河北省承德市隆化縣湯頭溝鎮(zhèn)湯頭溝中學(xué)高三數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知函數(shù)，則函數(shù)的增區(qū)間為（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：C2.求形如的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，我們常采用以下做法：先兩邊同取自然對(duì)數(shù)得：,再兩邊同時(shí)求導(dǎo)得，于是得到：，運(yùn)用此方法求得函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間是(

)

A．(e,4)

B．(3,6)

C．(0,e)

D．(2,3)參考答案：C3.已知函數(shù)f（x）=，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若關(guān)于x的方程f（x）﹣a|x|=0（a∈R）有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則函數(shù)y=f（x）﹣a的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(

)A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：C【考點(diǎn)】根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷．【專題】計(jì)算題；分類討論；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】由分段函數(shù)知需要討論，當(dāng)x≥0時(shí)，可得a=，x＞0；令g（x）=，從而求導(dǎo)g′（x）=；從而判斷函數(shù)的單調(diào)性及零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；當(dāng)x＜0時(shí)，方程f（x）﹣a|x|=0可化為﹣x（x+2e﹣a）=0，從而確定a的取值范圍；再按分段函數(shù)討論即可．【解答】解：①當(dāng)x≥0時(shí)，方程f（x）﹣a|x|=0可化為ex﹣ax=0，故a=，x＞0；令g（x）=，g′（x）=；故g（x）在（0，1）上是減函數(shù)，在（1，+∞）上是增函數(shù)；且g（1）=e；故當(dāng)a=e時(shí)，方程f（x）﹣a|x|=0在x≥0時(shí)有一個(gè)解，當(dāng)a＜e時(shí)，方程f（x）﹣a|x|=0在x≥0時(shí)沒有解，當(dāng)a＞e時(shí)，方程f（x）﹣a|x|=0在x≥0時(shí)有兩個(gè)解；②當(dāng)x＜0時(shí)，方程f（x）﹣a|x|=0可化為﹣x（x+2e﹣a）=0，故當(dāng)a＜2e時(shí)，方程f（x）﹣a|x|=0在x＜0時(shí)有一個(gè)解，當(dāng)a≥2e時(shí)，方程f（x）﹣a|x|=0在x＜0時(shí)沒有解；綜上所述，若關(guān)于x的方程f（x）﹣a|x|=0（a∈R）有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則e＜a＜2e；當(dāng)x＜0時(shí)，令f（x）﹣a=﹣x2﹣2ex﹣a=0，可化為x2+2ex+a=0，由判別式△=4e2﹣4a＞0，及根與系數(shù)的關(guān)系知，方程有兩個(gè)不同的負(fù)根；當(dāng)x≥0時(shí)，令f（x）﹣a=ex﹣a=0，故x=lna；故函數(shù)y=f（x）﹣a的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及分段函數(shù)的應(yīng)用，同時(shí)考查了根與系數(shù)的關(guān)系應(yīng)用．4.設(shè)集合，則A.

B.

C.

D.參考答案：B5.數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若，則S5等于(

) A．1 B． C． D．參考答案：B考點(diǎn)：數(shù)列的求和．專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．解答： 解：∵，∴…+==．∴．故選B．點(diǎn)評(píng)：熟練掌握“裂項(xiàng)求和”的方法是解題的關(guān)鍵．6.若點(diǎn)(a，b)在y＝lgx圖像上，a≠1，則下列點(diǎn)也在此圖像上的是()A．(，b)

B．(10a,1－b)C．(，b＋1)

D．(a2,2b)參考答案：D7.已知命題“若，，則集合”是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．

參考答案：題意即不等式在時(shí)有解.T令，則，又令，則的圖像是直線，不等式

有解的充要條件是，或T，或T，或T-7<m<0，或-1<m<0T-7<m<0.8.下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的是

