(完整)高中數(shù)學(xué)選修1-1綜合測試題

選修1-1數(shù)學(xué)綜合測試題（三）一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）1.方程ax2+y2=c表示橢圓或雙曲線的充分必要條件是（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．不充分不必要條件2.曲線y=4x-x3在點（-1，-3）處切線的斜率為（）A.7B.-7C.1D.-13.已知橢圓x2/25+y2/16=1上的一點P到橢圓一個焦點的距離為3，則P到另一焦點距離為（）A.2B.3C.5D.74.動點P到點M(1,0)及點N(3,0)的距離之差為2，則點P的軌跡是（）A.雙曲線B.雙曲線的一支C.兩條射線D.一條射線5.給出命題：①存在實數(shù)x，使得x3<1；②存在有理數(shù)x，使得x2=2；③對于任意自然數(shù)x，有x3>x2；④對于任意實數(shù)x，有x2+1>0。其中的真命題是：A.①④B.②③C.①③D.②④6.函數(shù)f(x)的定義域為開區(qū)間(a,b)，導(dǎo)函數(shù)f'(x)在(a,b)內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)有極小值點（）A.1個B.2個C.3個D.4個7.函數(shù)f(x)=x3-3x+1在閉區(qū)間[-3,0]上的最大值、最小值分別是（）A.1，-1B.3，-17C.1，-17D.9，-198.過拋物線y2=2px(p>0)焦點的直線交拋物線于A、B兩點，則AB的最小值為（）A.pB.2pC.3pD.無法確定9.過雙曲線的一個焦點F1作垂直于實軸的直線，交雙曲線于P、Q，F(xiàn)2是另一焦點，若∠PF1Q=π/2，則雙曲線的離心率e等于（）A.2-√2B.2C.2+√2D.2+2√210.對于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)f(x)，若滿足(x-1)f'(x)≥x，則必有（）A.f(0)+f(2)<2f(1)B.f(0)+f(2)≤2f(1)C.f(0)+f(2)≥2f(1)D.f(0)+f(2)>2f(1)二、填空題（本大題共7小題，每小題5分，共35分）11.命題“對于任意實數(shù)x，有x2-x+3>0”的否定是x2-x+3≤0。12.函數(shù)f(x)=-x+√x的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1]。13.橢圓16x2+25y2=400上一點P與橢圓的兩個焦點F1、F2的連線互相垂直，則△PF1F2的面積為60。14.若A是3×3矩陣，且A3=0，則A的秩為1。15.已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d滿足f(0)=2，f(1)=1，f'(0)=1，f'(1)=-1，則a=-2，b=3，c=-1，d=2。16.已知函數(shù)f(x)=(x-1)lnx，則f"(e)=2/e。17.若a，b，c是正實數(shù)，且a+b+c=1，則a2/b+b2/c+c2/a≥1。14.若直線$x-y=2$與拋物線$y^2=4x$交于$A,B$兩點，則線段$AB$的中點坐標是？解：將$x-y=2$代入$y^2=4x$中，得$y^2=4(y+2)$，化簡得$(y-2)^2=0$，即$y=2$，代入$x-y=2$中得$x=4$，因此$A(4,2)$。同理，將$y^2=4x$代入$x-y=2$中，得$(2-y)^2=8$，即$y=-2\pm2\sqrt{2}$，代入$x-y=2$中得$x=-2\pm2\sqrt{2}$，因此$B(-2+2\sqrt{2},-2-\sqrt{2})$。線段$AB$的中點坐標為$\left(\dfrac{4-2+2\sqrt{2}}{2},\dfrac{2-2-\sqrt{2}}{2}\right)=(1+\sqrt{2},-\dfrac{\sqrt{2}}{2})$。15.對于橢圓$\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{9}=1$和雙曲線$\dfrac{x^2}{25}-\dfrac{y^2}{16}=1$有以下4個命題，其中正確命題的序號是？解：橢圓和雙曲線的標準方程分別為$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$和$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$。橢圓的焦點在$y$軸上，雙曲線的焦點在$x$軸上，因此命題①和④錯誤。橢圓和雙曲線的離心率分別為$e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$和$e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}$，因此橢圓的焦點和雙曲線的頂點不重合，命題②錯誤。橢圓和雙曲線的焦點均在第一象限，且有兩個交點，因此命題③正確。答案為③。16.