/40/40/小題滿分限時練限時練(一)一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合M＝{x|x2－2x＜0}，N＝{－2，－1，0，1，2}，則M∩N＝()A.? B.{1}C.{0，1} D.{－1，0，1}解析∵M(jìn)＝{x|0＜x＜2}，N＝{－2，－1，0，1，2}，∴M∩N＝{1}.答案B2.設(shè)(2＋i)(3－xi)＝3＋(y＋5)i(i為虛數(shù)單位)，其中x，y是實數(shù)，則|x＋yi|等于()A.5 B.eq\r(13) C.2eq\r(2) D.2解析易得6＋x＋(3－2x)i＝3＋(y＋5)i(x，y∈R).∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(6＋x＝3，,3－2x＝y(tǒng)＋5，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝4，))故|x＋yi|＝|－3＋4i|＝5.答案A3.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a2＋a8＝0，S11＝33，則公差d的值為()A.1 B.2 C.3 D.4解析∵a2＋a8＝2a5＝0，∴a5＝0，又S11＝eq\f(（a1＋a11）×11,2)＝11a6＝33，∴a6＝3，從而公差d＝a6－a5＝3.答案C4.設(shè)a，b是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則α∥β的一個充分條件是()A.存在一條直線a，a∥α，a∥βB.存在一條直線a，a?α，a∥βC.存在兩條平行直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥αD.存在兩條異面直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α解析對于A，a∥α，a∥β，則平面α，β可能平行，也可能相交，所以A不是α∥β的一個充分條件.對于B，a?α，a∥β，則平面α，β可能平行，也可能相交，所以B不是α∥β的一個充分條件.對于C，由a∥b，a?α，b?β，a∥β，b∥α可得α∥β或α，β相交，所以C不是α∥β的一個充分條件.對于D，存在兩條異面直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α，如圖，在β內(nèi)過b上一點(diǎn)作c∥a，則c∥α，所以β內(nèi)有兩條相交直線平行于α，則有α∥β，所以D是α∥β的一個充分條件.答案D5.設(shè)雙曲線的一條漸近線為方程y＝2x，且一個焦點(diǎn)與拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)相同，則此雙曲線的方程為()A.eq\f(5,4)x2－5y2＝1 B.5y2－eq\f(5,4)x2＝1C.5x2－eq\f(5,4)y2＝1 D.eq\f(5,4)y2－5x2＝1解析拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為點(diǎn)(1，0)，則雙曲線的一個焦點(diǎn)為(1，0)，設(shè)雙曲線的方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＝2，,a2＋b2＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(\r(5),5)，,b＝\f(2\r(5),5)，))所以雙曲線方程為5x2－eq\f(5,4)y2＝1.答案C6.甲、乙、丙、丁四名同學(xué)報名參加假期社區(qū)服務(wù)活動，社區(qū)服務(wù)活動共有關(guān)懷老人、環(huán)境監(jiān)測、教育咨詢、交通宣傳等四個項目，每人限報其中一項，記事件A為“4名同學(xué)所報項目各不相同”，事件B為“只有甲同學(xué)一人報關(guān)懷老人項目，則P(A|B)的值為()A.eq\f(1,4) B.eq\f(3,4) C.eq\f(2,9) D.eq\f(5,9)解析∵P(B)＝eq\f(33,44)，P(AB)＝eq\f(Aeq\o\al(3,3),44)，由條件概率P(A|B)＝eq\f(P（AB）,P（B）)＝eq\f(Aeq\o\al(3,3),33)＝eq\f(2,9).答案C7.在如圖所示的△ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AB，CD上，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝60°，BD＝2AD，CE＝2ED，則向量eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝()A.9 B.4 C.－3 D.－6解析根據(jù)題意，AB＝3，BD＝2AD，則AD＝1，在△ADC中，又由AC＝2，∠BAC＝60°，則DC2＝AD2＋AC2－2AD·ACcos∠BAC＝3，即DC＝eq\r(3)，所以AC2＝AD2＋DC2，則CD⊥AB，故eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝(eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→)))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝3×2×cos180°＝－6.答案D8.設(shè)定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足：f(x)＝f(4－x)，且當(dāng)x∈[0，2]時，f(x)＝x－ex＋1，若a＝f(2022)，b＝f(2019)，c＝f(2020)，則a，b，c的大小關(guān)系為()A.c<b<a B.a<b<cC.c<a<b D.b<a<c解析因為f(x)是偶函數(shù)，所以f(－x)＝f(x)＝f(4－x)，則f(x)的周期為4，則a＝f(2022)＝f(2)，b＝f(2019)＝f(3)＝f(4－3)＝f(1)，c＝f(2020)＝f(0).又當(dāng)x∈[0，2]時，f(x)＝x－ex＋1，知f′(x)＝1－ex<0.∴f(x)在區(qū)間[0，2]上單調(diào)遞減，因此f(2)<f(1)<f(0)，即a<b<c.答案B二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.9.(2020·聊城模擬)已知雙曲線C過點(diǎn)(3，eq\r(2))且漸近線為y＝±eq\f(\r(3),3)x，則下列結(jié)論正確的是()A.C的方程為eq\f(x2,3)－y2＝1B.C的離心率為eq\r(3)C.曲線y＝ex－2－1經(jīng)過C的一個焦點(diǎn)D.直線x－eq\r(2)y－1＝0與C有兩個公共點(diǎn)解析∵雙曲線的漸近線為y＝±eq\f(\r(3),3)x，∴設(shè)雙曲線C的方程為eq\f(x2,3)－y2＝λ(λ≠0).又雙曲線C過點(diǎn)(3，eq\r(2))，∴eq\f(32,3)－(eq\r(2))2＝λ，解得λ＝1，故A正確.此時C的離心率為eq\f(\r(3＋1),\r(3))＝eq\f(2\r(3),3)，故B錯誤.雙曲線C的焦點(diǎn)為(－2，0)，(2，0)，曲線y＝ex－2－1經(jīng)過點(diǎn)(2，0)，故C正確.把直線方程代入雙曲線C的方程并整理，得x2－6x＋9＝0，所以Δ＝0，故直線x－eq\r(2)y－1＝0與雙曲線C只有一個公共點(diǎn)，所以D錯誤.故選AC.答案AC10.(2020·青島質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝sin2x＋2eq\r(3)sinxcosx－cos2x，x∈R，則()A.－2≤f(x)≤2B.f(x)在區(qū)間(0，π)上只有1個零點(diǎn)C.f(x)的最小正周期為πD.直線x＝eq\f(π,3)為函數(shù)f(x)圖象的一條對稱軸解析已知函數(shù)f(x)＝sin2x＋2eq\r(3)sinxcosx－cos2x＝eq\r(3)sin2x－cos2x＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))，x∈R，則－2≤f(x)≤2，A正確；令2x－eq\f(π,6)＝kπ，k∈Z，則x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,12)，k∈Z，則f(x)在區(qū)間(0，π)上有2個零點(diǎn)，B錯誤；f(x)的最小正周期為π，C正確；當(dāng)x＝eq\f(π,3)時，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝2sin(2×eq\f(π,3)－eq\f(π,6))＝2，所以直線x＝eq\f(π,3)為函數(shù)f(x)圖象的一條對稱軸，D正確.