1.理解斜線與平面所成的角的定義，體會(huì)夾角定義的唯一性、合理性.2.會(huì)利用空間向量求直線與平面的夾角.學(xué)習(xí)目標(biāo)XUEXIMUBIAO內(nèi)容索引知識(shí)梳理題型探究隨堂演練課時(shí)對(duì)點(diǎn)練1知識(shí)梳理PARTONE知識(shí)點(diǎn)一直線與平面所成的角1.斜線與平面所成的角注意到平面的一條斜線在平面內(nèi)的射影是唯一確定的，因此，平面的斜線與它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，稱為這條斜線與平面所成的角.2.直線與平面所成的角定義：如圖，如果直線AB是平面α的一條斜線，B為

，A′B是直線AB在平面α內(nèi)的

，則

就是直線AB與平面α所成的角.(1)范圍：直線與平面α所成的角θ的范圍是

.當(dāng)θ＝0°，AB

α或AB

α；當(dāng)θ＝90°，AB

α.斜足射影∠ABA′0°≤θ≤90°∥?⊥(2)性質(zhì)：最小角.如圖，AB⊥α，則圖中θ，θ1，θ2之間的關(guān)系是

.斜線和它在平面內(nèi)的

所成的角，是斜線和這個(gè)平面內(nèi)所有直線所成角中

.cosθ＝cosθ1·cosθ2射影最小的角知識(shí)點(diǎn)二利用空間向量求直線與平面的夾角如圖所示，v為直線的方向向量，n為平面的法向量.θ＝

或θ＝

.cosθ＝

或sinθ＝

.sin〈v，n〉|cos〈v，n〉|思考辨析判斷正誤SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU1.直線的方向向量與平面的法向量所成的角就是直線與平面所成的角.(

)2.直線與平面所成的角的取值范圍是

.(

)3.直線與平面所成的角α與該直線的方向向量與平面的法向量的夾角β互余.(

)4.斜線與平面所成的角是斜線與這個(gè)平面內(nèi)所有直線所成角中的最小角.(

)×√×√2題型探究PARTTWO一、直線與平面所成的角例1

(1)正三棱柱ABC－A1B1C1，底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為

，則B1C與平面AA1B1B所成的角為A.30° B.60°C.45° D.90°√解析如圖，取AB的中點(diǎn)O，連接CO，B1O，△ABC為等邊三角形，O為AB中點(diǎn)，∴CO⊥AB，而平面ABC⊥平面AA1B1B，且平面ABC∩平面AA1B1B＝AB，CO?平面ABC，∴CO⊥平面AA1B1B，∴∠CB1O即為B1C與平面AA1B1B所成的角.又0°≤∠CB1O≤90°，∴∠CB1O＝30°.求PC與平面ABCD所成的角.解∵PA⊥平面ABCD，∴∠PCA為PC與平面ABCD所成的角，在△PCB中，由余弦定理知，又cos∠PCB＝cos∠ACB·cos∠PCA，又0°≤∠PCA≤90°，∴∠PCA＝45°.反思感悟幾何法求線面角(1)利用線面角定義，求線面角即求斜線與它在平面內(nèi)的射影所成的角，所以找該斜線在平面內(nèi)的射影是關(guān)鍵，而要找射影關(guān)鍵是找垂線，所以求線面角的關(guān)鍵是找平面的垂線.(2)利用最小角公式cosθ＝cosθ1·cosθ2.√解析如圖，正四棱錐P－ABCD，PO⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，記∠PDO＝θ1，∠CDO＝θ2，∠PDC＝θ.(2)在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，則直線CD與平面BCD1所成角的正弦值等于

.解析過(guò)D作DO⊥CD1，O為垂足.∵BC⊥平面CDD1C1，∴BC⊥DO，又DO⊥CD1且BC∩CD1＝C，∴DO⊥平面BCD1，∴∠DCO為CD與平面BCD1所成的角.令A(yù)B＝1，∴CD＝1，DD1＝2，二、利用空間向量求直線與平面的夾角例2如圖，已知三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝

，N為AB上一點(diǎn)，AB＝4AN，M，S分別為PB，BC的中點(diǎn).(1)證明：CM⊥SN；證明設(shè)PA＝1，以A為原點(diǎn)，AB，AC，AP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，(2)求SN與平面CMN所成角的大小.設(shè)a＝(x，y，z)為平面CMN的法向量，令x＝2，得a＝(2,1，－2)為平面CMN的一個(gè)法向量.所以SN與平面CMN所成角的大小為45°.反思感悟用向量法求線面角的一般步驟是先利用圖形的幾何特征建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，再用向量的有關(guān)知識(shí)求解線面角.跟蹤訓(xùn)練2

如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面為直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M，N分別為PC，PB的中點(diǎn)，求BD與平面ADMN所成的角θ.則A(0,0,0)，B(2,0,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)則N(1,0,1)，設(shè)平面ADMN的法向量為n＝(x，y，z)，∴n＝(1,0，－1)，又0°≤θ≤90°，∴θ＝30°.3隨堂演練PARTTHREE12345√2.如圖所示，長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝

，則BC1與平面CDD1C1所成的角正切值為√解析因?yàn)锽C⊥平面CDD1C1，∴∠BC1C為BC1與平面CDD1C1所成的角，12345123453.如圖，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，直線DC1與DB所成的角為60°，則直線DC1與平面ABCD所成的角為A.30° B.45°C.60° D.90°√12345解析依題意，得∠C1DB＝60°，又底面ABCD為正方形，∴∠CDB＝45°.因?yàn)镃C1⊥平面ABCD，∴∠C1DC為DC1與平面ABCD所成的角，因?yàn)閏os∠C1DB＝cos∠CDB·cos∠C1DC，∴cos60°＝cos45°·cos∠C1DC，又0°≤∠C1DC≤90°，∴∠C1DC＝45°.123454.正方體ABCD－A1B1C1D1中，直線BC1與平面A1BD所成的角的正弦值為√解析建系如圖，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，A(1,0,0)，∴AC1⊥A1B，AC1⊥A1D，又A1B∩A1D＝A1，∴AC1⊥平面A1BD.1234512345123455.正四面體A－BCD中棱AB與底面BCD所成角的余弦值為

.解析如圖，作AO⊥底面BCD，垂足為O，O為△BCD的中心，設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為a，1.知識(shí)清單：(1)直線與平面所成的角及其性質(zhì).(2)利用空間向量求直線與平面的夾角.2.方法歸納：數(shù)形結(jié)合、代入法、轉(zhuǎn)化法.3.常見誤區(qū)：(1)應(yīng)用cosθ＝cosθ1·cosθ2時(shí)混淆各角.(2)利用空間向量求直線與平面的夾角時(shí)，忽略所求夾角與求出的向量夾角的區(qū)別.課堂小結(jié)KETANGXIAOJIE4課時(shí)對(duì)點(diǎn)練PARTFOUR基礎(chǔ)鞏固1.已知向量m，n分別是直線l的方向向量和平面α的法向量，若cos〈m，n〉＝

，則l與α所成的角為A.30°B.60°C.120°D.150°√解析設(shè)l與α所成的角為θ，又0°≤θ≤90°，∴θ＝30°.123456789101112131415162.若平面α的法向量為μ，直線l的方向向量為v，直線l與平面α所成的角為θ，則下列關(guān)系式成立的是√解析若直線與平面所成的角為θ，直線與該平面的法向量所在直線所成的角為β，則θ＝90°－β或θ＝β－90°.12345678910111213141516123456789101112131415163.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是C1C的中點(diǎn)，則直線BE與平面B1BD所成角的正弦值為√解析建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則D(0,0,0)，B(2,2,0)，B1(2,2,2)，E(0,2,1)，設(shè)平面B1BD的法向量為n＝(x，y，z).令y＝1，則n＝(－1,1,0)為平面B1BD的一個(gè)法向量.123456789101112131415164.已知∠APB在平面α內(nèi)，大小為60°，射線PC與PA，PB所成的角均為135°，則PC與平面α所成角的余弦值是√解析設(shè)PC與平面α所成的角為θ，則cos45°＝cosθ·cos30°，12345678910111213141516√√解析設(shè)v為直線l的方向向量，n為平面α的法向量，θ為直線l與平面α所成的角，12345678910111213141516123456789101112131415166.(多選)將正方形ABCD沿對(duì)角線BD折成直二面角，下列結(jié)論正確的是A.AC⊥BDB.AB，CD所成角為C.△ADC為等邊三角形D.AB與平面BCD所成角為60°√√√解析

