第第頁(yè)【解析】2023年高考數(shù)學(xué)真題分類匯編1：集合、邏輯用語(yǔ)、函數(shù)、初等函數(shù)登錄二一教育在線組卷平臺(tái)助您教考全無(wú)憂

2023年高考數(shù)學(xué)真題分類匯編1：集合、邏輯用語(yǔ)、函數(shù)、初等函數(shù)

一、填空題

1．（2023·全國(guó)甲卷）若為偶函數(shù)，則．

2．（2023·全國(guó)甲卷）若為偶函數(shù)，則．

3．（2023·天津卷）若函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為．

4．（2023·全國(guó)乙卷）設(shè)，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是.

5．（2023·上海卷）已知，則的值域是；

6．（2023·新高考Ⅰ卷）已知函數(shù)f(x)=cosωx1(ω>0)在區(qū)間[0，2π]有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則ω的取值范圍是.

二、選擇題

7．（2023·全國(guó)甲卷）設(shè)全集，集合，則（）

A．B．

C．D．

8．（2023·全國(guó)甲卷）設(shè)集合，U為整數(shù)集，（）

A．B．

C．D．

9．（2023·全國(guó)甲卷）已知函數(shù)．記，則（）

A．B．C．D．

10．（2023·全國(guó)甲卷）“”是“”的（）

A．充分條件但不是必要條件

B．必要條件但不是充分條件

C．充要條件

D．既不是充分條件也不是必要條件

11．（2023·天津卷）已知集合，則（）

A．B．

C．D．

12．（2023·天津卷）“”是“”的（）

A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充分必要條件D．既不充分又不必要條件

13．（2023·天津卷）若，則的大小關(guān)系為（）

A．B．C．D．

14．（2023·天津卷）函數(shù)的圖象如下圖所示，則的解析式可能為（）

A．B．

C．D．

15．（2023·全國(guó)乙卷）設(shè)集合，集合，，則（）

A．B．C．D．

16．（2023·全國(guó)乙卷）已知是偶函數(shù)，則（）

A．B．C．1D．2

17．（2023·全國(guó)乙卷）函數(shù)存在3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）

A．B．C．D．

18．（2023·全國(guó)乙卷）設(shè)全集，集合，則（）

A．B．

C．D．

19．（2023·上海卷）在平面上，若曲線具有如下性質(zhì)：存在點(diǎn)，使得對(duì)于任意點(diǎn)，都有使得.則稱這條曲線為"自相關(guān)曲線".判斷下列兩個(gè)命題的真假（）.

（1）所有橢圓都是“自相關(guān)曲線".(2)存在雙曲線是“自相關(guān)曲線”.

A．(1)假命題；(2)真命題B．(1)真命題；(2)假命題

C．(1)真命題；(2)真命題D．(1)假命題；(2)假命題

20．（2023·上海卷）已知，若且，則（）

A．B．C．D．

21．（2023·新高考Ⅱ卷）設(shè)集合，若，則（）

A．2B．1C．D．-1

22．（2023·新高考Ⅱ卷）若為偶函數(shù)，則a=()

A．-1B．0C．D．-1

23．（2023·新高考Ⅰ卷）已知集合M={2，1，0，1，2}，N={x|x2x60}，則M∩N=（）

A．{2，1，0，1}B．{0，1，2}

C．{2}D．{2}

24．（2023·新高考Ⅰ卷）設(shè)函數(shù)在區(qū)間(0，1)單調(diào)遞減，則a的取值范圍是（）

A．(∞，2]B．[2，0)C．(0，2]D．[2，+∞)

25．（2023·新高考Ⅰ卷）噪聲污染問(wèn)題越來(lái)越受到重視，用聲壓級(jí)來(lái)度量聲音的強(qiáng)弱，定義聲壓級(jí)，其中常數(shù)是聽(tīng)覺(jué)下限間值，是實(shí)際聲壓.下表為不同聲源的聲壓級(jí)：

聲源與聲源的距離/m聲壓級(jí)/dB

燃油汽車1060~90

混合動(dòng)力汽車1050～60

電動(dòng)汽車1040

已知在距離燃油汽車、混合動(dòng)力汽車、電動(dòng)汽車處測(cè)得實(shí)際聲壓分別為，則（）

A．B．C．D．

26．（2023·新高考Ⅰ卷）已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f(xy)=y2f(x)+x2f(y)，則（）

A．f(0)=0B．f(1)=0

C．f(x)是偶函數(shù)D．x=0為f(x)的極小值點(diǎn)

三、解答題

27．（2023·全國(guó)甲卷）已知

（1）若，討論的單調(diào)性；

（2）若恒成立，求a的取值范圍．

28．（2023·全國(guó)甲卷）已知．

（1）解不等式

（2）若與坐標(biāo)軸圍成的面積為2，求a．

29．（2023·上海卷）函數(shù)

（1）當(dāng)是，是否存在實(shí)數(shù)，使得為奇函數(shù)；

（2）函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)，且的圖像與軸負(fù)半軸有兩個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

30．（2023·新高考Ⅰ卷）已知函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）證明：當(dāng)時(shí)，.