故選ACD.答案ACD11.在某次高中學(xué)科競賽中，4000名考生的競賽成績(單位：分)統(tǒng)計如圖所示，60分以下視為不及格，若同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表，則下列說法中正確的是()A.成績在[70，80)的考生人數(shù)最多B.不及格的考生人數(shù)為1000C.考生競賽成績的平均數(shù)約為70.5D.考生競賽成績的中位數(shù)約為75解析由頻率分布直方圖可知，成績在[70，80)的考生人數(shù)最多，所以A正確.不及格的人數(shù)為4000×(0.01＋0.015)×10＝1000，所以B正確.考生競賽成績的平均數(shù)約為(45×0.01＋55×0.015＋65×0.02＋75×0.03＋85×0.015＋95×0.01)×10＝70.5，所以C正確.設(shè)考生競賽成績的中位數(shù)約為x0，因為(0.01＋0.015＋0.02)×10＝0.45<0.5，(0.01＋0.015＋0.02＋0.03)×10＝0.75>0.5，所以0.45＋(x0－70)×0.03＝0.5，解得x0≈71.7，D錯誤.故選ABC.答案ABC12.下列結(jié)論正確的是()A.若a>b>0，c<d<0，則一定有eq\f(b,c)>eq\f(a,d)B.若x>y>0，且xy＝1，則x＋eq\f(1,y)>eq\f(y,2x)>log2(x＋y)C.設(shè){an}是等差數(shù)列，若a2>a1>0，則a2>eq\r(a1a3)D.若x∈[0，＋∞)，則ln(1＋x)≥x－eq\f(1,8)x2解析對于A，由c<d<0，可得－c>－d>0，則－eq\f(1,d)>－eq\f(1,c)>0，又a>b>0，所以－eq\f(a,d)>－eq\f(b,c)，則eq\f(b,c)>eq\f(a,d)，故A正確.對于B，取x＝2，y＝eq\f(1,2)，則x＋eq\f(1,y)＝4，eq\f(y,2x)＝eq\f(1,8)，log2(x＋y)＝log2eq\f(5,2)>1，故B不正確.對于C，由題意得a1＋a3＝2a2且a1≠a3，所以a2＝eq\f(1,2)(a1＋a3)>eq\f(1,2)×2eq\r(a1a3)＝eq\r(a1a3)，故C正確.對于D，設(shè)h(x)＝ln(1＋x)－x＋eq\f(1,8)x2，則h′(x)＝eq\f(1,1＋x)－1＋eq\f(x,4)＝eq\f(x（x－3）,4（x＋1）)，當(dāng)0<x<3時，h′(x)<0，則h(x)單調(diào)遞減，h(x)<h(0)＝0，故D不正確.故選AC.答案AC三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.請把正確的答案填寫在各小題的橫線上.13.已知圓C：(x－eq\r(2))2＋y2＝r2(r＞0)與雙曲線E：x2－y2＝1的漸近線相切，則r＝________.解析∵雙曲線x2－y2＝1的漸近線為x±y＝0.依題意，得r＝eq\f(\r(2),\r(1＋1))＝1.答案114.已知等差數(shù)列{an}，其前n項和為Sn.若a2＋a5＝24，S3＝S9，則a6＝________，Sn的最大值為________.(本小題第一空2分，第二空3分)解析由S3＝S9，得a4＋a5＋…＋a9＝0，則a6＋a7＝0.又a2＋a5＝24，所以設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋5d＋a1＋6d＝0，,a1＋d＋a1＋4d＝24，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝22，,d＝－4，))所以a6＝a1＋5d＝2，Sn＝－2n2＋24n＝－2(n－6)2＋72，故當(dāng)n＝6時，Sn取得最大值72.答案27215.若(x＋a)(1＋2x)5的展開式中x3的系數(shù)為20，則a＝________.解析由已知得Ceq\o\al(2,5)·22＋a·Ceq\o\al(3,5)·23＝20，解得a＝－eq\f(1,4).答案－eq\f(1,4)16.(2020·河南百校大聯(lián)考)魏晉時期數(shù)學(xué)家劉徽在他的著作《九章算術(shù)注》中，稱一個正方體內(nèi)兩個互相垂直的內(nèi)切圓柱所圍成的幾何體為“牟合方蓋”(如圖所示)，劉徽通過計算得知正方體的內(nèi)切球的體積與“牟合方蓋”的體積之比應(yīng)為π∶4.若“牟合方蓋”的體積為eq\f(16,3)，則正方體的外接球的表面積為________.解析因為“牟合方蓋”的體積為eq\f(16,3)，又正方體的內(nèi)切球的體積與“牟合方蓋”的體積之比應(yīng)為π∶4，所以正方體的內(nèi)切球的體積V球＝eq\f(π,4)×eq\f(16,3)＝eq\f(4,3)π.則內(nèi)切球的半徑r＝1，正方體的棱長為2.所以正方體的體對角線d＝2eq\r(3)，因此正方體外接球的直徑2R＝d＝2eq\r(3)，則半徑R＝eq\r(3).所以正方體的外接球的表面積為S＝4πR2＝4π(eq\r(3))2＝12π.答案12π限時練(二)一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z＝eq\f(1－3i,1＋i)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第四象限 B.第三象限C.第二象限 D.第一象限解析z＝eq\f(1－3i,1＋i)＝eq\f(（1－3i）（1－i）,（1＋i）（1－i）)＝－1－2i，∴復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)(－1，－2)在第三象限.答案B2.若集合A＝{x|x(x－2)＞0}，B＝{x|x－1≤0}，則A∩(?RB)＝()A.{x|x＞1或x＜0} B.{x|1＜x＜2}C.{x|x＞2} D.{x|x＞1}解析易知A＝{x|x＞2或x＜0}，?RB＝{x|x＞1}，∴A∩(?RB)＝{x|x＞2}.答案C3.某公司一種型號的產(chǎn)品近期銷售情況如下表：月份x23456銷售額y/萬元15.116.317.017.218.4根據(jù)上表可得到回歸直線方程eq\o(y,\s\up6(^))＝0.75x＋eq\o(a,\s\up6(^))，據(jù)此估計，該公司7月份這種型號產(chǎn)品的銷售額為()A.19.5萬元 B.19.25萬元C.19.15萬元 D.19.05萬元解析易知eq\o(x,\s\up6(－))＝4，eq\o(y,\s\up6(－))＝16.8.∵回歸直線eq\o(y,\s\up6(^))＝0.75x＋eq\o(a,\s\up6(^))過點(diǎn)(4，16.8)，∴eq\o(a,\s\up6(^))＝16.8－4×0.75＝13.8，則eq\o(y,\s\up6(^))＝0.75x＋13.8.故7月份的銷售額eq\o(y,\s\up6(^))＝0.75×7＋13.8＝19.05(萬元).答案D4.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),x2)－x4))eq\s\up12(3)的展開式中的常數(shù)項為()A.－3eq\r(2) B.3eq\r(2) C.6 D.－6解析通項Tr＋1＝Ceq\o\al(r,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),x2)))eq\s\up12(3－r)(－x4)r＝Ceq\o\al(r,3)(eq\r(2))3－r(－1)rx－6＋6r，當(dāng)－6＋6r＝0，即r＝1時為常數(shù)項，T2＝－6.答案D5.已知等比數(shù)列{an}中，a1＝2，數(shù)列{bn}滿足bn＝log2an，且b2＋b3＋b4＝9，則a5＝()A.8 B.16 C.32 D.64解析由{an}是等比數(shù)列，且bn＝log2an，∴{bn}是等差數(shù)列，又b2＋b3＋b4＝9，所以b3＝3.由b1＝log2a1＝1，知公差d＝1，從而bn＝n，因此an＝2n，于是a5＝25＝32.答案C6.(2020·青島質(zhì)檢)某單位舉行詩詞大會比賽，給每位參賽者設(shè)計了“保留題型”“升級題型”“創(chuàng)新題型”三類題型，每類題型均指定一道題讓參賽者回答.已知某位參賽者答對每道題的概率均為eq\f(4,5)，且各次答對與否相互獨(dú)立，則該參賽者答完三道題后至少答對兩道題的概率是()A.eq\f(112,125) B.eq\f(80,125) C.eq\f(113,125) D.eq\f(124,125)解析某單位舉行詩詞大會比賽，給每位參賽者設(shè)計了“保留題型”“升級題型”“創(chuàng)新題型”三類題型，每類題型均指定一道題讓參賽者回答.