已知$m>0$，函數(shù)$f(x)=x^3-mx$在$(-\infty,+\infty)$上是單調(diào)函數(shù)，則$m$的取值范圍是？解：求導(dǎo)得$f'(x)=3x^2-m$，令其等于零解得$x=\pm\sqrt{\frac{m}{3}}$。由于$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，因此$f'(-\infty)$和$f'(+\infty)$必須同號，即$f'(-\infty)f'(+\infty)>0$。當$m>0$時，$f'(-\infty)<0$，$f'(+\infty)>0$，因此$m<0$或$m>\frac{9}{4}$。當$m=0$時，$f'(x)=0$的唯一解為$x=0$，但$f(x)$不是單調(diào)函數(shù)。因此，$m$的取值范圍是$0<m<\frac{9}{4}$。17.定義：曲線$C$上的點到直線$l$的距離的最小值稱為曲線$C$到直線$l$的距離；現(xiàn)已知拋物線$C:x^2=y+a$到直線$l:2x-y=0$的距離等于$5$，則實數(shù)$a$的值為？解：直線$l$的斜率為$2$，因此過拋物線$C$上任意一點$(x,y)$且垂直于$l$的直線的斜率為$-\frac{1}{2}$，即該直線的方程為$y+\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}y_0-\frac{1}{4}x_0=0$，其中$(x_0,y_0)$是拋物線$C$上任意一點。將$(x_0,y_0)$代入該直線的方程，得到該直線與直線$l$的距離為$\dfrac{1}{\sqrt{5}}\sqrt{x_0+2y_0-4}$。因為該距離等于$5$，所以$x_0+2y_0=29$。由$x^2=y+a$和直線$l$的方程$2x-y=0$，解得交點為$(-\sqrt{a},-\sqrt{a})$和$(\sqrt{a},\sqrt{a})$。將這兩個點代入$x_0+2y_0=29$，解得$a=\boxed{1}$。18.已知命題$p$：方程$y^2=x^2+\dfrac{2m-1}{m}x$的離心率$e\in(1,2)$，命題$q$：雙曲線$\dfrac{x^2}{5}-\dfrac{y^2}{m}=1$的漸近線方程為$y=0$。若命題$p,q$有且只有一個為真，求$m$的取值范圍。解：將$y^2=x^2+\dfrac{2m-1}{m}x$化為標準方程$x^2-(y-\frac{1}{2m-1})^2=\frac{1}{4m^2-2m}$，得到一個離心率為$\sqrt{1+\frac{1}{4m^2-2m}}$的橢圓。因為$e\in(1,2)$，所以$\sqrt{1+\frac{1}{4m^2-2m}}=2$，解得$m=\dfrac{5}{2}$或$m=-\dfrac{1}{2}$。將$m=\dfrac{5}{2}$代入雙曲線$\dfrac{x^2}{5}-\dfrac{y^2}{m}=1$，得到漸近線方程為$y=\pm\frac{\sqrt{5}}{2}x$，因此命題$q$錯誤。將$m=-\dfrac{1}{2}$代入雙曲線$\dfrac{x^2}{5}-\dfrac{y^2}{m}=1$，得到漸近線方程為$y=0$，因此命題$q$正確。答案為$m=-\dfrac{1}{2}$。19.求下列雙曲線的標準方程。（1）與橢圓$\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{25}=1$共焦點，且過點$(-2,10)$的雙曲線；（2）漸近線為$x^2y=0$，且過點$(2,2)$的雙曲線。解：（1）設(shè)雙曲線的方程為$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$，則焦點到中心的距離為$c=\sqrt{a^2+b^2}$。由于該雙曲線與橢圓$\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{25}=1$共焦點，因此$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{\frac{16}{4}-\frac{25}{4}}=\dfrac{3}{2}$。又因為該雙曲線過點$(-2,10)$，代入方程得$\dfrac{4}{a^2}-\dfrac{25}{b^2}=1$，解得$a^2=\dfrac{16}{3}$，$b^2=\dfrac{25}{2}$。因此該雙曲線的標準方程為$\dfrac{x^2}{\frac{16}{3}}-\dfrac{y^2}{\frac{25}{2}}=1$。（2）該雙曲線的漸近線為$y=0$和$x^2=0$，因此它的中心在直線$y=x$上。設(shè)雙曲線的方程為$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$，則$a=b$。又因為該雙曲線過點$(2,2)$，代入方程得$\dfrac{4}{a^2}-\dfrac{4}{b^2}=1$，解得$a=b=2$。因此該雙曲線的標準方程為$\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{4}=1$。