答案解析部分

1．【答案】2

【知識(shí)點(diǎn)】偶函數(shù)

【解析】【解答】，

∵為偶函數(shù)

為使為偶函數(shù)，只需為偶函數(shù)，

，即

故答案為：2

【分析】先利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，由三角函數(shù)部分為偶函數(shù)，故只需二次函數(shù)部分為偶函數(shù)，從而得出的值。

2．【答案】2

【知識(shí)點(diǎn)】偶函數(shù)

【解析】【解答】，

∵為偶函數(shù)

為使為偶函數(shù)，只需為偶函數(shù)，

，即

故答案為：2

【分析】先利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，由三角函數(shù)部分為偶函數(shù)，故只需二次函數(shù)部分為偶函數(shù)，從而得出的值。

3．【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系

【解析】【解答】令，

①當(dāng)時(shí)，

即，整理得，

a)若是函數(shù)零點(diǎn)，則，解得；

b)若，此時(shí)，即方程只有一個(gè)解x=-1，

c)若，方程整理得

i)此時(shí)若是函數(shù)零點(diǎn)，則，解得；

ii)若，即，且成立，此時(shí)方程為重根，

同理②當(dāng)時(shí)，

即，整理得，

a)若是函數(shù)零點(diǎn)，則，解得；

b)若，此時(shí)，與矛盾，

c)若，方程整理得

i)此時(shí)若是函數(shù)零點(diǎn)，則，解得；

ii)若，即，則與矛盾，

綜上，

(1)當(dāng)時(shí)，此時(shí)使得成立，是函數(shù)零點(diǎn)；使得也是函數(shù)零點(diǎn)，

即當(dāng)時(shí)，函數(shù)零點(diǎn)分別是，；

(2)當(dāng)，，時(shí)，函數(shù)零點(diǎn)分別是-1，；

(3)當(dāng)時(shí)，函數(shù)零點(diǎn)是(-1)，此時(shí)不滿足題意，舍去；

(4)當(dāng)時(shí)，函數(shù)零點(diǎn)分別是-1，此時(shí)不滿足題意，舍去；

(5)當(dāng)時(shí)，函數(shù)零點(diǎn)分別是1，-1；

∴當(dāng)函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，；

故答案填：

【分析】令將零點(diǎn)轉(zhuǎn)化成方程根問(wèn)題，不妨先分類與去絕對(duì)值得到含參一元二次方程，對(duì)根的情況分析且檢驗(yàn)是否滿足分類前提得出零點(diǎn)存在時(shí)參數(shù)a的取值，對(duì)以上參數(shù)a分類整理即可得出答案.

4．【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)恒成立問(wèn)題；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

【解析】【解答】∵函數(shù)在上單調(diào)遞增，

∴在上恒成立，

令，故只需證

則，

則在上單調(diào)遞增，且

∴，

即，

∴，即，解得或，

又∵

∴，

故答案為：

【分析】結(jié)合題意求導(dǎo)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成導(dǎo)函數(shù)大于0恒成立問(wèn)題，重新構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)分析計(jì)算該函數(shù)的最小值大于0即得答案.

5．【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)；分段函數(shù)的應(yīng)用

【解析】【解答】當(dāng)即

故，即

故答案為：

【分析】由指數(shù)函數(shù)易得x>0的值域，結(jié)合x(chóng)≤0可得分段函數(shù)值域.

6．【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系；函數(shù)y=Acos（ωx+φ）的圖象與性質(zhì)

【解析】【解答】令f(x)=cosωx1=0，則coswx=1，故該函數(shù)的交點(diǎn)可視作函數(shù)y=cosωx與y=1的在的交點(diǎn)

∵，則

結(jié)合余弦函數(shù)可知此時(shí)

∴，解得.