某位參賽者答對每道題的概率均為eq\f(4,5)，且各次答對與否相應(yīng)獨(dú)立，則該參賽者答完三道題后至少答對兩道題的概率：P＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq\s\up12(3)＋Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq\s\up12(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))＝eq\f(112,125).答案A7.函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))cosx(－π≤x≤π，且x≠0)的圖象可能為()解析由f(－x)＝－f(x)及－π≤x≤π，且x≠0判定函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，排除A，B選項；當(dāng)x>0且x→0時，－eq\f(1,x)→－∞，cosx→1，此時f(x)→－∞，排除C選項，故選D.答案D8.在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝120°，點(diǎn)D為BC邊上的一點(diǎn)，且eq\o(BD,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝()A.eq\f(1,3) B.eq\f(2,3) C.1 D.2解析以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示.則A(0，0)，B(3，0)，C(－1，eq\r(3))，∵eq\o(BD,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，∴eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(－4，eq\r(3))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,3)，\f(2\r(3),3)))，則Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2\r(3),3)))，∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2\r(3),3)))，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3，0)，所以eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝3×eq\f(1,3)＋0×eq\f(2\r(3),3)＝1.答案C二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.9.(2020·淄博模擬)甲、乙、丙三家企業(yè)的產(chǎn)品成本(萬元)分別為10000，12000，15000，其成本構(gòu)成比例如圖，則下列關(guān)于這三家企業(yè)的說法正確的是()A.成本最大的企業(yè)是丙B.其他費(fèi)用支出最高的企業(yè)是丙C.支付工資最少的企業(yè)是乙D.材料成本最高的企業(yè)是丙解析由扇形統(tǒng)計圖可知，甲企業(yè)的材料成本為10000×60%＝6000(萬元)，支付工資10000×35%＝3500(萬元)，其他費(fèi)用支出為10000×5%＝500(萬元)；乙企業(yè)的材料成本為12000×53%＝6360(萬元)，支付工資為12000×30%＝3600(萬元)，其他費(fèi)用支出為12000×17%＝2040(萬元)；丙企業(yè)的材料成本為15000×60%＝9000(萬元)，支付工資為15000×25%＝3750(萬元)，其他費(fèi)用支出為15000×15%＝2250(萬元).所以成本最大的企業(yè)是丙，其他費(fèi)用支出最高的企業(yè)是丙，支付工資最少的企業(yè)是甲，材料成本最高的企業(yè)是丙.故選ABD.答案ABD10.(2020·海南模擬)將函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)(0<φ<π)的圖象向右平移eq\f(π,4)個單位長度后得到函數(shù)g(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))的圖象，則下列說法正確的是()A.φ＝eq\f(π,6)B.函數(shù)f(x)的最小正周期為πC.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，0))成中心對稱D.函數(shù)f(x)的一個單調(diào)遞減區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)，\f(5π,12)))解析由題意可知函數(shù)f(x)的最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π，B正確；將函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)(0<φ<π)的圖象向右平移eq\f(π,4)個單位長度后得到函數(shù)g(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))的圖象，所以sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))＋φ))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,2)＋φ))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))，所以－eq\f(π,2)＋φ＝eq\f(π,6)，所以φ＝eq\f(2π,3)∈(0，π)，A錯誤；f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(2π,3)))，令2x＋eq\f(2π,3)＝kπ，k∈Z，則x＝eq\f(kπ,2)－eq\f(π,3)，k∈Z，C錯誤；令2kπ＋eq\f(π,2)≤2x＋eq\f(2π,3)≤2kπ＋eq\f(3π,2)，k∈Z，解得kπ－eq\f(π,12)≤x≤kπ＋eq\f(5π,12)，k∈Z，所以函數(shù)f(x)的一個單調(diào)遞減區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)，\f(5π,12)))，D正確.故選BD.答案BD11.已知實數(shù)a>b>0，則下列不等關(guān)系正確的是()A.eq\f(b,a)<eq\f(b＋4,a＋4) B.lgeq\f(a＋b,2)>eq\f(lga＋lgb,2)C.a＋eq\f(1,b)<b＋eq\f(1,a) D.eq\r(a)－eq\r(b)>eq\r(a－b)解析對于A，因為eq\f(b,a)－eq\f(b＋4,a＋4)＝eq\f(b（a＋4）－a（b＋4）,a（a＋4）)＝eq\f(4（b－a）,a（a＋4）)，又a>b>0，所以eq\f(b,a)<eq\f(b＋4,a＋4)，故A正確；因為eq\f(lga＋lgb,2)＝lgeq\r(ab)，又eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時等號成立，由a>b>0，得eq\f(a＋b,2)>eq\r(ab)，所以lgeq\f(a＋b,2)>lgeq\r(ab)，即lgeq\f(a＋b,2)>eq\f(lga＋lgb,2)，故B正確；因為a＋eq\f(1,b)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,a)))＝(a－b)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)－\f(1,a)))＝(a－b)＋eq\f(a－b,ab)＝(a－b)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,ab)))，又a>b>0，所以a＋eq\f(1,b)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,a)))>0，即a＋eq\f(1,b)>b＋eq\f(1,a)，故C錯誤；因為a>b>0，所以eq\r(a)－eq\r(b)>0，則(eq\r(a)－eq\r(b))2＝a＋b－2eq\r(ab)，而(eq\r(a－b))2＝a－b，即(eq\r(a)－eq\r(b))2－(eq\r(a－b))2＝2b－2eq\r(ab)＝2(b－eq\r(ab))，又a>b>0，所以b－eq\r(ab)<0，所以(eq\r(a)－eq\r(b))2<(eq\r(a－b))2，即eq\r(a)－eq\r(b)<eq\r(a－b)，故D錯誤.