專題02分解因式【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)1：十字相乘法要點(diǎn)一、十字相乘法利用十字交叉線來分解系數(shù)，把二次三項(xiàng)式分解因式的方法叫做十字相乘法.對于二次三項(xiàng)式，若存在，則.要點(diǎn)詮釋：（1）在對分解因式時(shí)，要先從常數(shù)項(xiàng)的正、負(fù)入手，若，則、同號(hào)(若，則、異號(hào))，然后依據(jù)一次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)再確定、的符號(hào)；（2）若中的為整數(shù)時(shí)，要先將分解成兩個(gè)整數(shù)的積(要考慮到分解的各種可能)，然后看這兩個(gè)整數(shù)之和能否等于，直到湊對為止.要點(diǎn)二、首項(xiàng)系數(shù)不為1的十字相乘法在二次三項(xiàng)式(≠0)中，如果二次項(xiàng)系數(shù)可以分解成兩個(gè)因數(shù)之積，即，常數(shù)項(xiàng)可以分解成兩個(gè)因數(shù)之積，即，把排列如下：按斜線交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三項(xiàng)式的一次項(xiàng)系數(shù)，即，那么二次三項(xiàng)式就可以分解為兩個(gè)因式與之積，即.要點(diǎn)詮釋：（1）分解思路為“看兩端，湊中間”（2）二次項(xiàng)系數(shù)一般都化為正數(shù)，如果是負(fù)數(shù)，則提出負(fù)號(hào)，分解括號(hào)里面的二次三項(xiàng)式，最后結(jié)果不要忘記把提出的負(fù)號(hào)添上.知識(shí)點(diǎn)2：提取公因式法與分組分解法1、提取公因式法：如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)含有公因式，那么就可以把這個(gè)公因式提到括號(hào)外面，把多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成公因式與另一個(gè)多項(xiàng)式的積的形，這種因式分解的方法叫做提公因式法。2、符號(hào)語言：3、提公因式的步驟：（1）確定公因式（2）提出公因式并確定另一個(gè)因式（依據(jù)多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式）4、注意事項(xiàng)：因式分解一定要徹底知識(shí)點(diǎn)3：關(guān)于x的二次三項(xiàng)式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解若關(guān)于x的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是、，則二次三項(xiàng)式就可分解為.【題型歸納目錄】題型一：十字相乘法題型二：提取公因式法與分組分解法題型三：關(guān)于x的二次三項(xiàng)式的因式分解【典例例題】題型一：十字相乘法例1．（2023·安徽滁州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）由多項(xiàng)式乘法：，將該式從右到左使用，即可得到“十字相乘法”進(jìn)行因式分解的公式：．示例：分解因式：．(1)嘗試：分解因式：__________________；(2)應(yīng)用：請用上述方法解方程：．【解析】（1），故答案為：2，5；（2）原方程可化為，∴或，解得：，．例2．（2023·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）閱讀材料：根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則，我們很容易計(jì)算：；．而因式分解是與整式乘法方向相反的變形，利用這種關(guān)系可得：；．通過這樣的關(guān)系我們可以將某些二次項(xiàng)系數(shù)是1的二次三項(xiàng)式分解因式．如將式子分解因式．這個(gè)式子的二次項(xiàng)系數(shù)是，常數(shù)項(xiàng)，一次項(xiàng)系數(shù)，可以用下圖十字相乘的形式表示為：先分解二次項(xiàng)系數(shù)，分別寫在十字交叉線的左上角和左下角；再分解常數(shù)項(xiàng)，分別寫在十字交叉線的右上角和右下角；然后交叉相乘，求和，使其等于一次項(xiàng)系數(shù)，然后橫向書寫．這樣，我們就可以得到：．利用這種方法，將下列多項(xiàng)式分解因式：(1)；(2)；(3)；(4)．【解析】（1）∵，，∴；故答案為：；（2）∵，，∴；故答案為：；（3）∵，，∴；故答案為：；（4）∵，，∴；故答案為：．例3．（2023·江蘇·七年級(jí)期中）閱讀理解完成任務(wù)：教材第121頁閱讀與思考中有一種因式分解的方法叫十字相乘法，書中描述分解因式的過程如下：先分解二次項(xiàng)系數(shù)，分別寫在十字交叉線的左上角和左下角；再分解常數(shù)項(xiàng)，分別寫在十字交叉線的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代數(shù)和，使其等于一次項(xiàng)系數(shù)（如分解圖），這樣，我們就可以得到：某同學(xué)看完教材沒完全懂，問老師后就懂了，老師講解如下：利用十字相乘法分解，首先分解二次項(xiàng)系數(shù)6，可分解為或或或，分別寫在十字交叉線的左上角和左下角；再分解常數(shù)項(xiàng)－3，可分解為或，分別寫在十字交叉線的右上角和右下角；然后交叉相乘，這樣就會(huì)出現(xiàn)16種情況（如下分解圖），求代數(shù)和等于一次項(xiàng)系數(shù)7，符合分解的分解圖有2種情況（就是方框框起的兩種情況）．