第二章

函

數(shù)§5成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學同步資源大全簡單QQ的群4冪8312函2854數(shù)(一)聯(lián)系QQ805889734加入百度網(wǎng)盤群

3500G一線老師必備資料一鍵轉(zhuǎn)存，自動更新，一勞永逸1.理解冪函數(shù)的概念；2.學會以簡單的冪函數(shù)為例研究函數(shù)性質(zhì)的方法；3.理解和掌握冪函數(shù)在第一象限的分類特征，能運用數(shù)形結(jié)合的方法處理冪函數(shù)有關問題.理解冪函數(shù)的概念；學會以簡單的冪函數(shù)為例研究函數(shù)性質(zhì)的方法；理解和掌握冪函數(shù)在第一象限的分類特征，能運用數(shù)形結(jié)合的方法處理冪函數(shù)有關問題.問題導學題型探究達標檢測學習目標知識點一冪函數(shù)的概念答案問題導學新知探究 點點落實y＝1，y＝x，y＝x2

三個函數(shù)有什么共同特征？思考

x答案

底數(shù)為x，指數(shù)為常數(shù).如果一個函數(shù)底數(shù)是自變量x，指數(shù)是常量α，即y＝xα，這樣的函數(shù)稱為冪函數(shù).知識點二 冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的圖像.1思考

如圖在同一坐標系內(nèi)作出函數(shù)(1)y＝x；(2)

y

=

x

2

;答案填寫下表：y＝xy＝x2y＝x31y

=

x

2y＝x－1定義域

R

R

R

[0，＋∞){x|x≠0}值域

R

[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y≠0}單調(diào)性增在[0，＋∞)上增加

，在(－∞，0]

上減少增增在(0，＋∞)上減少，在(－∞，0)

上減少答案返回根據(jù)上表，可以歸納一般冪函數(shù)特征：所有的冪函數(shù)在(0，＋∞)上都有定義，并且圖像都過點(1,1)

；α>0時，冪函數(shù)的圖像通過原點，并且在區(qū)間[0，＋∞)上是增函數(shù).特別地，當α>1時，冪函數(shù)的圖像下凸；當0<α<1時，冪函數(shù)的圖像上凸；α<0

時，冪函數(shù)的圖像在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù)；冪指數(shù)互為倒數(shù)的冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖像關于直線y＝x對稱；在第一象限，作直線x＝a(a>1)，它同各冪函數(shù)圖像相交，按交點從下到上的順序，冪指數(shù)按從小到大的順序排列.解析答案反思與感悟題型探究重點難點 個個擊破類型一 冪函數(shù)的概念2

m2

-1例1

已知

y

=

(m

+

2m

-

2)

x

+

2n

-

3

是冪函數(shù)，求m，n的值.解

由題意得m2＋2m－2＝1，2m

－1≠0，2n－3＝0，解得m＝－3，3n＝2，2所以m＝－3，n＝3.反思與感悟2

3這三個條件，才是冪函數(shù).如：y＝3x

，y＝(2x)，y＝

只有滿足函數(shù)解析式右邊的系數(shù)為1，底數(shù)為自變量x，指數(shù)為一常數(shù)x2

4都不是冪函數(shù).解析答案x2解析

∵y＝

1

＝x－2，所以是冪函數(shù)；跟蹤訓練1A.0在函數(shù)y＝

1

，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，冪函數(shù)的個數(shù)為(x2B.1

C.2

D.3y＝2x2由于出現(xiàn)系數(shù)2，因此不是冪函數(shù)；

y＝x2＋x是兩項和的形式，不是冪函數(shù)；

y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常函數(shù)y＝1的圖像比冪函數(shù)y＝x0的圖像多了一個點(0,1),所以常函數(shù)y＝1不是冪函數(shù).B

)解析答案類型二

冪函數(shù)的圖像及應用例

2

若點(

2，2)在冪函數(shù)

f(x)的圖像上，點(－2，1)在冪函數(shù)

g(x)的4圖像上，問當x

為何值時，(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)<g(x).反思與感悟解

設

f(x)＝xα，因為點(2，2)在冪函數(shù)f(x)的圖像上，所以，將點( 2，2)代入

f(x)＝xα

中，得

2＝(

2)α，解得α＝2，則f(x)＝x2.同理可求得g(x)＝x－2.在同一坐標系里作出函數(shù)f(x)＝x2和g(x)＝x－2的圖像(如圖所示)，觀察圖像可得：當x>1或x<－1時，f(x)>g(x)；當x＝1或x＝－1時，f(x)＝g(x)；(3)當－1<x<1且x≠0時，f(x)<g(x).反思與感悟反思與感悟注意本題中對f(x)>g(x)，f(x)＝g(x)的幾何解釋.這種幾何解釋幫助我們從圖形角度解讀不等式方程，是以后常用的方法.解析答案跟蹤訓練2