故答案為：

【分析】可將函數(shù)零點(diǎn)轉(zhuǎn)換為余弦型函數(shù)與y=1的交點(diǎn)即得答案。

7．【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】并集及其運(yùn)算；補(bǔ)集及其運(yùn)算

【解析】【解答】，

故選：A

【分析】先計(jì)算補(bǔ)集，再求并集即得答案.

8．【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】集合的表示法；交集及其運(yùn)算；補(bǔ)集及其運(yùn)算

【解析】【解答】由已知分析可知A為被3除余1整數(shù)的集合，B為被3除余2整數(shù)的集合，

故當(dāng)全集為整數(shù)，此時(shí)為3的整數(shù)倍，即.

故選：A.

【分析】由分析可將描述法表示的集合轉(zhuǎn)化成被3整除問(wèn)題，進(jìn)而分析此時(shí)用整數(shù)集補(bǔ)的結(jié)果.

9．【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)；指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

【解析】【解答】，

關(guān)于對(duì)稱，

又在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，

由復(fù)合函數(shù)可知在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，

由關(guān)于對(duì)稱得

，，

由在單調(diào)遞增得

故選：A

【分析】對(duì)二次函數(shù)對(duì)稱性分析得出復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，利用對(duì)稱性將c轉(zhuǎn)化與a、b同一單調(diào)性，從而利用單調(diào)性比較函數(shù)值大小。

10．【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷；同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系

【解析】【解答】若，

∵，

此時(shí)，即，

∴當(dāng)，此時(shí)不一定成立，充分性不成立；

反之，當(dāng)，，此時(shí)，必要性成立；

故選：B.

【分析】利用同角三角基本關(guān)系可將化簡(jiǎn)，結(jié)合條件的判斷可得出答案.

11．【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】并集及其運(yùn)算；補(bǔ)集及其運(yùn)算

【解析】【解答】∵，

∴，

∴，

故選：A.

【分析】結(jié)合補(bǔ)集和并集對(duì)有限集運(yùn)算.

12．【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷

【解析】【解答】由，，

故由可以推出，

∴“”是“”的必要不充分條件.

故選：B.

【分析】根據(jù)已知條件化簡(jiǎn)結(jié)合條件的判斷即得答案.

13．【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)；冪函數(shù)的性質(zhì)

【解析】【解答】由指數(shù)函數(shù)在R上單調(diào)遞增，

故，即，

由冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，

故，即，

∴，

故選：D.

【分析】由a、b同一底數(shù)結(jié)構(gòu)可利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較大小，結(jié)合特殊值1即可得出答案.

14．【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】奇函數(shù)；偶函數(shù)；基本不等式

【解析】【解答】根據(jù)圖象可知該函數(shù)為偶函數(shù)，

對(duì)A，，故該函數(shù)為奇函數(shù)，不符合題意，錯(cuò)誤；

對(duì)B，，故該函數(shù)為奇函數(shù)，不符合題意，錯(cuò)誤；

對(duì)C，，故此函數(shù)函數(shù)值均為正數(shù)，不符合題意，錯(cuò)誤；

故選：D.

【分析】由函數(shù)結(jié)合奇偶性判斷可排除A、B，對(duì)C得特殊結(jié)構(gòu)利用基本不等式得出函數(shù)值為大于0可排除，從而得出答案D.

15．【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算

【解析】【解答】根據(jù)題意

對(duì)A，，則，符合題意，

對(duì)B，，則，不符合題意，

對(duì)C，，則，不符合題意，

對(duì)D，，則，不符合題意，

故選：A.

【分析】由交、并、補(bǔ)集的定義及運(yùn)算，逐項(xiàng)判斷可得答案.

16．【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】偶函數(shù)；函數(shù)奇偶性的判斷

【解析】【解答】是偶函數(shù)，

恒成立，

不恒為0，

，解得.

當(dāng)時(shí)定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又滿足，為偶函數(shù)。

故選：D

【分析】根據(jù)偶函數(shù)定義進(jìn)行計(jì)算，再驗(yàn)證。

17．【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的零點(diǎn)

【解析】【解答】由題意得

有三個(gè)零點(diǎn)，

有極大值和極小值且異號(hào)，.

令，解得，，

，解得

故選：B

【分析】有三個(gè)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為的極大值和極小值異號(hào)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)根且，。

18．【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】并集及其運(yùn)算；補(bǔ)集及其運(yùn)算

【解析】【解答】由題意可得，

故選：A

【分析】根據(jù)題意先計(jì)算，再計(jì)算。

19．【答案】（1）B

【知識(shí)點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用；圓錐曲線的綜合

【解析】【解答】①在橢圓中，如圖，若存在點(diǎn)M，使得對(duì)于任意點(diǎn)，都有使得.