所以得到：或．十字相乘法公式：（其中，a，b，c，d為常數(shù)）閱讀以上材料，完成以下任務(wù)：請用十字相乘法分解下列多項(xiàng)式，要求寫出一種符合分解的分解圖．(1)(2)【解析】（1）分解圖如下：∴；（2）分解圖如下：∴．變式1．（2023·全國·八年級(jí)期末）仔細(xì)閱讀下面例愿，并解答問思：已知二次三項(xiàng)式有一個(gè)因式是，求另一個(gè)因式以及m的值．參考答案設(shè)另一個(gè)因式為，得，則，解得：．另一個(gè)因式為．(1)若二次三項(xiàng)式可分解為，則；(2)若二次三項(xiàng)式可分解為，則；(3)已知二次三項(xiàng)式有一個(gè)因式是，求另一個(gè)因式以及k的值．【解析】（1）由題意得：，所以，所以，解得，故答案為：4．（2）由題意得：，所以，所以，故答案為：1．（3）設(shè)另一個(gè)因式為，則，所以，所以，，解得，，所以另一個(gè)因式是，的值為．變式2．（2023·湖南邵陽·七年級(jí)統(tǒng)考期中）閱讀理解題：由多項(xiàng)式乘法：，將該式從右到左使用，即可得到因式分解的公式：．示例：分解因式：分解因式：多項(xiàng)式的特征是二次項(xiàng)系數(shù)為1，常數(shù)項(xiàng)為兩數(shù)之積，一次項(xiàng)系數(shù)為這兩數(shù)之和．(1)嘗試：分解因式：(2)應(yīng)用：請用上述方法將多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解．【解析】（1），故答案為：2，4或4，2；（2）．變式3．（2023·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）閱讀下列材料：將一個(gè)形如的二次三項(xiàng)式因式分解時(shí)，如果能滿足且，則可以把因式分解成．例如：（1）；（2）．根據(jù)材料，把下列式子進(jìn)行因式分解．(1)；(2)；(3)．【解析】（1）；（2）；（3）．題型二：提取公因式法與分組分解法例4．（2023·新疆喀什·統(tǒng)考三模）分解因式______．【答案】【解析】原式，故答案為：．例5．（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考三模）若，，則__________．【答案】【解析】∵，，∴，故答案為：．例6．（2023·安徽黃山·?？家荒＃┓纸庖蚴剑篲______．【答案】【解析】．故答案為：．變式4．（2023·廣東廣州·廣州市南武中學(xué)?？级＃┓纸庖蚴剑篲_____．【答案】【解析】．故答案為：．變式5．（2023·安徽蚌埠·?？家荒＃┓纸庖蚴剑篲________．【答案】【解析】．故答案為：．變式6．（2023·四川內(nèi)江·?？家荒＃┓纸庖蚴剑篲____________．【答案】【解析】，故答案為：．變式7．（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）當(dāng)時(shí)，代數(shù)式__________【答案】【解析】∵，，∴．故答案為：0．變式8．（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）分解因式：=___________【答案】【解析】故答案為：．變式9．（2023·山東聊城·統(tǒng)考一模）分解因式：_____【答案】【解析】，故答案為：.題型三：關(guān)于x的二次三項(xiàng)式的因式分解例7．（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）分解因式：(1)；(2)．【解析】（1）；（2）．例8．（2023·河北張家口·校考模擬預(yù)測）問題情景：將下列完全平方式進(jìn)行因式分解，將結(jié)果直接寫在橫線上．；；__________；探究發(fā)現(xiàn)：觀察以上多項(xiàng)式，發(fā)現(xiàn)：；；；歸納猜想：若多項(xiàng)式是完全平方式，則a，b，c之間存在的數(shù)量關(guān)系為；驗(yàn)證結(jié)論：嘉琪驗(yàn)證歸納猜想中的結(jié)論的過程如下，請補(bǔ)全嘉琪的驗(yàn)證過程；____________________∵是完全平方式，∴__________，即．解決問題：①若多項(xiàng)式是一個(gè)完全平方式，求n的值；②若多項(xiàng)式加上一個(gè)含字母y的單項(xiàng)式就能變形為一個(gè)完全平方式，請直接寫出所有滿足條件的單項(xiàng)式．【解析】問題情境：，故答案為：．驗(yàn)證結(jié)論：∵是完全平方式，∴，即．故答案為：；（或）；（或）；解決問題：①∵多項(xiàng)式是一個(gè)完全平方式，∴，解得：；②當(dāng)添加的含字母y的單項(xiàng)式為中間項(xiàng)時(shí)，∵，∴此時(shí)需要添加的單項(xiàng)式為或；當(dāng)添加的含字母y的單項(xiàng)式為平方項(xiàng)時(shí)，∵，∴此時(shí)需要添加的單項(xiàng)式為；綜上分析可知，需要添加的含y的單項(xiàng)式為，或．