一、一階微分方程求解1.一階標(biāo)準(zhǔn)類(lèi)型方程求解關(guān)鍵:辨別方程類(lèi)型,掌握求解步驟2.一階非標(biāo)準(zhǔn)類(lèi)型方程求解變量代換法——代換自變量代換因變量代換某組合式幾個(gè)標(biāo)準(zhǔn)類(lèi)型:可分離變量方程,齊次方程,線(xiàn)性方程P315題77/20/20231例1

求下列方程的通解提示:

(1)故為分離變量方程:通解7/20/20232方程兩邊同除以x即為齊次方程,令y=ux,化為分離變量方程.調(diào)換自變量與因變量的地位,用線(xiàn)性方程通解公式求解.化為7/20/20233方法1

這是一個(gè)齊次方程.*方法2

化為微分形式故這是一個(gè)全微分方程(下冊(cè)內(nèi)容).7/20/20234解此方程為一個(gè)可分離變量的微分方程．分離因變量，得例2求解方程．兩邊積分，得即得原方程的通解7/20/20235解原方程變形后為齊次方程例3求解方程，．作變換，移項(xiàng)，得則有7/20/20236兩邊積分，得將代入，有即滿(mǎn)足初始條件的解為由初始條件，即原方程的解為7/20/20237解原方程變形為即例4求微分方程的通解．此是關(guān)于函數(shù)的一階線(xiàn)性非齊次線(xiàn)性微由求解公式得分方程，7/20/202387/20/20239例5

求下列方程的通解:提示:

(1)令u=xy,得(分離變量方程)原方程化為P315題77/20/202310令y=ut(齊次方程)令t=x–1,則可分離變量方程求解化方程為7/20/202311練習(xí)題:

求以為通解的微分方程.提示:消去C得

求下列微分方程的通解:提示:令u=xy,化成可分離變量方程:P353題1，2，3(1),(2),(3),(5),(10)P353題2P353題37/20/202312提示:可化為關(guān)于x

的一階線(xiàn)性方程提示:這是一階線(xiàn)性方程,其中7/20/202313原方程化為,即則故原方程通解提示:

令7/20/202314分離變量，得兩邊積分，得例6求解微分方程．解法1作代換，此方程為齊次方程，則有7/20/202315故方程的通解為即由于7/20/202316*解法2故方程的通解為代回原變量，得此方程為貝努利方程，此時(shí)令方程變形為則有7/20/202317例7設(shè)F(x)＝f(x)g(x),其中函數(shù)f(x),g(x)在(－∞,+∞)內(nèi)滿(mǎn)足以下條件:(1)求F(x)所滿(mǎn)足的一階微分方程;(2)求出F(x)的表達(dá)式.解

(1)

所以F(x)滿(mǎn)足的一階線(xiàn)性非齊次微分方程:03考研7/20/202318(2)

由一階線(xiàn)性微分方程解的公式得于是7/20/202319例8設(shè)河邊點(diǎn)O的正對(duì)岸為點(diǎn)A,河寬OA=h,一鴨子從點(diǎn)A游向點(diǎn)二、解微分方程應(yīng)用問(wèn)題利用共性建立微分方程,利用個(gè)性確定定解條件.為平行直線(xiàn),且鴨子游動(dòng)方向始終朝著點(diǎn)O,提示:如圖所示建立坐標(biāo)系.設(shè)時(shí)刻t鴨子位于點(diǎn)P(x,y),設(shè)鴨子(在靜水中)的游速大小為b求鴨子游動(dòng)的軌跡方程.O,水流速度大小為a,兩岸則關(guān)鍵問(wèn)題是正確建立數(shù)學(xué)模型,要點(diǎn):則鴨子游速b為7/20/202320定解條件由此得微分方程即鴨子的實(shí)際運(yùn)動(dòng)速度為(求解過(guò)程參考P306例2)(齊次方程)7/20/202321思考:能否根據(jù)草圖列方程?練習(xí)題:P354題5,6

已知某曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,1),軸上的截距等于切點(diǎn)的橫坐標(biāo),求它的方程.提示:設(shè)曲線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)為M(x,y),令X=0,得截距由題意知微分方程為即定解條件為此點(diǎn)處切線(xiàn)方程為它的切線(xiàn)在縱P353題57/20/202322

已知某車(chē)間的容積為的新鮮空氣問(wèn)每分鐘應(yīng)輸入多少才能在30分鐘后使車(chē)間空的含量不超過(guò)0.06%?提示:設(shè)每分鐘應(yīng)輸入

t時(shí)刻車(chē)間空氣中含則在內(nèi)車(chē)間內(nèi)兩端除以并令與原有空氣很快混合均勻后,以相同的流量排出)得微分方程(假定輸入的新鮮空氣輸入,的改變量為P353題57/20/202323t=30時(shí)解定解問(wèn)題因此每分鐘應(yīng)至少輸入250新鮮空氣.初始條件得k=?7/20/202324一點(diǎn)處的水流速度與該點(diǎn)到兩岸距離的乘積成正比(比例系數(shù)選用題小船從河邊點(diǎn)出發(fā)駛向?qū)Π?兩岸為平行線(xiàn))，設(shè)船速為船行方向始終與河岸垂直．又設(shè)河寬為，河中任為)，求小船的航行路線(xiàn)．解如圖建立坐標(biāo)系統(tǒng)，并使水流方向與的正向一致．設(shè)時(shí)刻時(shí)，小船位于處，則7/20/202325其初始條件為先解得，再由初始條件得，即．代入到第一個(gè)方程中，即有解得7/20/202326再由初始條件，得．即小船的航行曲線(xiàn)為或消去參數(shù)，得7/20/202327三、課外練習(xí)題1．求下列方程的通解：1)；2)；3)；4)；5)．7/20/2023282．設(shè)是連續(xù)函數(shù)，且滿(mǎn)足求