如圖，取BD的中點(diǎn)O，連接AO，CO，易知BD⊥平面AOC，故BD⊥AC.如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形邊長(zhǎng)為a，1234567891011121314151612345678910111213141516易知∠ABO即為直線AB與平面BCD所成的角，可求得∠ABO＝45°，故D錯(cuò).7.在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝

，PA⊥平面ABCD，PA＝1，則PC與平面ABCD所成的角是

.解析如圖，PA⊥平面ABCD，∴∠PCA為PC與平面ABCD所成的角，123456789101112131415168.正方體ABCD－A1B1C1D1中，BB1與平面ACD1所成角的余弦值為

.解析設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，建系如圖.則D(0,0,0)，B(1,1,0)，B1(1,1,1).123456789101112131415169.如圖所示，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD.PD＝DC，E是PC的中點(diǎn).求EB與平面ABCD夾角的余弦值.12345678910111213141516解取CD的中點(diǎn)M，連接EM，BM，則EM∥PD，又∵PD⊥平面ABCD，∴EM⊥平面ABCD，∴BE在平面ABCD上的射影為BM，∴∠MBE為BE與平面ABCD的夾角.如圖建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，設(shè)PD＝DC＝1，則P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，123456789101112131415161234567891011121314151610.如圖，正方形AMDE的邊長(zhǎng)為2，B，C分別為線段AM，MD的中點(diǎn)，在五棱錐P－ABCDE中，F(xiàn)為棱PE的中點(diǎn)，平面ABF與棱PD，PC分別交于點(diǎn)G，H.(1)求證：AB∥FG.證明在正方形AMDE中，因?yàn)锽是AM的中點(diǎn)，所以AB∥DE，又因?yàn)锳B?平面PDE，DE?平面PDE，所以AB∥平面PDE.因?yàn)锳B?平面ABF，且平面ABF∩平面PDE＝FG，所以AB∥FG.1234567891011121314151612345678910111213141516(2)若PA⊥底面ABCDE，且PA＝AE，求直線BC與平面ABF所成角的大小.12345678910111213141516解因?yàn)镻A⊥底面ABCDE，所以PA⊥AB，PA⊥AE，則A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(2,1,0)，P(0,0,2)，F(xiàn)(0,1,1)，設(shè)平面ABF的法向量n＝(x，y，z)，令z＝1，則y＝－1，所以n＝(0，－1,1).12345678910111213141516設(shè)直線BC與平面ABF所成角為α，綜合運(yùn)用12345678910111213141516√12.已知三棱錐P－ABC的底面是以AC為斜邊的直角三角形，頂點(diǎn)P在底面的射影恰好是△ABC的外心，PA＝AB＝1，BC＝

，則PB與底面ABC所成角的大小為A.60°B.30°C.45°D.90°√解析設(shè)△ABC的外心為O，PB與底面ABC所成的角為θ.因?yàn)椤鰽BC是以AC為斜邊的直角三角形，所以O(shè)為AC的中點(diǎn).又0°≤θ≤90°，所以θ＝30°.1234567891011121314151613.在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，則BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為

.解析如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0，2,0)，D1(0,0,1)，C1(0,2,1)，連接AC，易證AC⊥平面BB1D1D，1234567891011121314151614.如圖1，在等腰三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝6，D，E分別是AC，AB上的點(diǎn)，CD＝BE＝

，O為BC的中點(diǎn).將△ADE沿DE折起，得到如圖2所示的四棱錐A′－BCDE.若A′O⊥平面BCDE，則A′D與平面A′BC所成角的正弦值為

.12345678910111213141516解析取DE的中點(diǎn)H，連接OH，OD，OE，則OH⊥OB.設(shè)A′D與平面A′BC所成的角為θ，易得平面A′BC的一個(gè)法向量為n＝(1,0,0)，12345678910111213141516拓廣探究15.如圖，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AC與BD相交于點(diǎn)O，A