數(shù)列求和的基本方法和技巧第1頁(yè)，課件共68頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)列是高中代數(shù)的重要內(nèi)容，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).在高考占有重要的地位.數(shù)列求和是數(shù)列的重要內(nèi)容之一，除了等差數(shù)列和等比數(shù)列有求和公式外，大部分?jǐn)?shù)列的求和都需要一定的技巧.下面談?wù)剶?shù)列求和的基本方法和技巧.第2頁(yè)，課件共68頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月一.公式法：①等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：②等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式③④⑤第3頁(yè)，課件共68頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例1：求和：第4頁(yè)，課件共68頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月[例1]

已知

，求

的前n項(xiàng)和由等比數(shù)列求和公式得第5頁(yè)，課件共68頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月錯(cuò)位相減法：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)乘積組成，此時(shí)求和可采用錯(cuò)位相減法.既{anbn}型等差等比第6頁(yè)，課件共68頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2．錯(cuò)位相減法如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用此法來求.【錯(cuò)位相減法】設(shè){an}的前n項(xiàng)和為Sn，an＝n·2n，則Sn＝第7頁(yè)，課件共68頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月[例4]

求數(shù)列

前n項(xiàng)的和解：由題可知，{}的通項(xiàng)是等差數(shù)列{2n}的通項(xiàng)與等比數(shù)列{}的通項(xiàng)之積設(shè)

…………………①………………②

（設(shè)制錯(cuò)位）①－②得∴第8頁(yè)，課件共68頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/249已知數(shù)列第9頁(yè)，課件共68頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/2410解：第一步，寫出該數(shù)列求和的展開等式第二步，上式左右兩邊乘以等比數(shù)列公比第10頁(yè)，課件共68頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/2411第三步，兩式進(jìn)行錯(cuò)位相減得：化簡(jiǎn)整理得:第11頁(yè)，課件共68頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解：由題可知，{}的通項(xiàng)是等差數(shù)列{2n－1}的通項(xiàng)與等比數(shù)列{}的通項(xiàng)之積設(shè)………②

（設(shè)制錯(cuò)位）①－②得

（錯(cuò)位相減）再利用等比數(shù)列的求和公式得：

∴

[例3]求和：

………①第12頁(yè)，課件共68頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

2.設(shè)數(shù)列滿足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，a∈N*.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)；(2)設(shè)bn＝，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn.變式探究第13頁(yè)，課件共68頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

2．設(shè)數(shù)列滿足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，a∈N*.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)；(2)設(shè)bn＝，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn.解析：(1)a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，①第14頁(yè)，課件共68頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(2)bn＝n·3n，Sn＝1·3＋2·32＋3·33＋…＋n·3n，3Sn＝1·32＋2·33＋3·34＋…＋(n－1)·3n＋n·3n＋1兩式相減，得－2Sn＝3＋32＋33＋…＋3n－n·3n＋1，第15頁(yè)，課件共68頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第16頁(yè)，課件共68頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第17頁(yè)，課件共68頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(12分)(2010·四川高考)已知等差數(shù)列{an}的前3項(xiàng)和為6，前8項(xiàng)和為－4.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn＝(4－an)qn－1(q≠0，n∈N*)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.第18頁(yè)，課件共68頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第19頁(yè)，課件共68頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3．(2012·“江南十?！甭?lián)考)在等比數(shù)列{an}中，a1>0，

n∈N*，且a3－a2＝8，又a1、a5的等比中項(xiàng)為16.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；第20頁(yè)，課件共68頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解：(1)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，由題意可得a3＝16，∵a3－a2＝8，則a2＝8，∴q＝2.∴an＝2n＋1.第21頁(yè)，課件共68頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第22頁(yè)，課件共68頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/24231、2、已知數(shù)列求該數(shù)列的前n項(xiàng)和。第23頁(yè)，課件共68頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月四、分組法求和有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個(gè)等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.第24頁(yè)，課件共68頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

cn=an+bn({an}、{bn}為等差或等比數(shù)列。）項(xiàng)的特征反思與小結(jié)：要善于從通項(xiàng)公式中看本質(zhì)：一個(gè)等差{n}＋一個(gè)等比{2n}，另外要特別觀察通項(xiàng)公式，如果通項(xiàng)公式?jīng)]給出，則有時(shí)我們需求出通項(xiàng)公式，這樣才能找規(guī)律解題.分組求和法第25頁(yè)，課件共68頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

,

+

n

11.求數(shù)列

+

2

3

,

+的前n項(xiàng)和。

,

2

2

2

,

3

2

n

2

+

1

2

3

n解：

=(1+2+3+…+n)

Sn=(1+2)+(2+)+(3+)+…+(ｎ+

)

2

2

3

2

ｎ

2

+(2+2+2+…+2)n23=n(n+1)22(2-1)2-1n+=n(n+1)2+2-2n+1…分組求和法第26頁(yè)，課件共68頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例5.求下面數(shù)列的前n項(xiàng)和