例9．（2023·浙江溫州·七年級(jí)校考階段練習(xí)）已知關(guān)于x的多項(xiàng)式因式分解后有一個(gè)因式是．(1)求m的值；(2)將該多項(xiàng)式因式分解．【解析】（1）∵x的多項(xiàng)式分解因式后有一個(gè)因式是，當(dāng)時(shí)多項(xiàng)式的值為0，即，∴，∴；（2）∵，∴．變式10．（2023·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）分解因式(1)．(2)(3)【解析】（1）∵，∴原式．（2）∵，∴原式．（3）∵∴原式．變式11．（2023·江蘇無錫·七年級(jí)宜興市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┓纸庖蚴剑?1)；(2)．【解析】（1）原式；（2）原式．變式12．（2023·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）因式分(1)(2)(3)【解析】（1）；（2）；（3）．【過關(guān)測試】一、單選題1．（2023·陜西西安·八年級(jí)交大附中分校?？计谥校┒囗?xiàng)式可因式分解成，其中a、b均為整數(shù)，則ab的值為（

）A． B． C．6 D．5【答案】B【解析】∵∴，即．故選：B．2．（2023·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校?？奸_學(xué)考試）下列各式由左邊到右邊的變形中，是因式分解的為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】A、等式從左邊到右邊屬于整式的乘法，不是因式分解，故此選項(xiàng)不符合題意；B、等式的右邊不是整式積的形式，不是因式分解，故此選項(xiàng)不符合題意；C、等式從左邊到右邊把一個(gè)多項(xiàng)式化成整式積的形式，符合因式分解的定義，故此選項(xiàng)符合題意；D、等式的右邊不是整式積的形式，不是因式分解，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：C．3．（2023·江蘇無錫·七年級(jí)無錫市江南中學(xué)校考期中）下列各式從左邊到右邊的變形，是因式分解且分解正確的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】A．，從等式的左邊到右邊的變形屬于整式乘法，不屬于因式分解，故本選項(xiàng)不符合題意；B．，從左邊到右邊的變形屬于因式分解，故本選項(xiàng)符合題意；C．，因式分解錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)不符合題意；D．，等式的右邊不是幾個(gè)整式的積的形式，不屬于因式分解，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：B．4．（2023·陜西西安·校考模擬預(yù)測）下列因式分解正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】A、不能進(jìn)行因式分解，不符合題意；B、，因式分解正確，符合題意；C、，因式分解錯(cuò)誤，不符合題意；D、，因式分解錯(cuò)誤，不符合題意；故選：B．5．（2023·廣東深圳·校考二模）下列說法正確的是（

）A．五邊形的外角和是B．對角線相等且互相垂直的四邊形是正方形C．因式分解是正確的D．關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根【答案】D【解析】五邊形的外角和是，A錯(cuò)誤，故不符合要求；對角線相等且互相垂直平分的四邊形是正方形，B錯(cuò)誤，故不符合要求；，C錯(cuò)誤，故不符合要求；由，可得，則關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，D正確，故符合要求；故選：D．6．（2023·河北滄州·模擬預(yù)測）若，則的值為（

）A．10 B．6 C．5 D．3【答案】D【解析】∵，∴，即∴，解得：．故選D．7．（2023·安徽安慶·校聯(lián)考一模）下列各式中能用完全平方公式因式分解的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】A、不符合完全平方公式的特點(diǎn)，故不符合題意；B、不符合完全平方公式的特點(diǎn)，故不符合題意；C、，用平方差公式分解，故不符合題意；D、，用完全平方公式分解，故符合題意；故答案為：D．8．（2023·安徽蕪湖·統(tǒng)考三模）已知三個(gè)實(shí)數(shù)，，，滿足，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．， B．， C． D．【答案】D【解析】∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴或，即或，故A、B結(jié)論錯(cuò)誤，不符合題意；∵，∴，故C結(jié)論錯(cuò)誤，不符合題意，D結(jié)論正確，符合題意；故選D．9．（2023·山東棗莊·校考一模）已知、、為三邊，且關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則這個(gè)三角形是(

