾斜角的對邊與鄰邊的比值是否發(fā)生改變？銳角A與這個比值究竟是一種什么關系呢？（函數關系）設計意圖：通過對前面問題的討論，學生已經知道可以用傾斜角的對邊與鄰邊之比來刻畫梯子的傾斜程度.這個活動旨在說明，當傾斜角變化時，其對邊與鄰邊的比值也在變化；當傾斜角確定時，其對邊與鄰邊之比也隨之確定且這一比值只與傾斜角度有關，而與直角三角形的大小無關.銳角A與這個比值實際上是一種函數關系.(三)交流探究既然直角三角形中，一個銳角一旦確定，它的對邊與鄰邊的比也隨之確定.那么這個確定的比我們能不能用一個數學符號來表示呢？1.正切的定義如圖，在Rt△ABC中，如果銳角A確定，那么∠A的對邊與鄰邊之比便隨之確定，這個比叫做∠A的正切(tangent)，記作tanA，即tanA=.思考：tanB如何表示？說明：tanA是一個完整的符號，它表示∠A的正切，記號里習慣省去角的符號“∠”，如tanB，tanα，tanβ等,但是對于用阿拉伯數字或三個大寫字母表示的角，角的符號“∠”不能省略，如tan∠ABC，tan∠1，tan∠3等，注意tanA不表示tan乘以A.tanA沒有單位，它表示一個比值；tanA是在直角三角形中定義的,目前∠A是一個銳角（注意數形結合，構造直角三角形）.練習:1.判斷正誤2．（1）在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3，BC=4，求tanA=________．（2）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，tanA=2，則AC的值？設計意圖：這是正切定義的變形應用，提示學生反思“知道某角的正切和對邊，鄰邊怎么求？知道某角的正切和鄰邊，對邊怎么求？”做完題目提醒學生及時反思，規(guī)范做題步驟。思考1：梯子的傾斜程度與的值有關嗎？∠A越大，梯子AB越陡；∠A越大，tanA越大；tanA的值越大，梯子AB越陡；例下圖表示兩個自動扶梯，哪一個自動扶梯比較陡?設計意圖：以上例題都比較基礎，體會梯子傾斜程度與正切相關。2.坡度的定義及表示（難點）正切在日常生活中的應用很廣泛，例如建筑，工程技術等.正切經常用來描述山坡的坡度、堤壩的坡度.坡角：坡面與水平面的夾角；坡度（坡比）：坡面的鉛垂高度與水平寬度的比，坡度常用字母i表示（特別注意:坡度不是一個度數，而是坡角的正切）如圖，有一山坡在水平方向上每前進100米就升高60，那么山坡的坡角是，坡度i（坡比）就是：i=跟蹤練習：如圖，AB是河堤橫斷面的迎水坡．坡高AC＝，水平距離BC＝1，則斜坡AB的坡度為（）A．B．C．30°D．60°建模：本環(huán)節(jié)意在引導學生理解坡度的概念。(四)綜合建模本節(jié)課你學到了哪些知識？哪些數學思想方法？（五）．當堂檢測A層：1．下圖中，的是（）2．如圖，邊長為1的正方形網格中，點A、B、C在格點上，則tan∠CAB＝________．3．如圖，某水庫堤壩橫斷面迎水坡AB的坡比是1：，堤壩高BC=50m，則迎水坡面AB的長度是________m．4．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，BC＝2，求AB的長．B層：5．在△ABC中，∠C=90°，則tanAtanB=（）A．等于1B．大于1C．小于1D．不確定(六)課后作業(yè)A組隨堂練習1、2習題1.11、2B組如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，CD⊥AB，垂足為D，求tan∠BCD．2.在△ABC中，AB=AC=10cm,BC=12cm,求∠B的正切值.3.已知Rt△ABC中，∠C=90°,周長為60，tanB=,則△ABC的面積是（）A.30B.60C.120D.240七、板書設計1.1銳角三角函數（1）1.梯子傾斜程度：傾斜角越大，梯子越陡例題比值越大，梯子越陡2.正切的定義tanA的值越大，梯子AB越陡；∠A越大，梯子AB越陡3.