冪函數(shù)y＝xα(α≠0)，當α取不同的正數(shù)時，在區(qū)間[0,1]上它們的圖像是一簇美麗的曲線(如圖).設點A(1,0)，B(0,1)，連接AB，線段AB恰好被其中的兩個冪函數(shù)y＝xα，y＝xβ的圖像三等分，即有BM＝MN＝NA.B.2D.無法確定解析

由條件知，M(1，2)、N(2，1)，3

3

3

3∴

1

αβ

1

β

α1

2

α

2

1

β

2

α

1∴3＝(3)，3＝(3)，

(3)

＝[(3)]＝(3)＝3，∴αβ＝1.故選A.那么αβ等于(

A

)A.1C.3解析答案類型三 冪函數(shù)性質(zhì)的綜合應用任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，-1(1)探討函數(shù)

f

(

x)

=

x

2

的單調(diào)性.-1例3解

f

(

x)

=

x

2

的定義域為(0，＋∞).

1

1 則f(x2)－f(x1)＝x2-1

-12

-

x1

2

＝x

－

x

＝2

1x1－

x2x

x1

2＝x1－x2x1x2·(

x1＋

x2).x1＋

x2)>0，因為x2>x1>0，所以x1－x2<0，且

x1x2·

(于是f(x2)－f(x1)<0，即f(x2)<f(x1)，2在區(qū)間(0，＋∞)內(nèi)是減函數(shù).-1所以

f

(

x)

=

x解析答案(2)若解析-1

12

2-(a

+1)

<

(3

-

2a)

,2

在區(qū)間(0，＋∞)內(nèi)是減函數(shù).-1由(1)知

f(

x)

=

xa＋1>0，a＋1>3－2a，2

,等價于3－2a>0，-1-1所以(a

+1)

2

<

(3

-

2a)3解得2<a<

.3

2所以a

的取值范圍是(2，3).2

3則a的取值范圍是

3

2

.(

，

)3

2反思與感悟

本例第(2)問是核心問題，第(1)問是鋪墊，很多時候，我們會直接面對沒有第(1)問的第(2)問，這個時候需要我們主動構(gòu)造函數(shù)，并針對解題需要研究某方面的性質(zhì).反思與感悟解析答案跟蹤訓練3

已知冪函數(shù)21m

+mf

(

x)

=

x

(m

?

N

).＋(1)試確定該函數(shù)的定義域，并指明該函數(shù)在其定義域上的單調(diào)性；解

∵m∈N＋，∴m2＋m＝m×(m＋1)為偶數(shù).令m2＋m＝2k，k∈N＋，則f(x)＝2k

x，∴定義域為[0，＋∞)，在[0，＋∞)上f(x)為增函數(shù).解析答案返回解(2)若函數(shù)還經(jīng)過(2，2

)，試確定m的值，并求滿足f(2－a)>f(a－1)的實數(shù)a的取值范圍.1=

2m2

+m

,

∴m2＋m＝2，1 2

=

221解得m＝1或m＝－2(舍去)，\f

(x)=x

2

,由(1)知f(x)在定義域[0，＋∞)上為增函數(shù).∴f(2－a)>f(a－1)等價于2－a>a－1≥0，3解得1≤a<2.解析答案達標檢測1

2

3

4

5121.已知冪函數(shù)

f(x)＝k·xα

的圖像過點

，

22

，則

k＋α

等于(

)A.12B.1C.32D.2解析

由冪函數(shù)的定義知k＝1.

又f

12

＝

22，所以

12α＝

2

12

2，解得

α＝

，2從而k＋α＝3.C1

2

3

4

52A.16B.

1

16C.2

D.12答案2.已知冪函數(shù)

f(x)的圖像經(jīng)過點(2，

2)，則

f(4)的值等于(

D

)1

2

3

4

52A.1,3C.－1,3B.－1,1D.－1,1,33.設

α∈{－1,1，1，3}，則使函數(shù)

y＝xα

的定義域為

R

的所有

α

的值為(

A

)答案1

2

3

4

524.下列是y

=x

3的圖像的是(

B

)答案C.若冪函數(shù)y＝xα的圖像關于原點對稱，則y＝xα在定義域內(nèi)y隨x的增大而增大D.冪函數(shù)的圖像不可能在第四象限，但可能在第二象限1

2

3

4

5答案以下結(jié)論正確的是(

D

)當α＝0時，函數(shù)y＝xα的圖像是一條直線

B.冪函數(shù)的圖像都經(jīng)過(0,0)，(1,1)兩點返回規(guī)律與方法冪函數(shù)y＝xα(α∈R)，其中α為常數(shù)，其本質(zhì)特征是以冪的底x為自變量，指數(shù)α為常數(shù)，這是判斷一個函數(shù)是不是冪函數(shù)的重要依據(jù)和唯一標準.冪函數(shù)y＝x