第27頁(yè)，課件共68頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解（1）：該數(shù)列的通項(xiàng)公式為

第28頁(yè)，課件共68頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月[例7]

求數(shù)列的前n項(xiàng)和：，…

解：設(shè)將其每一項(xiàng)拆開再重新組合得（分組）

當(dāng)a＝1時(shí)，＝（分組求和）

當(dāng)時(shí)，＝第29頁(yè)，課件共68頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月n個(gè)第30頁(yè)，課件共68頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月[例8]

求數(shù)列{n(n+1)(2n+1)}的前n項(xiàng)和.解：設(shè)∴＝將其每一項(xiàng)拆開再重新組合得Sn＝（分組）

第31頁(yè)，課件共68頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2求數(shù)列1,3＋4,5＋6＋7,7＋8＋9＋10，…，前n項(xiàng)和Sn.2∵ak＝(2k－1)＋2k＋(2k＋1)＋…＋[(2k－1)＋(k－1)]∴Sn＝a1＋a2＋…＋an點(diǎn)評(píng)：運(yùn)用分組求和法數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)，要注意先考慮通項(xiàng)公式．解析第32頁(yè)，課件共68頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例6：1-22+32-42+…+(2n-1)2-(2n)2=？局部重組轉(zhuǎn)化為常見數(shù)列并項(xiàng)求和第33頁(yè)，課件共68頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月練習(xí)：已知Sn=-1+3-5+7+…+(-1)n(2n-1),1)求S20,S212)求SnS20=-1+3+(-5)+7+……+（-37）+39S21=-1+3+(-5)+7+（-9）+……+39+（-41）=20=-21第34頁(yè)，課件共68頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月五.相間兩項(xiàng)成等差等比綜合第35頁(yè)，課件共68頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第36頁(yè)，課件共68頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月∴{an}是等差數(shù)列，an=1+(n-1)=n1.若a1=1,且an+am=an+m(n,m∈N*),則an=_______解:n=m=1時(shí)，a2

=a1+a1=2,得a1=1,a2=2m=1時(shí),由an+am=an+m得an+1=an+1，即an+1-an=1n2.若b1=2，且bmbn=bm+n，則bn=_____________解：n=m=1時(shí)，b2=b1·b1=4,即b1=2，b2=4，m=1時(shí),由bnbm=bn+m得bn+1=bn·

b1=2bn，故{bn}是首項(xiàng)為b1=2，公比為q=2的等比數(shù)列，bn=2·2n-1=2n

2n

練習(xí)第37頁(yè)，課件共68頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月列項(xiàng)求和法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，即數(shù)列的每一項(xiàng)都可按此法拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)一些正負(fù)項(xiàng)相互抵消，于是前n項(xiàng)的和變成首尾若干少數(shù)項(xiàng)之和，這一求和方法稱為分裂通項(xiàng)法.（見到分式型的要往這種方法聯(lián)想）第38頁(yè)，課件共68頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月求數(shù)列前n項(xiàng)和方法之一：裂項(xiàng)相消法第39頁(yè)，課件共68頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1．特別是對(duì)于，其中是各項(xiàng)均不為0的等差數(shù)列，通常用裂項(xiàng)相消法，即利用(其中d＝an＋1－an)．第40頁(yè)，課件共68頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月常見的拆項(xiàng)公式有：第41頁(yè)，課件共68頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月常見的裂項(xiàng)公式有：第42頁(yè)，課件共68頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月練習(xí)：求和裂項(xiàng)法求和提示：∴第43頁(yè)，課件共68頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第44頁(yè)，課件共68頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月[例9]]

在數(shù)列{an}中，，又求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)的和

解：∵∴（裂項(xiàng)）

∴數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和＝＝第45頁(yè)，課件共68頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第46頁(yè)，課件共68頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第47頁(yè)，課件共68頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第48頁(yè)，課件共68頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月七、利用數(shù)列的通項(xiàng)求和先根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征進(jìn)行分析，找出數(shù)列的通項(xiàng)及其特征，然后再利用數(shù)列的通項(xiàng)揭示的規(guī)律來求數(shù)列的前n項(xiàng)和，是一個(gè)重要的方法.第49頁(yè)，課件共68頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例7：已知數(shù)列5，55，555，5555，…求滿足前4項(xiàng)條件的數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式。練習(xí)：求和Sn=1+(1+2)+(1+2+22)+(1+2+22+23)+

……+(1+2+22+……+2n-1)通項(xiàng)分析求和通項(xiàng)=2n-1第50頁(yè)，課件共68頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月先求通項(xiàng)再處理通項(xiàng)第51頁(yè)，課件共68頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第52頁(yè)，課件共68頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第53頁(yè)，課件共68頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月[例14]

求之和.解：由于（找通項(xiàng)及特征）

∴＝第54頁(yè)，課件共68頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月[例15]

已知數(shù)列{an}：的值.解：∵

（找通項(xiàng)及特征）

（設(shè)制分組）

（裂