湖南省衡陽市縣高碧中學(xué)高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.曲線C：y=ex同曲線C在x=0處的切線及直線x=2所圍成的封閉圖形的面積為（）A．e+1 B．e﹣1 C．e2﹣1 D．e2﹣5參考答案：D【考點】6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程．【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和切點，由斜截式方程可得切線的方程，分別作出曲線和切線及x=2，得到封閉圖形．再由定積分（ex﹣x﹣1）dx，計算即可得到所求面積．【解答】解：y=ex的導(dǎo)數(shù)為y′=ex，可得在x=0處的切線斜率為k=1，切點為（0，1），可得切線的方程為y=x+1，分別作出曲線和切線及x=2，得到如圖的封閉圖形．則封閉圖形的面積為（ex﹣x﹣1）dx=（ex﹣x2﹣x）|=（e2﹣2﹣2）﹣（e0﹣0﹣0）=e2﹣5．故選：D．2.已知物體運動的方程是（的單位：；的單位：），則該物體在

時的瞬時速度為（

）A.2

B.1

C.0

D.3

參考答案：C略3.三棱柱中，與、所成角均為，，且，則與所成角的余弦值為（

）A．1 B．－1 C． D．－參考答案：C4.一束光線從點A(-1，1)出發(fā)經(jīng)X軸反射到圓C：上的最短路程是

（

）A.4

B.5

C.

D.

參考答案：A略5.一個正方體的頂點都在球面上，它的棱長為，則球的半徑是（）cm.Ａ．1

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．2參考答案：C6.已知三次函數(shù)f（x）=x3+ax2+7ax在（﹣∞，+∞）是增函數(shù)，則a的取值范圍是（）A．0≤a≤21 B．a(chǎn)=0或a=7 C．a(chǎn)＜0或a＞21 D．a(chǎn)=0或a=21參考答案：A【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】先求函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，然后根據(jù)f'（x）≥0在R上恒成立，即可得到答案．【解答】解：f′（x）=3x2+2ax+7a，若f（x）在R遞增，則f′（x）≥0恒成立，即△=4a2﹣84a≤0，解得：0≤a≤21，故選：A．7.已知直線L1：2x－y＋3=0和直線L2：x－y＋2=0，若L2上任意一點到L1的距離與它到L的距離相等，則直線L的方程是

（

）A．x－2y＋3=0

B.x－2y－3=0C.x＋2y－1=0

D.y－1=(x＋1)

參考答案：A8.已知等比數(shù)列中，，，則前4項的和＝（

）。A.20

B.﹣20

C.30

D.﹣30參考答案：C9.從{1,2,3,4,5}中隨機選取一個數(shù)為a，從{1,2,3}中隨機選取一個數(shù)為b，則b>a的概率是(

)A．

B．

C．

D．參考答案：D10.雙曲線上一點，、為雙曲線左、右焦點，已知，則=（）A．2B．4C．或22D．4或20參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.圓臺上、下底半徑為2和3，則中截面面積為________________.參考答案：12.某時段內(nèi)共有100輛汽車經(jīng)過某一雷達地區(qū)，時速頻率分布直方圖如下圖所示，則時速超過60km/h的汽車數(shù)量為