20.2010年11月在廣州召開亞運會，某小商品公司開發(fā)一種亞運會紀念品，每件產(chǎn)品的成本是15元，銷售價是20元，月平均銷售$a$件，通過改進工藝，產(chǎn)品的成本不變，質(zhì)量和技術(shù)含金量提高，市場分析的結(jié)果表明：如果產(chǎn)品的銷售價提高的百分率為$x(0<x<1)$，那么月平均銷售量減少的百分率為$x^2$，記改進工藝后，該公司銷售紀念品的月平均利潤是$y$元。（1）寫出$y$與$x$的函數(shù)關(guān)系式；（2）改進工藝后，確定該紀念品的售價，使該公司銷售該紀念品的月平均利潤最大。解：（1）設(shè)改進后的銷售價為$p$，則$p=(1+x)\times20$，月平均銷售量為$b=a(1-x^2)$，月平均利潤為$y=bp-15b=20a(1-x^2)(1+x)-15a(1-x^2)=5a(3x^2-2x-1)$。因此$y$與$x$的函數(shù)關(guān)系式為$y=5a(3x^2-2x-1)$。（2）當$y$最大時，$y$的導(dǎo)數(shù)為零，即$y'=30a(x-\frac{1}{3})=0$，解得$x=\dfrac{1}{3}$。因此改進后的銷售價為$p=(1+\frac{1}{3})\times20=\boxed{26.\bar{6}}$元。21.已知函數(shù)$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$在$x=-1$和$x=1$時都取得極值。（1）求$a,b$的值和函數(shù)$f(x)$的單調(diào)區(qū)間；（2）若對$x\in[-1,2]$，不等式$f(x)<\dfrac{c}{2}$恒成立，求$c$的取值范圍。解：（1）由題意得$f'(-1)=f'(1)=0$，即$-3a+2b=0$，$3a+2b=0$。解得$a=b=0$。因為$f''(-1)>0$，$f''(1宜昌市部分示范高中教學(xué)協(xié)作體2014年春季期中考試高二數(shù)學(xué)（文科）參考答案一、選擇題：（每小題5分）1.B2.C3.D4.D5.A6.A7.B8.C9.C10.C二、填空題：（每小題5分）11.x∈R，x≤1或x≥312.[0,1/4]13.2414.(4,2)15.①②16.0<m≤1217.6三、解答題（本大題共5小題，共65分.）18.解：由P得：m-1<0或1-m>2m∴-1<m<1/3或m>1由命題Q得：2/(5+m)>0或5+m>0∴m>-5或m>-5綜上所述，m的取值范圍是1/3≤m<15。19.解(1)橢圓x^2/16+y^2/25=1的焦點為(0,±3)，設(shè)所求雙曲線方程為：x^2/a^2-y^2/b^2=1。又點(-2,10)在雙曲線上，代入得：104/a^2-576/b^2=1解得：a^2=5∴所求雙曲線方程為：x^2/5-y^2/4=1(2)設(shè)雙曲線方程為：x^2/16-y^2/9=λ(λ≠0)，把點(2,2)代入上述方程求得λ=-12∴所求雙曲線方程為：x^2/16-y^2/9=-1220.(1)改進工藝后，每件產(chǎn)品的銷售價為20(1+x)元，月平均銷售量為a(1-x^2)件，則月平均利潤y=a(1-x^2)·[20(1+x)-15](元)，∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=5a(1+4x-x^2-4x^3)(0<x<1)。(2)由y′=5a(4-2x-12x^2)=0，得x=1/2或x=-1/3(舍)，當0<x<1/2時，y′>0，y在(0,1/2)上為增函數(shù)；當1/2<x<1時，y′<0，y在(1/2,1)上為減函數(shù)?！嗪瘮?shù)y=5a(1+4x-x^2-4x^3)(0<x<1)在x=1/2處取得最大值。當y=30元時，故改進工藝后，紀念品的銷售價為20(1+1/2)=30元。該公司銷售該紀念品的月平均利潤最大。解：設(shè)銷售量為x個，售價為p元，則總收入為px元。該紀念品的生產(chǎn)成本為f(x)元，則該公司的利潤為px-f(x)元。（1）設(shè)利潤函數(shù)為f(x)=x+ax^2+bx+c，其中a、b、c為常數(shù)。由題意可得，該公司銷售該紀念品的月平均利潤最大，即利潤函數(shù)的平均值最大。利潤函數(shù)的平均值為：f(ave)=1/(b-a)∫[a,b](x+ax^2+bx+c)dx=1/(b-a)[1/2(x^2+ax^3/3+bx^2/2+cx)]|[a,b]=(b^2-a^2)/2+ab(a+b)/3+c(b-a)/(b-a)=1/6(3b^2-2ab-3a^2)+c由于該公司銷售該紀念品的月平均利潤最大，因此利潤函數(shù)的平均值的導(dǎo)數(shù)為0。f'(ave)=1/6(6b-2a)=b-a/3=0解得a=b/3。又因為f'(1)=3+2a+b=0，代入a=b/3，解得a=-1/2，b=-1。因此，利潤函數(shù)為f(x)=x-x^2/2-x+1/2=1/2-x^2/2。（2）設(shè)函數(shù)f(x)=x^2/3-1/2，則f(x)在[-1,2]上單調(diào)遞增。f'(x)=2x/3，令f'(x)=0，解得x=0。當x<0時，f'(x)<