故選AB.答案AB12.(2020·臨沂模擬)已知點(diǎn)P在雙曲線C：eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1上，點(diǎn)F1，F(xiàn)2是雙曲線C的左、右焦點(diǎn).若△PF1F2的面積為20，則下列說法正確的是()A.點(diǎn)P到x軸的距離為eq\f(20,3)B.|PF1|＋|PF2|＝eq\f(50,3)C.△PF1F2為鈍角三角形D.∠F1PF2＝eq\f(π,3)解析由雙曲線C：eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1可得，a＝4，b＝3，c＝5，不妨設(shè)P(xP，yP)，由△PF1F2的面積為20，可得eq\f(1,2)|F1F2||yP|＝c|yP|＝5|yp|＝20，所以|yP|＝4，選項A錯誤.將|yP|＝4代入雙曲線C的方程eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1中，得eq\f(xeq\o\al(2,P),16)－eq\f(42,9)＝1，解得|xP|＝eq\f(20,3).由雙曲線的對稱性，不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，則Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(20,3)，4))，可知|PF2|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(20,3)－5))\s\up12(2)＋（4－0）2)＝eq\f(13,3).由雙曲線的定義可知|PF1|＝|PF2|＋2a＝eq\f(13,3)＋8＝eq\f(37,3)，所以|PF1|＋|PF2|＝eq\f(37,3)＋eq\f(13,3)＝eq\f(50,3)，選項B正確.在△PF1F2中，|PF1|＝eq\f(37,3)>2c＝10>|PF2|＝eq\f(13,3)，且cos∠PF2F1＝eq\f(|PF2|2＋|F1F2|2－|PF1|2,2|PF2|·|F1F2|)＝－eq\f(5,13)<0，則∠PF2F1為鈍角，所以△PF1F2為鈍角三角形，選項C正確.由余弦定理得cos∠F1PF2＝eq\f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)＝eq\f(319,481)≠eq\f(1,2)，所以∠F1PF2≠eq\f(π,3)，選項D錯誤.故選BC.答案BC三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.請把正確的答案填寫在各小題的橫線上.13.某年級有1000名學(xué)生，一次數(shù)學(xué)考試成績服從正態(tài)分布X～N(105，102)，P(95≤X≤105)＝0.34，則該年級學(xué)生此次數(shù)學(xué)成績在115分以上的人數(shù)大約為________.解析∵數(shù)學(xué)考試成績服從正態(tài)分布X～N(105，102)，∴考試成績關(guān)于X＝105對稱.∵P(95≤X≤105)＝0.34，∴P(X>115)＝eq\f(1,2)×(1－0.68)＝0.16，∴該年級學(xué)生此次數(shù)學(xué)成績在115分以上的人數(shù)大約為0.16×1000＝160.答案16014.曲線y＝1－eq\f(2,x＋2)在點(diǎn)(－1，－1)處的切線方程為________.解析∵y＝1－eq\f(2,x＋2)＝eq\f(x,x＋2)，∴y′＝eq\f(x＋2－x,（x＋2）2)＝eq\f(2,（x＋2）2)，∴y′|x＝－1＝2，∴曲線在點(diǎn)(－1，－1)處的切線斜率為2，∴所求切線方程為y＋1＝2(x＋1)，即2x－y＋1＝0.答案2x－y＋1＝015.已知集合A＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，B＝{x|x＝2n，n∈N*}.將A∪B的所有元素從小到大依次排列構(gòu)成一個數(shù)列{an}.記Sn為數(shù)列{an}的前n項和，則使得Sn>12an＋1成立的n的最小值為________，此時Sn＝________.(本小題第一空3分，第二空2分)解析所有的正奇數(shù)和2n(n∈N*)按照從小到大的順序排列構(gòu)成{an}，在數(shù)列{an}中，25前面有16個正奇數(shù)，即a21＝25，a38＝26.當(dāng)n＝1時，S1＝1<12a2＝24，不符合題意；當(dāng)n＝2時，S2＝3<12a3＝36，不符合題意；當(dāng)n＝3時，S3＝6<12a4＝48，不符合題意；當(dāng)n＝4時，S4＝10<12a5＝60，不符合題意；……；當(dāng)n＝26時，S26＝eq\f(21×（1＋41）,2)＋eq\f(2×（1－25）,1－2)＝441＋62＝503<12a27＝516，不符合題意；當(dāng)n＝27時，S27＝eq\f(22×（1＋43）,2)＋eq\f(2×（1－25）,1－2)＝484＋62＝546>12a28＝540，符合題意.故使得Sn>12an＋1成立的n的最小值為27.答案2754616.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)P在線段BC1上運(yùn)動，有下列判斷：①平面PB1D⊥平面ACD1；②A1P∥平面ACD1；③異面直線A1P與AD1所成角的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))；④三棱錐D1－APC的體積不變.其中，正確的是________(把所有正確判斷的序號都填上).解析在正方體中，B1D⊥平面ACD1，B1D?平面PB1D，所以平面PB1D⊥平面ACD1，所以①正確.連接A1B，A1C1，如圖，容易證明平面A1BC1∥平面ACD1，又A1P?平面A1BC1，所以A1P∥平面ACD1，所以②正確.因為BC1∥AD1，所以異面直線A1P與AD1所成的角就是直線A1P與BC1所成的角，在△A1BC1中，易知所求角的范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))，所以③錯誤.VD1－APC＝VC－AD1P，因為點(diǎn)C到平面AD1P的距離不變，且△AD1P的面積不變，所以三棱錐D1－APC的體積不變，所以④正確.答案①②④限時練(三)一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.(2020·河南聯(lián)檢)已知集合A＝{x∈N|x2<8x}，B＝{2，3，6}，C＝{2，3，7}，則B∪(?AC)＝()A.{2，3，4，5} B.{2，3，4，5，6}C.{1，2，3，4，5，6} D.{1，3，4，5，6，7}解析因為A＝{x∈N|0<x<8}＝{1，2，3，4，5，6，7}，所以?AC＝{1，4，5，6}，所以B∪(?AC)＝{1，2，3，4，5，6}.故選C.答案C2.若z＝(3－i)(a＋2i)(a∈R)為純虛數(shù)，則z＝()A.eq\f(16,3)i B.6i C.eq\f(20,3)i D.20解析因為z＝3a＋2＋(6－a)i為純虛數(shù)，所以3a＋2＝0，解得a＝－eq\f(2,3)，所以z＝eq\f(20,3)i.故選C.答案C3.(2020·濰坊模擬)甲、乙、丙、丁四位同學(xué)各自對變量x，y的線性相關(guān)性進(jìn)行試驗，并分別用回歸分析法求得相關(guān)系數(shù)r，如下表：甲乙丙丁r－0.820.780.690.87哪位同學(xué)的試驗結(jié)果能體現(xiàn)出兩變量有更強(qiáng)的線性相關(guān)性？()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁解析由于丁同學(xué)求得的相關(guān)系數(shù)r的絕對值最接近于1，因此丁同學(xué)的試驗結(jié)果能體現(xiàn)出兩變量有更強(qiáng)的線性相關(guān)性.故選D.答案D4.設(shè)a＝lneq\f(1,2)，b＝－5－eq\f(1,2)，c＝logeq\f(1,3)2，則()A.c<b<a B.a<c<bC.c<a<b D.b<a<c解析由題意易知－a＝ln2，－b＝5－eq\f(1,2)，－c＝log32.因為eq\f(1,2)＝log3eq\r(3)<log32<ln2<1，0<5－eq\f(1,2)<4－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，所以－b<－c<－a，所以a<c<b.