(

）①與；②與；③與；④與。A．①②

B．①③

C．②④

D．①④參考答案：C9.函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(A)４

(B)３

(C)２

(D)１參考答案：B10.函數(shù)的圖象大致為

（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的圖像B6B8A解析：當(dāng)時(shí)，將的圖像向上平移一個(gè)單位即可；當(dāng)時(shí)，取的圖像即可，故選A.【思路點(diǎn)撥】由基本函數(shù)和的圖像即可求得分段函數(shù)的圖像.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)f(x)＝－sin2x＋sinxcosx，則f()的值為________．參考答案：012.已知函數(shù)f（x）=mx2+x+m+2在（﹣∞，2）上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是．參考答案：[﹣，0]考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：討論m=0時(shí)滿足題意；m≠0時(shí)，利用對(duì)稱軸與區(qū)間端點(diǎn)的關(guān)系得到關(guān)于m的不等式解之．解答：解：①m=0時(shí)，函數(shù)為f（x）=x+2，在（﹣∞，2）是增函數(shù)滿足題意；②m≠0時(shí)，要使已知函數(shù)在（﹣∞，2）上是增函數(shù)，只要，解得，∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是[，0]；故答案為：[﹣，0]．點(diǎn)評(píng)：本題考查了已知二次函數(shù)在某個(gè)區(qū)間的單調(diào)性，求參數(shù)問題；主要結(jié)合對(duì)稱軸與區(qū)間端點(diǎn)的位置解得．13.已知數(shù)列{an}滿足，Sn是其前n項(xiàng)和，若S2015=﹣1007﹣b，且a1b＞0，則的最小值為．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式；基本不等式．【專題】點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法．【分析】由已知遞推式得到a2+a3=﹣2，a4+a5=4，…，a2012+a2013=2012，a2014+a2015=﹣2014，累加可求S2015，結(jié)合S2015=﹣1007﹣b求得a1+b=1，代入展開后利用基本不等式求最值．【解答】解：由已知得：a2+a3=﹣2，a4+a5=4，…，a2012+a2013=2012，a2014+a2015=﹣2014，把以上各式相加得：S2015﹣a1=﹣2014+1006=﹣1008，∴S2015=a1﹣1008=﹣1007﹣b，即a1+b=1，∴=．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)列遞推式，考查了累加法求數(shù)列的和，訓(xùn)練了利用基本不等式求最值，是中檔題．14.AB是圓C：x2+（y﹣1）2=1的直徑，P是橢圓E：+y2=1上的一點(diǎn)，則的取值范圍是

．參考答案：[﹣1，]

【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】由，，得=（）?（===x2+（y﹣1）2﹣1=x2+y2﹣2y=﹣3y2﹣2y+4再結(jié)合y的范圍即可求出結(jié)論【解答】解：設(shè)P（x，y），∵，，∴=（）?（===x2+（y﹣1）2﹣1=x2+y2﹣2y=﹣3y2﹣2y+4∵y∈[﹣1，1]，∴﹣3y2﹣2y+4，∴的取值范圍是：[﹣1，]．故答案為：[﹣1，]【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查橢圓的基本性質(zhì)，向量數(shù)量積的基本運(yùn)算技巧，選好基底是解決向量問題的基本技巧之一，及二次函數(shù)的值域問題，屬于中檔題，15.設(shè)

.參考答案：-116.若單位向量滿足，則向量的夾角的余弦值為．參考答案：【考點(diǎn)】9R：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】設(shè)向量，的夾角為θ，根據(jù)向量的數(shù)量積公式計(jì)算即可．【解答】解：∵，∴，∵為單位向量，即，∴4﹣4cosθ+1=2，∴．故答案為：．17.如圖所示梯子結(jié)構(gòu)的點(diǎn)數(shù)依次構(gòu)成數(shù)列{an}，則________.參考答案：5252【分析】根據(jù)圖像歸納，根據(jù)等差數(shù)列求和公式得到答案.【詳解】根據(jù)圖像：，，故，故.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.甲乙兩支排球隊(duì)進(jìn)行比賽，先勝3局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結(jié)束．除第五局甲隊(duì)獲勝的概率是，其余每局比賽甲隊(duì)獲勝的概率都是．設(shè)各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立．（1）分別求甲隊(duì)3：0，3：1，3：2勝利的概率；（2）若比賽結(jié)果3：0或3：1，則勝利方得3分，對(duì)方得0分；若比賽結(jié)果為3：2，則勝利方得2分，對(duì)方得1分，求乙隊(duì)得分X的分布列及數(shù)學(xué)期望．參考答案：解：（1）甲隊(duì)獲勝有三種情形，其每種情形的最后一局肯定是甲隊(duì)勝①3：0，概率為P1=（）3=；②3：1，概率為P2=C（）2×（1﹣）×=；③3：2，概率為P3=C（）2×（1﹣）2×=∴甲隊(duì)3：0，3：1，3：2勝利的概率：．（2）乙隊(duì)得分X，則X的取值可能為0，1，2，3．由（1）知P（X=0）=P1+P2=；P（X=1）=P3=；P（X=2）=C（1﹣）2×（）2×=；P（X=3）=（1﹣）3+C（1﹣）2×（）×=；則X的分布列為X3210PE（X）=3×+2×+1×+0×=．考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差．專題：概率與統(tǒng)計(jì)．分析：（1）甲隊(duì)獲勝有三種情形，①3：0，②3：1，③3：2，其每種情形的最后一局肯定是甲隊(duì)勝，分別求出相應(yīng)的概率，最后根據(jù)互斥事件的概率公式求出甲隊(duì)獲得這次比賽勝利的概率；（2）X的取值可能為0，1，2，3，然后利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式求出相應(yīng)的概率，列出分布列，最后根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式解之即可．解答：解：（1）甲隊(duì)獲勝有三種情形，其每種情形的最后一局肯定是甲隊(duì)勝①3：0，概率為P1=（）3=；②3：1，概率為P2=C（）2×（1﹣）×=；③3：2，概率為P3=C（）2×（1﹣）2×=∴甲隊(duì)3：0，3：1，3：2勝利的概率：．（2）乙隊(duì)得分X，則X的取值可能為0，1，2，3．由（1）知P（X=0）=P1+P2=；P（X=1）=P3=；P（X=2）=C（1﹣）2×（）2×=；P（X=3）=（1﹣）3+C（1﹣）2×（）×=；則X的分布列為X3210PE（X）=3×+2×+1×+0×=．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，以及離散型隨機(jī)變量的期望與分布列，同時(shí)考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題19.（本小題滿分12分）如圖，在六面體中，平面∥平面，平面，,,∥，且,．

