山西省忻州市上磨坊中學高三數學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.在數字1,2，3與符號＋，－五個元素的所有全排列中，任意兩個數字都不相鄰的全排列個數是A．6

B.12

C.18

D.24參考答案：答案：B解析：在數字1，2，3與符號“＋”，“－”五個元素的所有全排列中，先排列1，2，3，有種排法，再將“＋”，“－”兩個符號插入，有種方法，共有12種方法，選B.2.數列{an}：1，﹣，，﹣，…的一個通項公式是（）A．an=（﹣1）n+1（n∈N+） B．an=（﹣1）n﹣1（n∈N+）C．an=（﹣1）n+1（n∈N+） D．an=（﹣1）n﹣1（n∈N+）參考答案：D【考點】數列的概念及簡單表示法．【分析】觀察數列各項，可寫成：，﹣，，﹣，即可得出結論．【解答】解：觀察數列各項，可寫成：，﹣，，﹣，故選：D．3.函數y=sin2x的圖象可能是A. B.C. D.參考答案：D分析:先研究函數的奇偶性，再研究函數在上的符號，即可判斷選擇.詳解：令，因為，所以為奇函數，排除選項A,B;因為時，，所以排除選項C，選D.點睛：有關函數圖象的識別問題的常見題型及解題思路：（1）由函數的定義域，判斷圖象的左、右位置，由函數的值域，判斷圖象的上、下位置；（2）由函數的單調性，判斷圖象的變化趨勢；（3）由函數的奇偶性，判斷圖象的對稱性；（4）由函數的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復．4.已知a＞0，x，y滿足約束條件，且z＝2x＋y的最小值為1，則a＝(

)

A. B. C.1 D.2參考答案：B略5.設函數，其中θ∈，則導數的取值范圍是（

）A．[－2,2]

B．[，]

C．[，2]

D．[，2]參考答案：D略6.設是復數，表示滿足的最小正整數，則對虛數單位，（

）A.8

B.6

C.4

D.2參考答案：C7.已知集合，則滿足條件集合C的個數為（

）A．

4

B．

3

C．

2

D．1參考答案：A由指數函數的性質可得集合，集合，滿足條件集合為：，，共個，故選A.

8.圓柱被一個平面截去一部分后與半球（半徑為）組成一個幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示.若該幾何體的表面積為，則（

）A．1

B．2

C.4

D．8參考答案：B9.己知平面向量滿足，與的夾角為60°,則“”是“”的(A)充分不必要條件

（B)必要不充分條件(C)充要條件

（D)既不充分也不必要條件參考答案：C由得，，即，所以，所以，即“”是“”的充要條件，選C.10.若曲線f（x）=acosx與曲線g（x）=x2+bx+1在交點（0，m）處有公切線，則a+b=（）A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：A【考點】利用導數研究曲線上某點切線方程．【專題】導數的綜合應用．【分析】求出函數f（x）和g（x）的導函數，然后由f（0）=g（0），f′（0）=g′（0）聯立方程組求解a，b的值，則答案可求．【解答】解：∵f（x）=acosx，g（x）=x2+bx+1，∴f′（x）=﹣asinx，g′（x）=2x+b，∵曲線f（x）=acosx與曲線g（x）=x2+bx+1在交點（0，m）處有公切線，∴f（0）=a=g（0）=1，且f′（0）=0=g′（0）=b，即a=1，b=0．∴a+b=1．故選：A．【點評】本題考查利用導數研究曲線上某點的切線方程，函數在某點處的導數，就是曲線上過該點的切線的斜率，是中檔題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如果等比數列的前項和，則常數參考答案：12.如圖是一個求函數值的算法流程圖，若輸入的x的值為5，則輸出的y的值為．參考答案：﹣15【考點】程序框圖．【分析】分析程序中各變量、各語句的作用，再根據流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是計算分段函數y=的值，代入x=5，即可得到答案．【解答】解：執(zhí)行算法流程圖，可得該程序的作用是計算分段函數y=的值，x=5，不滿足條件x＜0，有y=5﹣4×5=﹣15．輸出y的值為﹣15．故答案為：﹣15．13.曲線在點處的切線方程為

參考答案：14.已知向量滿足則向量與夾角的余弦值為．參考答案：-考點：平面向量數量積的運算．

專題：平面向量及應用．分析：把|+|=兩邊平方，然后代入數量積公式求得向量與夾角的余弦值．解答：解：由||=，||=2，|+|=，得，即，∴3+2×+4=5，即．故答案為：．點評：本題考查平面向量的數量積運算，關鍵是對數量積公式的記憶與運用，是基礎題．15.設實數x，y滿足，則的最小值為