故選B.答案B5.(2020·青島質(zhì)檢)已知某市居民在2019年用手機(jī)支付的個人消費(fèi)額ξ(元)服從正態(tài)分布N(2000，1002)，則該市某居民在2019年用手機(jī)支付的消費(fèi)額在(1900，2200]內(nèi)的概率為()附：隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ<ξ≤μ＋3σ)≈0.9973.A.0.9759 B.0.84C.0.8186 D.0.4772解析∵ξ服從正態(tài)分布N(2000，1002)，∴μ＝2000，σ＝100，則P(1900<ξ≤2200)＝P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)＋eq\f(1,2)[P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)－P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)]≈0.6827＋eq\f(1,2)(0.9545－0.6827)＝0.8186.故選C.答案C6.設(shè)拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，斜率為k的直線過F交C于點(diǎn)A，B，且eq\o(AF,\s\up6(→))＝2eq\o(FB,\s\up6(→))，則直線AB的斜率為()A.2eq\r(2) B.2eq\r(3)C.±2eq\r(2) D.±2eq\r(3)解析由題意知k≠0，F(xiàn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，則直線AB的方程為y＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))，代入拋物線方程消去x，得y2－eq\f(2p,k)y－p2＝0.不妨設(shè)A(x1，y1)(x1＞0，y1＞0)，B(x2，y2).因為eq\o(AF,\s\up6(→))＝2eq\o(FB,\s\up6(→))，所以y1＝－2y2.又y1y2＝－p2.所以y2＝－eq\f(\r(2),2)p，x2＝eq\f(p,4)，所以kAB＝eq\f(－\f(\r(2),2)p－0,\f(p,4)－\f(p,2))＝2eq\r(2).根據(jù)對稱性，直線AB的斜率為±2eq\r(2).答案C7.已知點(diǎn)A(1，0)，B(1，eq\r(3))，點(diǎn)C在第二象限，且∠AOC＝150°，eq\o(OC,\s\up6(→))＝－4eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\o(OB,\s\up6(→))，則λ＝()A.eq\f(1,2) B.1 C.2 D.3解析設(shè)|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝r，則eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)r，\f(1,2)r))，由已知，得eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1，0)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(1，eq\r(3))，又eq\o(OC,\s\up6(→))＝－4eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\o(OB,\s\up6(→))，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)r，\f(1,2)r))＝－4(1，0)＋λ(1，eq\r(3))＝(－4＋λ，eq\r(3)λ)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)r＝－4＋λ，,\f(1,2)r＝\r(3)λ，))解得λ＝1.答案B8.在△ABC中，AB＝AC，D，E分別在AB，AC上，DE∥BC，AD＝eq\r(3)BD，將△ADE沿DE折起，連接AB，AC，當(dāng)四棱錐A－BCED體積最大時，二面角A－BC－D的大小為()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,4) C.eq\f(π,3) D.eq\f(π,2)解析因為AB＝AC，所以△ABC為等腰三角形，過A作BC的垂線AH，垂足為H，交DE于O，∴當(dāng)△ADE⊥平面BCED時，四棱錐A－BCED體積最大.由DE⊥AO，DE⊥OH，AO∩OH＝O，可得DE⊥平面AOH，又BC∥DE，則BC⊥平面AOH，∴∠AHO為二面角A－BC－D的平面角，在Rt△AOH中，由eq\f(AO,OH)＝eq\f(AD,DB)＝eq\r(3)，∴tan∠AHO＝eq\f(AO,OH)＝eq\r(3)，則二面角A－BC－D的大小為eq\f(π,3).答案C二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.9.(2020·濟(jì)寧模擬)“悅跑圈”是一款社交型的跑步應(yīng)用，用戶通過該平臺可查看自己某時間段的運(yùn)動情況.某人根據(jù)2019年1月至2019年11月每月跑步的里程(十公里)的數(shù)據(jù)繪制了下面的折線圖，根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論正確的是()A.月跑步里程數(shù)逐月增加B.月跑步里程數(shù)的最大值出現(xiàn)在9月C.月跑步里程的中位數(shù)為8月份對應(yīng)的里程數(shù)D.1月至5月的月跑步里程數(shù)相于6月至11月波動性更小，變化比較平穩(wěn)解析根據(jù)折線圖可知，2月跑步里程數(shù)比1月小，7月跑步里程數(shù)比6月小，10月跑步里程數(shù)比9月小，A錯誤.根據(jù)折線圖可知，9月的跑步里程數(shù)最大，B正確.一共11個月份，將月跑步里程數(shù)從小到大排列，根據(jù)折線圖可知，跑步里程的中位數(shù)為8月份對應(yīng)的里程數(shù)，C正確.根據(jù)折線圖可知D正確.故選BCD.答案BCD10.下列各式中，值為eq\f(1,2)的是()A.sin15°cos15° B.cos2eq\f(π,6)－sin2eq\f(π,6)C.eq\r(\f(1＋cos\f(π,6),2)) D.eq\f(tan22.5°,1－tan222.5°)解析sin15°cos15°＝eq\f(sin30°,2)＝eq\f(1,4)，排除A；cos2eq\f(π,6)－sin2eq\f(π,6)＝coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2)，B正確；eq\r(\f(1＋cos\f(π,6),2))＝eq\r(\f(1＋\f(\r(3),2),2))＝eq\f(\r(2＋\r(3)),2)，排除C；tan45°＝eq\f(2tan22.5°,1－tan222.5°)，得eq\f(tan22.5°,1－tan222.5°)＝eq\f(1,2)，D正確.故選BD.答案BD11.已知{an}是等比數(shù)列，若a6＝8a3＝8aeq\o\al(2,2)，則()A.an＝2n－1 B.an＝2nC.Sn＝2n－1 D.Sn＝2n＋1－2解析設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，由a6＝8a3，得a3·q3＝8a3，則q3＝8，所以q＝2.又8a3＝8aeq\o\al(2,2)，則a2·q＝aeq\o\al(2,2)，又a2≠0，所以a2＝2，即an＝a2qn－2＝2n－1，所以a1＝1，Sn＝eq\f(a1（1－qn）,1－q)＝2n－1，故選AC.答案AC12.數(shù)列{Fn}：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，稱為斐波那契數(shù)列，是由十三世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家列昂納多·斐波那契以兔子繁殖為例子而引入的，故又稱為“兔子數(shù)列”.該數(shù)列從第三項開始，每項等于其前相鄰兩項之和.記數(shù)列{Fn}的前n項和為Sn，則下列結(jié)論正確的是()A.Fn＝Fn－1＋Fn－2(n≥3) B.S4＝F6－1C.S2019＝F2020－1 D.S2019＝F2021－1解析根據(jù)題意有Fn＝Fn－1＋Fn－2(n≥3)，所以S3＝F1＋F2＋F3＝1＋F1＋F2＋F3－1＝F3＋F2＋F3－1＝F4＋F3－1＝F5－1，S4＝F4＋S3＝F4＋F5－1＝F6－1，S5＝F5＋S4＝F5＋F6－1＝F7－1，…，所以S2019＝F2021－1.