不妨先以點(diǎn)M在x軸上分析，在M點(diǎn)從橢圓左頂點(diǎn)往x負(fù)半軸移動(dòng)時(shí)，必然存在，

以此M點(diǎn)為假設(shè)存在的點(diǎn)，∵P、Q均在橢圓上，且，，故對(duì)于任意點(diǎn)，都有使得.

由特殊到一般，由橢圓圖形取值為封閉圖形，即確定點(diǎn)M的位置后，其最小值與最大值是有限值，故對(duì)任意的情形依然存在且符合題意；

故所有的橢圓都是“自相關(guān)曲線"為真命題.

②同理，由確定點(diǎn)M位置后，結(jié)合雙曲線圖形特點(diǎn)，其最小值總是有限值，而最大值是無(wú)限的，所以不存在雙曲線是“自相關(guān)曲線”.

【分析】根據(jù)圓錐曲線圖形特點(diǎn)及取值分析判斷可得答案.

20．【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】元素與集合關(guān)系的判斷

【解析】【解答】∵，若且

∴只有元素復(fù)合集合M，

故選：A

【分析】由元素和集合的關(guān)系得出符合條件的集合M.

21．【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】子集與真子集；集合關(guān)系中的參數(shù)取值問(wèn)題

【解析】【解答】，

當(dāng)時(shí)，，則，，不符合題意；

當(dāng)時(shí)，，則，，符合題意。

故選：B

【分析】根據(jù)，分別討論或的情況。

22．【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】偶函數(shù)

【解析】【解答】根據(jù)題意易得函數(shù)定義域?yàn)?，即關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

為偶函數(shù)，

則有，即，解得。

檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，有，

時(shí)為偶函數(shù)。

故選：B

【分析】根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)在定義域范疇內(nèi)代值即得答案。

23．【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】交集及其運(yùn)算；一元二次方程

【解析】【解答】∵，∴，∴，即，則。故選C

【分析】利用一元二次不等求解集合N，進(jìn)而求集合M與N的交集。

24．【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)；復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

【解析】【解答】∵為增函數(shù)，令

由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知，若在區(qū)間(0，1)單調(diào)遞減

只需在區(qū)間(0，1)單調(diào)遞減

由二次函數(shù)易得在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，

所以在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，

故，

即.

故選：D

【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，分別分析外函數(shù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和內(nèi)函數(shù)二次函數(shù)單調(diào)性即得答案。

25．【答案】A,C,D

【知識(shí)點(diǎn)】對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)；指、對(duì)數(shù)不等式的解法

【解析】【解答】由是增函數(shù)，故也是增函數(shù)，由表格可知，

即，則

同理可得，

A：由對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增，∵，∴，故A正確；

B：，∵，，∴，∴，即，故B錯(cuò)誤；

C：，則即，故C正確；

D：，∵，，∴，∴，即，故D正確.

故選：ACD

【分析】由對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性解不等式，逐項(xiàng)解答判斷即得答案。

26．【答案】A,B,C

【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的判斷；抽象函數(shù)及其應(yīng)用

【解析】【解答】Ａ：令，則，故Ａ正確

Ｂ：令，則，即，故Ｂ正確

Ｃ：令，則，結(jié)合B可得，

∴為偶函數(shù)，Ｃ正確

Ｄ：由f(xy)=y2f(x)+x2f(y)，等式兩邊同除，則，

由函數(shù)結(jié)構(gòu)結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算構(gòu)造函數(shù)形式，可令，即

當(dāng)x=0時(shí)，即f(0)=0，即函數(shù)，易得在上單調(diào)遞增

當(dāng)時(shí)，，故此函數(shù)不連續(xù)，即x=0不是f(x)的極小值點(diǎn)

【分析】由抽象函數(shù)結(jié)合賦值法逐項(xiàng)可判斷ABC，根據(jù)抽象函數(shù)結(jié)構(gòu)可構(gòu)造符合條件的具體函數(shù)再進(jìn)行單調(diào)性與值域分析即可判斷D。

27．【答案】（1）解：當(dāng)，即，

則，

令，即，解得，

令，即，解得，

令，即，解得，

∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減

（2）令，，

∴，，

∴必然存在在單調(diào)遞減，

∴，即，解得a0，∴此時(shí)

②當(dāng)時(shí)，由，即，解得，∵a>0，∴此時(shí)

綜上的解集是；

（2）令，解得或，

當(dāng)時(shí)，

∵a>0，此時(shí)，且，故其函數(shù)圖象大致為

，，，

，解得.