.參考答案：416.閱讀下面的流程圖，若輸入，，則輸出的結果是

▲

．參考答案：217.在一次隨機試驗中，事件發(fā)生的概率為，事件發(fā)生的次數為，則期望

，方差的最大值為

．參考答案：；

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）已知一企業(yè)生產某產品的年固定成本為10萬元，每生產千件需另投入2.7萬元，設該企業(yè)年內共生產此種產品千件，并且全部銷售完，每千件的銷售收入為萬元，且（Ⅰ）寫出年利潤（萬元）關于年產品（千件）的函數解析式；（Ⅱ）年產量為多少千件時，該企業(yè)生產此產品所獲年利潤最大？（注：年利潤=年銷售收入-年總成本）參考答案：（1）當時，當時，……………4分（2）①當時，由，得且當時，；當時，；當時，取最大值，且…8分②當時，當且僅當，即時，綜合①、②知時，取最大值.所以當年產量為9千件時，該企業(yè)生產此產品獲利最大.…………………12分19.（本小題滿分10分）已知為公差不為0的等差數列的前項和，且，成等比數列.（I）求數列的通項公式； （II）設，求數列的前項和.參考答案：（1）,；（2）.試題分析：(Ⅰ)根據已知條件及等比數列的定義、等差數列的前項和公式即可列出方程，解該方程即可得出所求等差數列的公差，進而求出該數列的通項公式；（Ⅱ）結合(Ⅰ)的結論可得的通項公式，運用裂項相消法即可求出其前項和.試題解析：(Ⅰ)

由已知，得，即

得

又由，

得，故,；

（Ⅱ）由已知可得，

,

考點：1、等比數列；2、等差數列的前項和；3、裂項相消法求和；20.已知函數．（Ⅰ）若函數在處有極值，求的值；（Ⅱ）記函數的圖象為曲線．設點，是曲線上的不同兩點．如果在曲線上存在點，使得：①；②曲線在點處的切線平行于直線，則稱函數存在“中值相依切線”．問函數是否存在“中值相依切線”，請說明理由；（Ⅲ）求證：．參考答案：解：(1)因為函數定義域為，，又函數在處有極值，所以，解得，所以．當時，；當時，，則是函數的極值點．故經檢驗，成立．(2)假設函數存在“中值相依切線”設，是曲線上的不同兩點，且，則，，所以，所以曲線在點處的切線斜率，所以，所以，即，設，則，所以，令，，因為，顯然，所以在上遞增，所以，所以在內不存在，使得成立．綜上所述，假設不成立．所以，函數不存在“中值相依切線”．(3)證法一：由(2)知：恒成立，即，所以，令，則，所以，，，，于是則，所以，即．證法二：，令，，，，故需證，即證，當時，上式成立，所以；又當時，；當時，；綜上知．略21.（本小題滿分12分）某校高二年級共有學生1000名,其中走讀生750名,住宿生250名,現從該年級采用分層抽樣的方法從該年級抽取n名學生進行問卷調查.根據問卷取得了這n名同學每天晚上有效學習時間(單位:分鐘)的數據,按照以下區(qū)間分為八組①[0,30),②[30,60),③[60,90),④[90,120),⑤[120,150),⑥[150,180),⑦[180,210),⑧[210,240),得到頻率分布直方圖如下.已知抽取的學生中每天晚上有效學習時間少于60分鐘的人數為5人；（1）求n的值并補全下列頻率分布直方圖；（2）如果把“學生晚上有效時間達到兩小時”作為是否充分利用時間的標準，對抽取的n名學生，完成下列2×2列聯表：

利用時間充分利用時間不充分總計走讀生502575住宿生101525總計6040100是否有95%的把握認為學生利用時間是否充分與走讀、住宿有關？參考公式：參考列表：0.500.400.250.150.100.050.0250.4550.7081.3232.0722.7063.8415.024（3）若在第①組、第②組、第⑦組、第⑧組中共抽出3人調查影響有效利用時間的原因，記抽到“有效學習時間少于60分鐘”的學生人數為X，求X的分布列及期望；參考答案：解：（1）設第i組的頻率為Pi（i=1,2,…,8),則由圖可知：P1=×30=,P2=×30=∴學習時間少于60鐘的頻率為：P1+P2=

由題n×=5∴n=100…(2分)又P3=×30=,P5=×30=,P6=×30=,P7=×30=,P8=×30=,∴P4=1-(P1+P2+P3+P5+P6+P7+P8)=1-=1-=第④組的高度h=×==

頻率分布直方圖如圖：（未標明高度1/120扣1分）……4分（2）K2=≈5.556由于K2>3.841,所以有95%的把握認為學生利用時間是否充分與走讀、住宿有關………8分（3）由（1）知：第①組1人，第②組4人，第⑦組15人，第⑧組10人，總計20人。則X的所有可能取值為0，1，2，3P（X=i)=(i=0，1，2，3)∴P(X=0)===,P(X=1)====,P(X=2)====,P(X=3)====∴X的分布列為：P0123XEX