答案ABD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.請把正確的答案填寫在各小題的橫線上.13.設(shè)a＝eq\f(210＋1,211＋1)，b＝eq\f(212＋1,213＋1)，則a，b的大小關(guān)系為________.解析法一由題意知，a－b＝eq\f(210＋1,211＋1)－eq\f(212＋1,213＋1)＝eq\f(（210＋1）（213＋1）－（212＋1）（211＋1）,（211＋1）（213＋1）)＝eq\f(3×210,（211＋1）（213＋1）)>0，故a>b.法二可考慮用函數(shù)的單調(diào)性解題.令f(x)＝eq\f(2x＋1,2x＋1＋1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2x＋1＋1)))，則f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，所以a＝f(10)>b＝f(12).答案a>b14.(2020·深圳統(tǒng)測)很多網(wǎng)站利用驗證碼來防止惡意登錄，以提升網(wǎng)絡(luò)安全.某馬拉松賽事報名網(wǎng)站的登錄驗證碼由0，1，2，…，9中的四個數(shù)字隨機(jī)組成，將從左往右數(shù)字依次增大的驗證碼稱為“遞增型驗證碼”(如0123).已知某人收到了一個“遞增型驗證碼”，則該驗證碼的首位數(shù)字是1的概率為________.解析由0，1，2，…，9中的四個數(shù)字隨機(jī)組成的“遞增型驗證碼”共有Ceq\o\al(4,10)個，而首位數(shù)字是1的“遞增型驗證碼”有Ceq\o\al(3,8)個.因此某人收到的“遞增型驗證碼”的首位數(shù)字是1的概率p＝eq\f(Ceq\o\al(3,8),Ceq\o\al(4,10))＝eq\f(4,15).答案eq\f(4,15)15.設(shè)雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦點(diǎn)為F，直線4x－3y＋20＝0過點(diǎn)F且與雙曲線C在第二象限的交點(diǎn)為P，O為原點(diǎn)，|OP|＝|OF|，則雙曲線C的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為________，離心率為________.(本小題第一空2分，第二空3分)解析如圖，∵直線4x－3y＋20＝0過點(diǎn)F，∴F(－5，0)，半焦距c＝5，則右焦點(diǎn)為F2(5，0).連接PF2.設(shè)點(diǎn)A為PF的中點(diǎn)，連接OA，則OA∥PF2.∵|OP|＝|OF|，∴OA⊥PF，∴PF2⊥PF.由點(diǎn)到直線的距離公式可得|OA|＝eq\f(20,5)＝4，∴|PF2|＝2|OA|＝8.由勾股定理，得|FP|＝eq\r(|FF2|2－|PF2|2)＝6.由雙曲線的定義，得|PF2|－|PF|＝2a＝2，∴a＝1，∴離心率e＝eq\f(c,a)＝5.答案(5，0)516.(2020·廈門質(zhì)檢)已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為3，點(diǎn)N是棱A1B1的中點(diǎn)，點(diǎn)T是棱CC1上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，動點(diǎn)Q在側(cè)面D1DAA1(包含邊界)內(nèi)運(yùn)動，且QB∥平面D1NT，則動點(diǎn)Q所形成的軌跡的長度為________.解析因為QB∥平面D1NT，所以點(diǎn)Q在過點(diǎn)B且與平面D1NT平行的平面內(nèi)，如圖，取DC的中點(diǎn)E1，取A1G＝1，則平面BGE1∥平面D1NT.延長BE1，交AD的延長線于點(diǎn)E，連接EG，交DD1于點(diǎn)I.顯然，平面BGE∩平面D1DAA1＝GI，所以點(diǎn)Q的軌跡是線段GI.∵DE1綊eq\f(1,2)AB，∴DE1為△EAB的中位線，∴D為AE的中點(diǎn).又DI∥AG，∴DI＝eq\f(1,2)AG＝1，∴GI＝eq\r(（2－1）2＋32)＝eq\r(10).答案eq\r(10)限時練(四)一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合A＝{x|y＝log2(x－2)}，B＝{x|x2≥9}，則A∩(?RB)＝()A.[2，3) B.(2，3)C.(3，＋∞) D.(2，＋∞)解析A＝{x|y＝log2(x－2)}＝(2，＋∞)，∵B＝{x|x2≥9}＝(－∞，－3]∪[3，＋∞)，∴?RB＝(－3，3)，則A∩(?RB)＝(2，3).答案B2.設(shè)x，y∈R，i為虛數(shù)單位，且eq\f(3＋4i,z)＝1＋2i，則z＝x＋yi的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析z＝eq\f(3＋4i,1＋2i)＝eq\f(（3＋4i）（1－2i）,5)＝eq\f(11,5)－eq\f(2,5)i，則eq\o(z,\s\up6(－))＝eq\f(11,5)＋eq\f(2,5)i，eq\o(z,\s\up6(－))對應(yīng)點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,5)，\f(2,5)))在第一象限.答案A3.(2020·福建漳州適應(yīng)性測試)如圖是某地區(qū)從1月21日至2月24日的新冠肺炎每日新增確診病例變化曲線圖.若該地區(qū)從1月21日至2月24日的新冠肺炎每日新增確診人數(shù)按日期順序排列構(gòu)成數(shù)列{an}，{an}的前n項和為Sn，則下列說法中正確的是()A.數(shù)列{an}是遞增數(shù)列 B.數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列C.數(shù)列{an}的最大項是a11 D.數(shù)列{Sn}的最大項是S11解析因為1月28日新增確診人數(shù)小于1月27日新增確診人數(shù)，即a7>a8，所以{an}不是遞增數(shù)列，所以A錯誤；因為2月23日新增確診病例數(shù)為0，所以S33＝S34，所以數(shù)列{Sn}不是遞增數(shù)列，所以B錯誤；因為1月31日新增病例數(shù)最多，從1月21日算起，1月31日是第11天，所以數(shù)列{an}的最大項是a11，所以C正確；由an≥0，知Sn＋1≥Sn，故數(shù)列{Sn}的最大項是最后一項，所以D錯誤.故選C.答案C4.大學(xué)生小明與另外3名大學(xué)生一起分配到某鄉(xiāng)鎮(zhèn)甲、乙、丙3個村小學(xué)進(jìn)行支教，若每個村小學(xué)至少分配1名大學(xué)生，則小明恰好分配到甲村小學(xué)的概率為()A.eq\f(1,12) B.eq\f(1,2) C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,6)解析大學(xué)生小明與另外3名大學(xué)生一起分配到某鄉(xiāng)鎮(zhèn)甲、乙、丙3個村小學(xué)進(jìn)行支教，每個村小學(xué)至少分配1名大學(xué)生，基本事件總個數(shù)n＝Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＝36，小明恰好分配到甲村小學(xué)包含的基本事件個數(shù)m＝Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)＝12，所以小明恰好分配到甲村小學(xué)的概率p＝eq\f(m,n)＝eq\f(12,36)＝eq\f(1,3).答案C5.(2020·荊門模擬)在二項式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x\f(1,2)＋\f(1,2x)))eq\s\up12(7)的展開式中，有理項的項數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.4解析該二項展開式的通項為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,7)xeq\f(7－r,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2x)))eq\s\up12(r)＝Ceq\o\al(r,7)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(r)·xeq\f(7－3r,2)，r＝0，1，2，…，7.