)A．等邊三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．不等三角形【答案】C【解析】∵關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴，即∴∴或∴這個(gè)三角形是等腰三角形，故選：C．10．（2023·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如果能被整除，則的值是（

）A．2 B． C．3 D．【答案】A【解析】∵∴能被整除，即是方程的根，∴，解得，∴，∴，故選A．二、填空題11．（2023·江西吉安·統(tǒng)考一模）已知方程的兩個(gè)解分別為，則的值為_______．【答案】【解析】∵方程的兩個(gè)解分別為，∴，，．故答案為：．12．（2023·江蘇宿遷·模擬預(yù)測）若多項(xiàng)式能分解成兩個(gè)一次因式的積，且其中一個(gè)次因式，則a的值為_______________【答案】【解析】∵多項(xiàng)式能分解成兩個(gè)一次因式的積，且其中一個(gè)次因式，∵．∴．∴．故答案為-7．13．（2023·安徽蚌埠·?？寄M預(yù)測）分解因式：______．【答案】【解析】．14．（2023·江蘇·模擬預(yù)測）因式分__________.【答案】【解析】，，．故答案是．15．（2023·黑龍江綏化·校考二模）分解因式____________________．【答案】【解析】，故答案為：．三、解答題16．（2023·河北石家莊·石家莊市第四十中學(xué)校考二模）數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常見互逆運(yùn)算，例如加法和減法互為逆運(yùn)算，乘法和除法互為逆運(yùn)算，分解因式和整式乘法也是互逆運(yùn)算．請回答下列問題：(1)是因式分解的_________（在括號(hào)內(nèi)寫序號(hào)）；(2)小紅是一名密碼編譯愛好者，在她的密碼手冊中，有這樣一條信息：分別對應(yīng)下列六個(gè)字：四、愛、學(xué)、中、我、十．現(xiàn)將因式分解，結(jié)果呈現(xiàn)的密碼信息可能是哪四個(gè)字？【解析】（1）②③（2）提取公因式，利用平方差公式得：，所以對應(yīng)的四個(gè)字可能是“我愛四十”．17．（2023·河北邯鄲·?？既＃┤绻粋€(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個(gè)正整數(shù)為“神秘?cái)?shù)”．如，，．因此，、、這三個(gè)數(shù)都是神秘?cái)?shù)．(1)驗(yàn)證和這兩個(gè)數(shù)是否為神秘?cái)?shù)；(2)設(shè)兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)為和（其中k取非負(fù)整數(shù)），由這兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的神秘?cái)?shù)是的倍數(shù)嗎?請說明理由．【解析】（1）∵∴和這兩個(gè)數(shù)都是神秘?cái)?shù)；（2）是，理由如下∵這兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的神秘?cái)?shù)為∵取非負(fù)整數(shù)∴由和造的神秘?cái)?shù)是的倍數(shù)18．（2023·河北唐山·統(tǒng)考二模）填空：；；_______；發(fā)現(xiàn)：兩個(gè)連續(xù)正偶數(shù)的平方差一定能被4整除；論證：設(shè)“發(fā)現(xiàn)”中的兩個(gè)正偶數(shù)中較小的為（n為正整數(shù)），請論證“發(fā)現(xiàn)”中的結(jié)論；應(yīng)用：請將36表示成兩個(gè)連續(xù)正偶數(shù)的平方差．【解析】；論證：，∵n為正整數(shù)，∴兩個(gè)連續(xù)正偶數(shù)的平方差一定能被4整除，應(yīng)用：．19．（2023·湖南衡陽·九年級(jí)統(tǒng)考期中）先化簡，再求值：已知，．求代數(shù)式的值．【解析】∵，∴∴20．（2023·河北石家莊·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在一次數(shù)學(xué)課上，張老師對大家說：“你任意想一個(gè)非零有理數(shù)，然后按下列步驟操作，去運(yùn)算出最后結(jié)果．”操作步驟如下：第一步：計(jì)算這個(gè)數(shù)與1的和的平方，減去這個(gè)數(shù)與1的差的平方；第二步：把第一步得到的數(shù)乘以25；第三步：把第二步得到的數(shù)除以你想的這個(gè)數(shù)．(1)若嘟嘟同學(xué)心里想的是數(shù)，請你計(jì)算出最后結(jié)果；(2)老師說：“同學(xué)們，無論你們心里想的是什么非零數(shù)，按照以上步驟進(jìn)行操作，得到的最后結(jié)果都相等．”雯雯想驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論，于是，設(shè)心里想的數(shù)是，請你幫雯雯完成這個(gè)驗(yàn)證過程．【解析】（1）（2）由題意得，∴最后的結(jié)果為100，結(jié)論得證．21．（2023·河北石家莊·統(tǒng)考二模）嘉淇