【知識(shí)點(diǎn)】分段函數(shù)的解析式求法及其圖象的作法；絕對(duì)值不等式的解法

【解析】【分析】(1)根據(jù)和分段去絕對(duì)值求解不等式；

(2)結(jié)合a>0分析畫(huà)出草圖利用面積建立等量關(guān)系求出a.

29．【答案】（1）當(dāng)a=0時(shí)，此時(shí)，

∴的定義域?yàn)椋?/p>

∴，

若此時(shí)為奇函數(shù)，則，

即，故不存在實(shí)數(shù)c使得為奇函數(shù).

（2）由函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)，∴，解得c=1，

令，則，則

∵的圖像與軸負(fù)半軸有兩個(gè)交點(diǎn)

∴方程在x軸負(fù)半軸有兩個(gè)解.

∴，解得

又∵，此時(shí)，解得

綜上所述：a的取值范圍為

【知識(shí)點(diǎn)】奇函數(shù)；一元二次方程的解集及其根與系數(shù)的關(guān)系

【解析】【分析】(1)由奇函數(shù)定義先得出定義域，計(jì)算是否為0即可判斷；

(2)有函數(shù)交點(diǎn)分析轉(zhuǎn)化成方程根的分析問(wèn)題，即分析分子二次函數(shù)部分的根分布情況及考慮分母不為0情況即得答案.

30．【答案】（1）當(dāng)時(shí)，此時(shí)單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，.此時(shí)與均單調(diào)遞減，所以單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，令則，

∴當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增。

綜上所述：當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，當(dāng)，單調(diào)遞減；當(dāng)，單調(diào)遞增。

（2）要證當(dāng)時(shí)，，只需證，

由（1）知，即證，

當(dāng)時(shí)，恒成立，

令，則只需證，

，易知單調(diào)遞增，且，

所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增。

所以.

綜上所述，當(dāng)時(shí)，

【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件

【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，分類討論a的常規(guī)正負(fù)三種分類情形，結(jié)合基本函數(shù)單調(diào)性與求導(dǎo)分析即得答案。

(2)將條件轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題，求導(dǎo)分析函數(shù)單調(diào)性得出極值。

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2023年高考數(shù)學(xué)真題分類匯編1：集合、邏輯用語(yǔ)、函數(shù)、初等函數(shù)

一、填空題

1．（2023·全國(guó)甲卷）若為偶函數(shù)，則．

【答案】2

【知識(shí)點(diǎn)】偶函數(shù)

【解析】【解答】，

∵為偶函數(shù)

為使為偶函數(shù)，只需為偶函數(shù)，

，即

故答案為：2

【分析】先利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，由三角函數(shù)部分為偶函數(shù)，故只需二次函數(shù)部分為偶函數(shù)，從而得出的值。

2．（2023·全國(guó)甲卷）若為偶函數(shù)，則．

【答案】2

【知識(shí)點(diǎn)】偶函數(shù)

【解析】【解答】，

∵為偶函數(shù)

為使為偶函數(shù)，只需為偶函數(shù)，

，即

故答案為：2

【分析】先利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，由三角函數(shù)部分為偶函數(shù)，故只需二次函數(shù)部分為偶函數(shù)，從而得出的值。