當(dāng)r＝1，3，5，7時，Tr＋1為有理項，共有4項.故選D.答案D6.如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝eq\r(2)，BC＝2，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，則異面直線AD與A1C所成的角為()A.eq\f(π,2) B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,4) D.eq\f(π,6)解析以A為原點(diǎn)，AB，AC，AA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0，0，0)，A1(0，0，eq\r(2))，B(eq\r(2)，0，0)，C(0，eq\r(2)，0)，∴Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)，0))，∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)，0))，eq\o(A1C,\s\up6(→))＝(0，eq\r(2)，－eq\r(2))，∴cos〈eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(A1C,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(AD,\s\up6(→))·\o(A1C,\s\up6(→)),|\o(AD,\s\up6(→))||\o(A1C,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,2)，∴〈eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(A1C,\s\up6(→))〉＝eq\f(π,3).答案B7.已知A，B是圓O：x2＋y2＝4上的兩個動點(diǎn)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2，eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up6(→))，若M是線段AB的中點(diǎn)，則eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(OM,\s\up6(→))的值為()A.eq\r(3) B.2eq\r(3) C.2 D.3解析由eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up6(→))，又eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))，所以eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)\o(OA,\s\up6(→))＋\f(2,3)\o(OB,\s\up6(→))))·eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,6)(eq\o(OA,\s\up6(→))2＋2eq\o(OB,\s\up6(→))2＋3eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→)))，又△OAB為等邊三角形，所以eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝2×2cos60°＝2，eq\o(OA,\s\up6(→))2＝4，eq\o(OB,\s\up6(→))2＝4，所以eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(OM,\s\up6(→))＝3.答案D8.(2020·天津適應(yīng)性測試)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋2x，x≤0，,\f(2x－4,x)，x>0.))若函數(shù)F(x)＝f(x)－|kx－1|有且只有3個零點(diǎn)，則實數(shù)k的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(9,16))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,16)，＋∞))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,16)，0))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(9,16)))解析當(dāng)k＝eq\f(1,2)時，|kx－1|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－1))＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－1，x≥2，,1－\f(1,2)x，x<2.))作出函數(shù)y＝f(x)與y＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－1))的圖象，如圖.此時兩函數(shù)的圖象有且只有3個交點(diǎn)，此時F(x)有且只有3個零點(diǎn)，排除B，C.當(dāng)k＝－eq\f(1,20)時，|kx－1|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,20)x－1))＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(1,20)x－1，x≤－20，,1＋\f(1,20)x，x>－20，))作出函數(shù)y＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,20)x－1))的圖象，如圖.由圖可得函數(shù)y＝f(x)的圖象與y＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,20)x－1))的圖象有且只有3個交點(diǎn)，此時F(x)有且只有3個零點(diǎn)，排除A.故選D.答案D二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.9.已知0<c<1，1>a>b>0，則下列不等式成立的是()A.ca<cb B.eq\f(a,a＋c)<eq\f(b,b＋c)C.bac>abc D.logac>logbc解析構(gòu)造函數(shù)y＝cx，因為0<c<1，所以函數(shù)y＝cx是減函數(shù)，而a>b>0，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得ca<cb，故A正確；由題意得eq\f(a＋c,a)＝1＋eq\f(c,a)，eq\f(b＋c,b)＝1＋eq\f(c,b)，因為0<c<1，1>a>b>0，所以0<eq\f(c,a)<eq\f(c,b)，即0<eq\f(a＋c,b)<eq\f(b＋c,b)，取倒數(shù)得eq\f(a,a＋c)>eq\f(b,b＋c)，故B錯誤；由題意得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))eq\s\up12(c)<eq\f(a,b)，整理得bac<abc，故C錯誤；由已知得logac>0，logbc>0，又0<logca<logcb，所以eq\f(1,logca)>eq\f(1,logcb)，則logac>logbc，故D正確.故選AD.答案AD10.已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0，ω>0，|φ|<\f(π,2)))的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)的對稱中心可以為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，0)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，1))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，1)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，1))解析由圖象知A＝eq\f(3＋1,2)＝2，B＝eq\f(3－1,2)＝1，又T＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,12)－\f(π,12)))＝π，所以ω＝2.