坡度的定義i=八、教學反思學情分析一、學生特點分析（一）學習條件和起點能力分析：在本節(jié)課以前，學生學習了直角三角形的邊邊關系（如勾股定理）、角角關系（直角三角形的兩個銳角互余）等知識.對于邊角關系，平面幾何中在特殊的直角三角形中有所接觸，如“在直角三角形中，30°所對的直角邊是斜邊的一半”等，但還不能從根本上掌握直角三角形的邊與角之間的內在聯(lián)系.（二）學生可能達到的程度和存在的普遍性問題：首先對于正切的概念，學生理解起來可能會有困難；其次在已知對邊和鄰邊的值求正切，或者在已知正切和一直角邊求另一直角邊或斜邊時會出現錯誤；在斜三角形中，想不到化斜為直的方法。二、教學方法分析本節(jié)課教師采用實驗的方法，讓學生借助前面學習過的直角三角形和相似三角形的有關性質，真正領會到直角三角形中邊與角之間確實存在著一定的關系，從而，探索出直角三角形中一個銳角的對邊與鄰邊的的比是由銳角的大小變化而變化的。九年級學生已經具備了一定的計算能力，分析問題和解決問題的能力，要鼓勵他們大膽嘗試，敢于發(fā)表自已的看法，以從中獲得成功的體驗，激發(fā)學生的學習熱情，相信學生學習本節(jié)內容一定能達到預期效果。三、學法分析根據新課程標準理念，學生是學習的主體，教師只是學習的幫助者，引導者，我主要引導學生自己觀察、歸納，采用自主探究的方法進行學習，并努力使學生從中體會學習的樂趣。效果分析本節(jié)課通過探究活動的設計和多媒體手段的運用，既增加了課堂容量，又使抽象的內容變得直觀。讓學生在探究過程中體會了知識的生成過程。新知識的學習應建立在學生的已有認知發(fā)展水平上，通過復習回顧函數概念和直角三角形已學知識，帶著問題學習增加學生學習本課的積極性。利用類比教學從學生己有的生活經驗出發(fā)，通過觀察、思考、討論，判斷四組梯子的傾斜程度，從而引出鉛直高度與水平寬度之比可以刻畫梯子傾斜程度。通過小明和小亮的問題理解正切的定義以及根據兩直角邊的長度求出角的正切值。讓學生經歷了“活動——探究——合作——交流”的過程，培養(yǎng)了學生的團結協(xié)作能力、勇于探索的精神。在整堂課的教學活動中充分體現學生的主體性，向學生提供充分參與數學活動的機會，幫助他們在自主學習和合作探究的過程中真正理解和掌握基本的數學知識與技能，培養(yǎng)學生動手、動口、動腦的能力和學生的合作交流能力。教學方法是類比式的教學方法及師生共同討論探究式的教學方法。在課堂上運用實際例子，引發(fā)學生探索問題的興趣，讓學生在活躍的課堂氣氛中探討出知識的規(guī)律性，找到學習數學的樂趣。通過本節(jié)課的教學，首尾呼應，讓學生進一步體會，數學來源于生活，又作用于生活?？傊?，本節(jié)課的特點是：通過不斷提出和解決問題，激發(fā)學生的求知欲，使學生在老師的引導下，通過觀察，歸納，總結，應用掌握新知。從實際教學效果來看，學生思考積極，絕大多數學生能跟上最低限度的教學要求。在當堂檢測部分來看，本節(jié)課的知識方面效果很好，從學生課堂上的回答來看，學生不乏精彩完美的發(fā)言，應該是實現了本節(jié)課的教學目標。教材分析本節(jié)選自北師大版九年級數學下冊第一章第一節(jié)，本節(jié)內容分二課時完成，本次課設計是第一課時的教學。直角三角形中邊角之間的關系在實際生活中應用廣泛.這節(jié)先從實際問題——梯子的傾斜程度引入了銳角三角函數——正切.它是刻畫物體的傾斜程度，山的坡度一個重要的量.本節(jié)從現實情境出發(fā)，讓學生在經歷探索直角三角形邊角關系的過程中，理解銳角三角函數正切的意義——直角三角形中邊的比值與角的大小之間的一種內在數量關系，并能夠根據直角三角形的邊角關系進行計算.本節(jié)也為后面類比學習正弦、余弦的概念奠定了基礎.評測練習A層：1．下圖中，的是（）2．如圖，邊長為1的正方形網格中，點A、B、C在格點上，則tan∠CAB＝________．3．如圖，某水庫堤壩橫斷面迎水坡AB的坡比是1：，堤壩高BC=50m，則迎水坡面AB的長度是________m．4．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，BC＝2，求AB的長．B層：5．在△A