3．（2023·天津卷）若函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為．

【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系

【解析】【解答】令，

①當(dāng)時(shí)，

即，整理得，

a)若是函數(shù)零點(diǎn)，則，解得；

b)若，此時(shí)，即方程只有一個(gè)解x=-1，

c)若，方程整理得

i)此時(shí)若是函數(shù)零點(diǎn)，則，解得；

ii)若，即，且成立，此時(shí)方程為重根，

同理②當(dāng)時(shí)，

即，整理得，

a)若是函數(shù)零點(diǎn)，則，解得；

b)若，此時(shí)，與矛盾，

c)若，方程整理得

i)此時(shí)若是函數(shù)零點(diǎn)，則，解得；

ii)若，即，則與矛盾，

綜上，

(1)當(dāng)時(shí)，此時(shí)使得成立，是函數(shù)零點(diǎn)；使得也是函數(shù)零點(diǎn)，

即當(dāng)時(shí)，函數(shù)零點(diǎn)分別是，；

(2)當(dāng)，，時(shí)，函數(shù)零點(diǎn)分別是-1，；

(3)當(dāng)時(shí)，函數(shù)零點(diǎn)是(-1)，此時(shí)不滿足題意，舍去；

(4)當(dāng)時(shí)，函數(shù)零點(diǎn)分別是-1，此時(shí)不滿足題意，舍去；

(5)當(dāng)時(shí)，函數(shù)零點(diǎn)分別是1，-1；

∴當(dāng)函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，；

故答案填：

【分析】令將零點(diǎn)轉(zhuǎn)化成方程根問(wèn)題，不妨先分類與去絕對(duì)值得到含參一元二次方程，對(duì)根的情況分析且檢驗(yàn)是否滿足分類前提得出零點(diǎn)存在時(shí)參數(shù)a的取值，對(duì)以上參數(shù)a分類整理即可得出答案.

4．（2023·全國(guó)乙卷）設(shè)，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是.

【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)恒成立問(wèn)題；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

【解析】【解答】∵函數(shù)在上單調(diào)遞增，

∴在上恒成立，

令，故只需證

則，

則在上單調(diào)遞增，且

∴，

即，

∴，即，解得或，

又∵

∴，

故答案為：

【分析】結(jié)合題意求導(dǎo)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成導(dǎo)函數(shù)大于0恒成立問(wèn)題，重新構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)分析計(jì)算該函數(shù)的最小值大于0即得答案.

5．（2023·上海卷）已知，則的值域是；

【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)；分段函數(shù)的應(yīng)用

【解析】【解答】當(dāng)即

故，即

故答案為：

【分析】由指數(shù)函數(shù)易得x>0的值域，結(jié)合x(chóng)≤0可得分段函數(shù)值域.

6．（2023·新高考Ⅰ卷）已知函數(shù)f(x)=cosωx1(ω>0)在區(qū)間[0，2π]有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則ω的取值范圍是.

【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系；函數(shù)y=Acos（ωx+φ）的圖象與性質(zhì)

【解析】【解答】令f(x)=cosωx1=0，則coswx=1，故該函數(shù)的交點(diǎn)可視作函數(shù)y=cosωx與y=1的在的交點(diǎn)

∵，則

結(jié)合余弦函數(shù)可知此時(shí)

∴，解得.

故答案為：

【分析】可將函數(shù)零點(diǎn)轉(zhuǎn)換為余弦型函數(shù)與y=1的交點(diǎn)即得答案。

二、選擇題

7．（2023·全國(guó)甲卷）設(shè)全集，集合，則（）

A．B．

C．D．

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】并集及其運(yùn)算；補(bǔ)集及其運(yùn)算

【解析】【解答】，

故選：A

【分析】先計(jì)算補(bǔ)集，再求并集即得答案.

8．（2023·全國(guó)甲卷）設(shè)集合，U為整數(shù)集，（）

A．B．

C．D．

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】集合的表示法；交集及其運(yùn)算；補(bǔ)集及其運(yùn)算

【解析】【解答】由已知分析可知A為被3除余1整數(shù)的集合，B為被3除余2整數(shù)的集合，

故當(dāng)全集為整數(shù)，此時(shí)為3的整數(shù)倍，即.

故選：A.

【分析】由分析可將描述法表示的集合轉(zhuǎn)化成被3整除問(wèn)題，進(jìn)而分析此時(shí)用整數(shù)集補(bǔ)的結(jié)果.

9．（2023·全國(guó)甲卷）已知函數(shù)．記，則（）

A．B．C．D．

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)；指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

【解析】【解答】，

關(guān)于對(duì)稱，

又在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，

由復(fù)合函數(shù)可知在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，

由關(guān)于對(duì)稱得

，，

由在單調(diào)遞增得

故選：A

【分析】對(duì)二次函數(shù)對(duì)稱性分析得出復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，利用對(duì)稱性將c轉(zhuǎn)化與a、b同一單調(diào)性，從而利用單調(diào)性比較函數(shù)值大小。

10．（2023·全國(guó)甲卷）“”是“”的（）

A．充分條件但不是必要條件

B．必要條件但不是充分條件

C．充要條件

D．既不是充分條件也不是必要條件

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷；同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系

【解析】【解答】若，

∵，

此時(shí)，即，

∴當(dāng)，此時(shí)不一定成立，充分性不成立；

反之，當(dāng)，，此時(shí)，必要性成立；

故選：B.