輛。參考答案：3813.已知，，則

參考答案：401814.對于函數(shù)，在使恒成立的所有常數(shù)M中，我們把其中的最大值稱為函數(shù)的“下確界”，則函數(shù)的“下確界”為

.參考答案：15.(1)下面算法的功能是

。(2)下列算法輸出的結(jié)果是（寫式子）

(3）下圖為一個求20個數(shù)的平均數(shù)的程序,在橫線上應(yīng)填充的語句為

參考答案：(1)統(tǒng)計x1到x10十個數(shù)據(jù)中負數(shù)的個數(shù)。(2)(3）i>20

16.橢圓的離心率為，則實數(shù)的值為__________．參考答案：或略17.已知正實數(shù),滿足，則的最小值為

▲

．參考答案：8略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知拋物線C1：x2=4y的焦點F也是橢圓C2：(a＞b＞0)的一個焦點，C1與C2的公共弦的長為．（1）求橢圓C2的方程；（2）經(jīng)過點（﹣1，0）作斜率為k的直線l與曲線C2交于A，B兩點，O是坐標原點，是否存在實數(shù)k，使O在以AB為直徑的圓外？若存在，求k的取值范圍；若不存在，請說明理由．參考答案：【考點】圓錐曲線的綜合．【分析】（1）由拋物線的焦點坐標（0，1），求得a和b的關(guān)系，由C1與C2的公共點的坐標為（±，），代入橢圓方程，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；（2）設(shè)直線l的方程為y=k（x+1），代入橢圓方程，利用韋達定理及向量數(shù)量積的坐標運算，即可求得，可知O恒在為AB直徑的圓內(nèi)，故不存在實數(shù)k．【解答】解：（1）由C1：x2=4y知其焦點F的坐標為（0，1）．因為F也是橢圓C2的一個焦點，所以a2﹣b2=1．①又C1與C2的公共弦的長為，C1與C2都關(guān)于y軸對稱，且C1的方程為x2=4y，由此易知C1與C2的公共點的坐標為（±，），所以．②聯(lián)立①，②得a2=9，b2=8．故C2的方程為．（2）由題意直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=k（x+1），聯(lián)立方程，整理得（9+8k2）x2+16k2x+8k2﹣72=0．設(shè)A（x1，kx1+k），B（x2，kx2+k），于是有x1+x2=，x1x2=．因為，?=x1x2+（kx1+k）（kx2+k）==．所以．可知O恒在為AB直徑的圓內(nèi)．∴不存在實數(shù)k，使O在以AB為直徑的圓外．19.如圖所示，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD＝4，DC＝3，E是PC的中點．(1)證明：PA∥平面BDE；(2)求△PAD以PA所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的體積．參考答案：略20.已知不等式3x＜2+ax2的解集為{x|x＜1或x＞b}．（1）求實數(shù)a，b的值；（2）解關(guān)于x不等式：ax2﹣（ac+b）x+bc≥0．參考答案：（1）把不等式化為一般形式，根據(jù)不等式對應(yīng)方程的實數(shù)根，求出a、b的值；（2）由a、b的值，把不等式ax2﹣（ac+b）x+bc≥0化為x2﹣（c+2）x+2c≥0，討論c的值，求出對應(yīng)不等式的解集．解答：解：（1）不等式3x＜2+ax2的可化為：ax2﹣3x+2＞0，且不等式對應(yīng)方程的兩個實數(shù)根為1和b，由根與系數(shù)的關(guān)系，得a=1，b=2；（2）由a=1，b=2得，不等式ax2﹣（ac+b）x+bc≥0化為x2﹣（c+2）x+2c≥0，即（x﹣c）（x﹣2）≥0，當c=2時，不等式為（x﹣2）2≥0，解得x∈R，當c＞2時，解不等式得x≤2或x≥c，當c＜2時，解不等式得x≤c或x≥2；綜上，c＜2時，不等式的解集為{x|x≤c或x≥2}，c=2時，不等式的解集為R，c＞2時，不等式的解集是{c|x≤2或x≥c}．考點：一元二次不等式的解法．專題：計算題；分類討論；分類法；不等式的解法及應(yīng)用．分析：（1）把不等式化為一般形式，根據(jù)不等式對應(yīng)方程的實數(shù)根，求出a、b的值；（2）由a、b的值，把不等式ax2﹣（ac+b）x+bc≥0化為x2﹣（c+2）x+2c≥0，討論c的值，求出對應(yīng)不等式的解集．解答：解：（1）不等式3x＜2+ax2的可化為：ax2﹣3x+2＞0，且不等式對應(yīng)方程的兩個實數(shù)根為1和b，由根與系數(shù)的關(guān)系，得a=1，b=2；（2）由a=1，b=2得，不等式ax2﹣（ac+b）x+bc≥0化為x2﹣（c+2）x+2c≥0，即（x﹣c）（x﹣2）≥0，當c=2時，不等式為（x﹣2）2≥0，解得x∈R，當c＞2時，解不等式得x≤2或x≥c，當c＜2時，解不等式得x≤c或x≥2；綜上，c＜2時，不等式的解集為{x|x≤c或x≥2}，c=2時，不等式的解集為R，c＞2時，不等式的解集是{c|x≤2或x≥c}．點評：本題考查了含有字母系數(shù)的不等式的解法與應(yīng)用問題，也考查了根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用問題，考查了分類討論思想的應(yīng)用問題，是綜合性題目．21.(本小題滿分12分)為增強市民的節(jié)能環(huán)保意識，某市面向全市征召義務(wù)宣傳志愿者.從符合條件的500名志愿者中隨機抽取100名志愿者，其年齡頻率分布直方圖如圖所示，其中年齡分組區(qū)間是：（1）求圖中的值并根據(jù)頻率分布直方圖估計這500名志愿者中年齡在的人數(shù)；（2）在抽出的100名志愿者中按年齡采用分層抽樣的方法抽取20名參加中心廣場的宣傳活動，再從這20名中采用簡單隨機抽樣方法選取3名志愿者擔任主要負責(zé)人.求抽取的3名志愿者中恰有2名年齡低于35歲的概率.參考答案：（1）150；（2）.（1）∵小矩形的面積等于頻率，∴除外的頻率和為0.70.∴故在500名志愿者中，年齡在歲的人數(shù)為

…………6分（2）用分層抽樣的方法，從中選取20名，則其中“年齡低于35歲”的人有12名，“年齡不低于35歲”的人有8名.∴抽取的3名志愿者中恰有2名年齡低于35歲的概率為

…………12分22.（本小題滿分14分）

如圖，在半徑為的圓形（O為圓心）鋁皮上截取一塊矩形材料OABC，其中點B在圓弧上，點A、C在兩半徑上，現(xiàn)將此矩形鋁皮OABC卷成一個以AB為母線的圓柱形罐子的側(cè)面（不計剪裁和拼接損耗），設(shè)矩形的邊長，圓柱的體積為。

（1）寫出體積V關(guān)于的函數(shù)關(guān)