湖南省永州市寧遠第八中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)理月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.在數(shù)列{an}中，an+1=can（c為非零常數(shù)）且前n項和Sn=3n+k，則k等于（）A．﹣1 B．1 C．0 D．2參考答案：A【考點】等比數(shù)列的通項公式；等比數(shù)列的前n項和．【分析】由遞推式可知給出的數(shù)列是等比數(shù)列，寫出等比數(shù)列的前n項和公式后，結(jié)合給出的數(shù)列的前n項和即可得到結(jié)論．【解答】解：由an+1=can，得，所以數(shù)列{an}是等比數(shù)列，因為當公比不等于1時等比數(shù)列的前n項和Sn=，而Sn=3n+k，由此可知k=﹣1．故選A．2.Rt△ABC的三個頂點在半徑為13的球面上，兩直角邊的長分別為6和8，則球心到平面ABC的距離是（）A．5 B．6 C．10 D．12參考答案：D【考點】點、線、面間的距離計算．【分析】利用已知條件可計算出Rt△ABC的斜邊長，根據(jù)斜邊是Rt△ABC所在截面的直徑，進而可求得球心到平面ABC的距離．【解答】解：Rt△ABC的斜邊長為10，且斜邊是Rt△ABC所在截面的直徑，球心到平面ABC的距離是d=，故選D．3.把正整數(shù)按下列方式分組：(1)，(2，3)，(4，5，6)，…，其中第n組有n個整數(shù)，記

為第n組的n個整數(shù)之和，則等于

A．3439

B．3990

C．4010

D．4641參考答案：C4.已知O為坐標原點，直線與圓分別交于A,B兩點．若，則實數(shù)的值為（

）.A．1 B．

C． D．參考答案：D略5.已知二面角α-l-β為

，動點P、Q分別在面α、β內(nèi)，P到β的距離為，Q到α的距離為，則P、Q兩點之間距離的最小值為

A.

B.2

C.

D.4參考答案：C略6.用反證法證明命題：“,,,且,則中至少有一個負數(shù)”時的假設(shè)為(

)A．中至少有一個正數(shù)

B．全都大于等于0C．全為正數(shù)

D．中至多有一個負數(shù)參考答案：C7.下列說法正確的是(

)①必然事件的概率等于1；

②互斥事件一定是對立事件；③球的體積與半徑的關(guān)系是正相關(guān)；

④汽車的重量和百公里耗油量成正相關(guān)A、①②

B、①③

C、①④

D、③④參考答案：C8.把15個相同的小球放到三個編號為1,2,3的盒子中，且每個盒子內(nèi)的小球數(shù)要多于盒子的編號數(shù)，則共有多少種放法（

）A.18 B.28 C.38 D.42參考答案：B【分析】根據(jù)題意，先在1號盒子里放1個球，在2號盒子里放2個球，在3號盒子里放3.個球，則原問題可以轉(zhuǎn)化為將剩下的9個小球，放入3個盒子，每個盒子至少放1個的問題，由擋板法分析可得答案．【詳解】根據(jù)題意，15個相同的小球放到三個編號為1,2,3的盒子中，且每個盒子內(nèi)的小球數(shù)要多于盒子的編號數(shù)，先在1號盒子里放1個球，在2號盒子里放2個球，在3號盒子里放3個球，則原問題可以轉(zhuǎn)化為將剩下的9個小球，放入3個盒子，每個盒子至少放1個的問題，將剩下的9個球排成一排，有8個空位，在8個空位中任選2個，插入擋板，有種不同的放法，即有28個不同的符合題意的放法；故選B．【點睛】本題考查排列、組合的應(yīng)用，關(guān)鍵是將原問題轉(zhuǎn)化為將個球放入個盒子的問題，屬于基礎(chǔ)題．9.拋物線y=x2上一點到直線2x﹣y﹣4=0的距離最短的點的坐標是（）A．（1，1） B．（） C． D．（2，4）參考答案：A【考點】拋物線的簡單性質(zhì)．【分析】設(shè)拋物線y=x2上一點為A（x0，），點A（x0，）到直線2x﹣y﹣4=0的距離d==，由此能求出拋物線y=x2上一點到直線2x﹣y﹣4=0的距離最短的點的坐標．【解答】解：設(shè)拋物線y=x2上一點為A（x0，），點A（x0，）到直線2x﹣y﹣4=0的距離d==，∴當x0=1時，即當A（1，1）時，拋物線y=x2上一點到直線2x﹣y﹣4=0的距離最短．故選A．【點評】本題考查拋物線上的點到直線的距離最短的點的坐標的求法，是基礎(chǔ)題．解題時要認真審題，仔細解答．10.已知三個正態(tài)分布密度函數(shù)（，）的圖象如圖所示，則（

）A．，B．，C．， D．，參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.