【分析】利用同角三角基本關(guān)系可將化簡(jiǎn)，結(jié)合條件的判斷可得出答案.

11．（2023·天津卷）已知集合，則（）

A．B．

C．D．

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】并集及其運(yùn)算；補(bǔ)集及其運(yùn)算

【解析】【解答】∵，

∴，

∴，

故選：A.

【分析】結(jié)合補(bǔ)集和并集對(duì)有限集運(yùn)算.

12．（2023·天津卷）“”是“”的（）

A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充分必要條件D．既不充分又不必要條件

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷

【解析】【解答】由，，

故由可以推出，

∴“”是“”的必要不充分條件.

故選：B.

【分析】根據(jù)已知條件化簡(jiǎn)結(jié)合條件的判斷即得答案.

13．（2023·天津卷）若，則的大小關(guān)系為（）

A．B．C．D．

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)；冪函數(shù)的性質(zhì)

【解析】【解答】由指數(shù)函數(shù)在R上單調(diào)遞增，

故，即，

由冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，

故，即，

∴，

故選：D.

【分析】由a、b同一底數(shù)結(jié)構(gòu)可利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較大小，結(jié)合特殊值1即可得出答案.

14．（2023·天津卷）函數(shù)的圖象如下圖所示，則的解析式可能為（）

A．B．

C．D．

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】奇函數(shù)；偶函數(shù)；基本不等式

【解析】【解答】根據(jù)圖象可知該函數(shù)為偶函數(shù)，

對(duì)A，，故該函數(shù)為奇函數(shù)，不符合題意，錯(cuò)誤；

對(duì)B，，故該函數(shù)為奇函數(shù)，不符合題意，錯(cuò)誤；

對(duì)C，，故此函數(shù)函數(shù)值均為正數(shù)，不符合題意，錯(cuò)誤；

故選：D.

【分析】由函數(shù)結(jié)合奇偶性判斷可排除A、B，對(duì)C得特殊結(jié)構(gòu)利用基本不等式得出函數(shù)值為大于0可排除，從而得出答案D.

15．（2023·全國(guó)乙卷）設(shè)集合，集合，，則（）

A．B．C．D．

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算

【解析】【解答】根據(jù)題意

對(duì)A，，則，符合題意，

對(duì)B，，則，不符合題意，

對(duì)C，，則，不符合題意，

對(duì)D，，則，不符合題意，

故選：A.

【分析】由交、并、補(bǔ)集的定義及運(yùn)算，逐項(xiàng)判斷可得答案.

16．（2023·全國(guó)乙卷）已知是偶函數(shù)，則（）

A．B．C．1D．2

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】偶函數(shù)；函數(shù)奇偶性的判斷

【解析】【解答】是偶函數(shù)，

恒成立，

不恒為0，

，解得.

當(dāng)時(shí)定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又滿足，為偶函數(shù)。

故選：D

【分析】根據(jù)偶函數(shù)定義進(jìn)行計(jì)算，再驗(yàn)證。

17．（2023·全國(guó)乙卷）函數(shù)存在3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的零點(diǎn)

【解析】【解答】由題意得

有三個(gè)零點(diǎn)，

有極大值和極小值且異號(hào)，.

令，解得，，

，解得

故選：B

【分析】有三個(gè)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為的極大值和極小值異號(hào)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)根且，。

18．（2023·全國(guó)乙卷）設(shè)全集，集合，則（）

A．B．

C．D．

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】并集及其運(yùn)算；補(bǔ)集及其運(yùn)算

【解析】【解答】由題意可得，

故選：A

【分析】根據(jù)題意先計(jì)算，再計(jì)算。

19．（2023·上海卷）在平面上，若曲線具有如下性質(zhì)：存在點(diǎn)，使得對(duì)于任意點(diǎn)，都有使得.則稱這條曲線為"自相關(guān)曲線".判斷下列兩個(gè)命題的真假（）.

（1）所有橢圓都是“自相關(guān)曲線".(2)存在雙曲線是“自相關(guān)曲線”.

A．(1)假命題；(2)真命題B．(1)真命題；(2)假命題

C．(1)真命題；(2)真命題D．(1)假命題；(2)假命題

【答案】（1）B

【知識(shí)點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用；圓錐曲線的綜合

【解析】【解答】①在橢圓中，如圖，若存在點(diǎn)M，使得對(duì)于任意點(diǎn)，都有使得.