（1）求證：平面平面；

（2）求證：∥平面；（3）求三棱錐的體積．參考答案：解:（1）∵平面∥平面，平面平面,平面平面.,∴為平行四邊形，.

…………2分平面,平面，平面,∴平面平面.

…………4分

（2）取的中點(diǎn)為，連接、，則由已知條件易證四邊形是平行四邊形，∴，又∵，∴

…………6分

∴四邊形是平行四邊形，即，又平面

故平面.

…………8分（3）平面∥平面，則F到面ABC的距離為AD.＝.…………12分略20.（本小題滿分14分）設(shè)函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí),求函數(shù)在上的最小值和最大值．參考答案：…………1分(1)當(dāng)時(shí)恒成立,∴的單調(diào)遞增區(qū)間為R.…………4分（2）當(dāng)時(shí)，，其開口向上，對(duì)稱軸，且過（i）當(dāng)，即時(shí)，，在上單調(diào)遞增，從而當(dāng)時(shí)，取得最小值,當(dāng)時(shí)，取得最大值.…………7分（ii）當(dāng)，即時(shí)，令解得：,注意到,(注：可用韋達(dá)定理判斷，,從而；或者由對(duì)稱結(jié)合圖像判斷)…………10分，的最小值,的最大值綜上所述，當(dāng)時(shí)，的最小值,最大值……14分解法2（2）當(dāng)時(shí)，對(duì)，都有，故…………8分故，…………12分而，所以，…………14分21.（12分）已知函數(shù)

（1）求的定義域；

（2）已知的值.參考答案：解：（1）……3分由得故……6分（2）因?yàn)楣省?分……12分22.某中學(xué)利用周末組織教職員工進(jìn)行了一次秋季登山健身的活動(dòng)，有N人參加，現(xiàn)將所有參加者按年齡情況分為[20，25），[25，30），[30，35），[35，40），[40，45），[45，50），[50，55）等七組，其頻率分布直方圖如下所示．已知[35，40）這組的參加者是8人．（1）求N和[30，35）這組的參加者人數(shù)N1；（2）已知[30，35）和[35，40）這兩組各有2名數(shù)學(xué)教師，現(xiàn)從這兩個(gè)組中各選取2人擔(dān)任接待工作，設(shè)兩組的選擇互不影響，求兩組選出的人中都至少有1名數(shù)學(xué)老師的概率；（3）組織者從[45，55）這組的參加者（其中共有4名女教師，其余全為男教師）中隨機(jī)選取3名擔(dān)任后勤保障工作，其中女教師的人數(shù)為x，求x的分布列和均值．參考答案：【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差；頻率分布直方圖；離散型隨機(jī)變量及其分布列．【分析】（1）先求出年齡在[35，40）內(nèi)的頻率，由此能求出總?cè)藬?shù)和[30，35）這組的參加者人數(shù)N1．（2）記事件B為“從年齡在[30，35]之間選出的人中至少有1名數(shù)學(xué)教師”，記事件C為“從年齡在[35，40）之間選出的人中至少有1名數(shù)學(xué)教師”，分別求出P（B），P（C），由此能求出兩組選出的人中都至少有1名數(shù)學(xué)老師的概率．（3）年齡在[45，55）之間的人數(shù)為6人，其中女教師4人，ξ的可能取值為1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．【解答】解：（1）∵年齡在[35，40）內(nèi)的頻率為0.04×5=0.2，∴總?cè)藬?shù)N==40人．∵[30，35）這組的頻率為：1﹣（0.01×2+0.02+0.03×2+0.04）×