已知數(shù)列的通項公式為若成等差數(shù)列，則的取值集合是___________參考答案：12.如圖,正方形ACDE與△ACB所在的平面互相垂直,且AC=BC,∠ACB=90°,F,G分別是線段AE,BC的中點,則AD與FG所成的角的余弦值為______參考答案：略13.已知數(shù)列中，若，則=

參考答案：670數(shù)列為等差數(shù)列，其首項為，公差為，則通項公式。由得：=670考點：等差數(shù)列的通項公式．點評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握等差數(shù)列的定義以及等差數(shù)列的通項公式，并且結(jié)合正確的計算．14.命題P：關(guān)于x的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0對xR恒成立;

命題Q：f(x)=－(1－3a－a2)x是減函數(shù).若命題PVQ為真命題,則實數(shù)a的取

值范圍是________.參考答案：略15.若橢圓的一條弦被點平分，則此弦所在直線的斜率是________。參考答案：16.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為_________________遞減區(qū)間為____________參考答案：略17.某班班會準備從甲、乙等7名學(xué)生中選派4名學(xué)生發(fā)言，要求甲、乙兩名同學(xué)至少有一人參加，且若甲、乙同時參加，則他們發(fā)言時不能相鄰，那么不同的發(fā)言順序的種數(shù)為

.參考答案：600

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.

某學(xué)生參加某高校的自主招生考試，須依次參加A，B，C，D，E五項考試，如果前四項中有兩項不合格或第五項不合格，則該考生就被淘汰，考試即結(jié)束；考生未被淘汰時，一定繼續(xù)參加后面的考試．已知每一項考試都是相互獨立的，一定繼續(xù)參加后面的考試．已知每一項考試都是相互獨立的，該考生參加A，B，C，D四項考試不合格的概率均為，參加第五項不合格的概率為.(1)求該考生被錄取的概率；(2)記該考生參加考試的項數(shù)為X，求X的分布列及其期望值．參考答案：解：（1）若該生被錄取，則前四項最多有一項不合格，并且第五項必須合格

記A={前四項均合格}，B={前四項中僅有一項不合格}

則P(A)=

………………2分

P(B)=

………4分

又A、B互斥，故所求概率為P=P(A)+P(B)=………6分

（2）該生參加考試的項數(shù)可以是2，3，4，5.

，

，

…9分2345

……10分……12分

略19.在多面體ABCDEF中，底面ABCD是梯形，四邊形ADEF是正方形，，，，，（I）求證：平面平面；（II）設(shè)M為線段EC上一點，，求二面角的平面角的余弦值.參考答案：（1）因為，，，所以為直角三角形，且同理因為，，所以為直角三角形，且，又四邊形是正方形，所以又因為，

所以.在梯形中，過點作作于，故四邊形是正方形，所以.在中，，∴.，∴，∴∴.∵，,.平面，平面.所以平面,又因為平面，所以因為，平面，平面.∴平面，平面，∴平面平面（2）以為原點，，，所在直線為軸建立空間直角坐標系(如圖)則.令，則，

因為，∴∴.因為平面，∴，取是平面的一個法向量.設(shè)平面的法向量為.則，即即.令，得，∴，20.（本小題滿分14分）.數(shù)列{an}滿足Sn＝2n－an(n∈N*)．(1)計算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通項公式an；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明(1)中的猜想．參考答案：解：(1)a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝，由此猜想an＝(n∈N*)．(2)證明：當n＝1時，a1＝1，猜想成立．假設(shè)n＝k(k≥1，且k∈N*)時，猜想成立，即ak＝，那么n＝k＋1(k≥1，且k∈N*)時，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak＝2＋ak－ak＋1.∴2ak＋1＝2＋ak，∴ak＋1＝＝＝，這表明n＝k＋1時，猜想成立．∴an＝(n∈N*)．21.（本題滿分14分）(1)求中心在原點，一個焦點為(，0)，且長軸長是短軸長2倍的橢圓的標準方程；(2)求漸近線為，且經(jīng)過點的雙曲線的標準方程．參考答案：解：(1)由題可設(shè)所求橢圓方程為則有，解得，即所求的橢圓方程為

………………7分(2可設(shè)以為漸近線的雙曲線方程為又雙曲線經(jīng)過點，所以有，即所以所求的雙曲線方程為

…………