不妨先以點(diǎn)M在x軸上分析，在M點(diǎn)從橢圓左頂點(diǎn)往x負(fù)半軸移動(dòng)時(shí)，必然存在，

以此M點(diǎn)為假設(shè)存在的點(diǎn)，∵P、Q均在橢圓上，且，，故對(duì)于任意點(diǎn)，都有使得.

由特殊到一般，由橢圓圖形取值為封閉圖形，即確定點(diǎn)M的位置后，其最小值與最大值是有限值，故對(duì)任意的情形依然存在且符合題意；

故所有的橢圓都是“自相關(guān)曲線"為真命題.

②同理，由確定點(diǎn)M位置后，結(jié)合雙曲線圖形特點(diǎn)，其最小值總是有限值，而最大值是無(wú)限的，所以不存在雙曲線是“自相關(guān)曲線”.

【分析】根據(jù)圓錐曲線圖形特點(diǎn)及取值分析判斷可得答案.

20．（2023·上海卷）已知，若且，則（）

A．B．C．D．

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】元素與集合關(guān)系的判斷

【解析】【解答】∵，若且

∴只有元素復(fù)合集合M，

故選：A

【分析】由元素和集合的關(guān)系得出符合條件的集合M.

21．（2023·新高考Ⅱ卷）設(shè)集合，若，則（）

A．2B．1C．D．-1

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】子集與真子集；集合關(guān)系中的參數(shù)取值問(wèn)題

【解析】【解答】，

當(dāng)時(shí)，，則，，不符合題意；

當(dāng)時(shí)，，則，，符合題意。

故選：B

【分析】根據(jù)，分別討論或的情況。

22．（2023·新高考Ⅱ卷）若為偶函數(shù)，則a=()

A．-1B．0C．D．-1

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】偶函數(shù)

【解析】【解答】根據(jù)題意易得函數(shù)定義域?yàn)?，即關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

為偶函數(shù)，

則有，即，解得。

檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，有，

時(shí)為偶函數(shù)。

故選：B

【分析】根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)在定義域范疇內(nèi)代值即得答案。

23．（2023·新高考Ⅰ卷）已知集合M={2，1，0，1，2}，N={x|x2x60}，則M∩N=（）

A．{2，1，0，1}B．{0，1，2}

C．{2}D．{2}

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】交集及其運(yùn)算；一元二次方程

【解析】【解答】∵，∴，∴，即，則。故選C

【分析】利用一元二次不等求解集合N，進(jìn)而求集合M與N的交集。

24．（2023·新高考Ⅰ卷）設(shè)函數(shù)在區(qū)間(0，1)單調(diào)遞減，則a的取值范圍是（）

A．(∞，2]B．[2，0)C．(0，2]D．[2，+∞)

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)；復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

【解析】【解答】∵為增函數(shù)，令

由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知，若在區(qū)間(0，1)單調(diào)遞減

只需在區(qū)間(0，1)單調(diào)遞減

由二次函數(shù)易得在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，

所以在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，

故，

即.

故選：D

【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，分別分析外函數(shù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和內(nèi)函數(shù)二次函數(shù)單調(diào)性即得答案。

25．（2023·新高考Ⅰ卷）噪聲污染問(wèn)題越來(lái)越受到重視，用聲壓級(jí)來(lái)度量聲音的強(qiáng)弱，定義聲壓級(jí)，其中常數(shù)是聽(tīng)覺(jué)下限間值，是實(shí)際聲壓.下表為不同聲源的聲壓級(jí)：

聲源與聲源的距離/m聲壓級(jí)/dB

燃油汽車1060~90

混合動(dòng)力汽車1050～60

電動(dòng)汽車1040

已知在距離燃油汽車、混合動(dòng)力汽車、電動(dòng)汽車處測(cè)得實(shí)際聲壓分別為，則（）

A．B．C．D．

【答案】A,C,D

【知識(shí)點(diǎn)】對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)；指、對(duì)數(shù)不等式的解法

【解析】【解答】由是增函數(shù)，故也是增函數(shù)，由表格可知，

即，則

同理可得，

A：由對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增，∵，∴，故A正確；

B：，∵，，∴，∴，即，故B錯(cuò)誤；

C：，則即，故C正確；

D：，∵，，∴，∴，即，故D正確.

故選：ACD

【分析】由對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性解不等式，逐項(xiàng)解答判斷即得答案。

26．（2023·新高考Ⅰ卷）已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f(xy)=y2f(x)+x2f(y)，則（）

A．f(0)=0B．f(1)=0

C．f(x)是偶函數(shù)D．