由2×eq\f(π,12)＋φ＝eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)且|φ|<eq\f(π,2)，得φ＝eq\f(π,3)，故f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＋1.令2x＋eq\f(π,3)＝kπ(k∈Z)，得x＝－eq\f(π,6)＋eq\f(kπ,2)(k∈Z)，取k＝0，有x＝－eq\f(π,6)；k＝1，x＝eq\f(π,3).答案CD11.對于函數(shù)f(x)＝eq\f(lnx,x)，下列說法正確的是()A.f(x)在x＝e處取得極大值eq\f(1,e)B.f(x)有兩個不同的零點(diǎn)C.f(4)＜f(π)＜f(3)D.π4＜4π解析f(x)的定義域為(0，＋∞)，且f′(x)＝eq\f(1－lnx,x2).令f′(x)＝0，得x＝e.∴f(x)在(0，e)上單調(diào)遞增，在(e，＋∞)上單調(diào)遞減，因此f(x)在x＝e處取得極大值f(e)＝eq\f(1,e)，A正確.令f(x)＝0，解得x＝1，故函數(shù)f(x)有且僅有一個零點(diǎn)，B錯誤.由f(x)在(e，＋∞)上單調(diào)遞減，得f(4)＜f(π)＜f(3)，則C正確.因為f(4)＜f(π)，即eq\f(ln4,4)＜eq\f(lnπ,π)，所以ln4π＜lnπ4，則4π＜π4，D錯誤.綜上知，正確的為AC.答案AC12.(2020·煙臺診斷)已知P是雙曲線C：eq\f(x2,3)－eq\f(y2,m)＝1(m>0)上任意一點(diǎn)，A，B是雙曲線C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn).設(shè)直線PA，PB的斜率分別為k1，k2(k1k2≠0)，若|k1|＋|k2|≥t恒成立，且實數(shù)t的最大值為eq\f(2\r(3),3)，則下列說法正確的是()A.雙曲線C的方程為eq\f(x2,3)－y2＝1B.雙曲線C的離心率為2C.函數(shù)y＝loga(x－1)(a>0，a≠1)的圖象恒過雙曲線C的一個焦點(diǎn)D.直線2x－3y＝0與雙曲線C有兩個交點(diǎn)解析設(shè)A(x1，y1)，P(x2，y2).由A，B是雙曲線C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，得B(－x1，－y1)，則eq\f(xeq\o\al(2,1),3)－eq\f(yeq\o\al(2,1),m)＝1，eq\f(xeq\o\al(2,2),3)－eq\f(yeq\o\al(2,2),m)＝1.兩式相減，得eq\f(xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2),3)＝eq\f(yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2),m)，所以eq\f(yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2),xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2))＝eq\f(m,3).又直線PA，PB的斜率分別為k1，k2，所以k1k2＝eq\f(y1－y2,x1－x2)×eq\f(－y1－y2,－x1－x2)＝eq\f(yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2),xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2))＝eq\f(m,3).所以|k1|＋|k2|≥2eq\r(\a\vs4\al(|k1||k2|))＝2eq\r(\f(m,3))，當(dāng)且僅當(dāng)|k1|＝|k2|時取等號.又|k1|＋|k2|≥t恒成立，且實數(shù)t的最大值為eq\f(2\r(3),3)，所以2eq\r(\f(m,3))＝eq\f(2\r(3),3)，解得m＝1.因此雙曲線C的方程為eq\f(x2,3)－y2＝1，則A項正確.因為a＝eq\r(3)，b＝1，所以c＝eq\r(a2＋b2)＝2，所以雙曲線C的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,\r(3))＝eq\f(2\r(3),3)，則B項不正確.雙曲線C的左、右焦點(diǎn)分別為(－2，0)，(2，0)，而當(dāng)x＝2時，y＝loga(2－1)＝loga1＝0，所以函數(shù)y＝loga(x－1)(a>0，a≠1)的圖象恒過雙曲線C的一個焦點(diǎn)(2，0)，則C項正確.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－3y＝0，,\f(x2,3)－y2＝1))消去y，得x2＝－9，此方程無實數(shù)解，所以直線2x－3y＝0與雙曲線C沒有交點(diǎn)，則D項不正確.故選AC.答案AC三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.請把正確的答案填寫在各小題的橫線上.13.設(shè){an}是公差不為零的等差數(shù)列，Sn為其前n項和.已知S1，S2，S4成等比數(shù)列，且a3＝5，則數(shù)列{an}的通項公式為________.解析設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0)，則由S1，S2，S4成等比數(shù)列，得Seq\o\al(2,2)＝S1S4，即(2a3－3d)2＝(a3－2d)·(4a3－2d).又a3＝5，所以(10－3d)2＝(5－2d)(20－2d)，解得d＝2.所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝a3＋(n－3)d＝2n－1.答案an＝2n－114.已知點(diǎn)E在y軸上，點(diǎn)F是拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)，直線EF與拋物線交于M，N兩點(diǎn)，若點(diǎn)M為線段EF的中點(diǎn)，且|NF|＝12，則p＝________.解析由題意知，直線EF的斜率存在且不為0，故設(shè)直線EF的方程為y＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))，與拋物線方程y2＝2px聯(lián)立，得k2x2－p(k2＋2)x＋eq\f(p2k2,4)＝0.設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1x2＝eq\f(p2,4).又Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，點(diǎn)M為線段EF的中點(diǎn)，得x1＝eq\f(\f(p,2),2)＝eq\f(p,4).由|NF|＝x2＋eq\f(p,2)＝12，得x2＝12－eq\f(p,2).由x1x2＝eq\f(p,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(12－\f(p,2)))＝eq\f(p2,4)，得p＝8或p＝0(舍去).答案815.(2020·長郡中學(xué)適應(yīng)性考試)如圖，在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)M，N，E分別為棱AA1，AB，AD的中點(diǎn)，以A為圓心，1為半徑，分別在面ABB1A1和面ABCD內(nèi)作弧MN和NE，并將兩弧各五等分，分點(diǎn)依次為M，P1，P2，P3，P4，N以及N，Q1，Q2，Q3，Q4，E.一只螞蟻欲從點(diǎn)P1出發(fā)，沿正方體的表面爬行至點(diǎn)Q4，則其爬行的最短距離為________.(參考數(shù)據(jù)：cos9°≈0.9877，cos18°≈0.9511，cos27°≈0.8910)解析在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)M，N，E分別為棱AA1，AB，AD的中點(diǎn)，以A為圓心，1為半徑，分別在平面ABB1A1和平面ABCD內(nèi)作弧MN和NE.將平面ABCD繞AB旋轉(zhuǎn)至與平面ABB1A1共面的位置，如圖(1)，則∠P1AQ4＝eq\f(180°,10)×8＝144°，所以P1Q4＝2sin72°.將平面ABCD繞AD旋轉(zhuǎn)至與平面ADD1A1共面的位置，將ABB1A1繞AA1旋轉(zhuǎn)至與平面ADD1A1共面的位置，如圖(2)，則∠P1AQ4＝eq\f(90°,5)×2＋90°＝126°，所以P1Q4＝2sin63°.因為sin63°<sin72°，且由誘導(dǎo)公式可得sin63°＝cos27°，所以最短距離為|P1Q4|＝2sin63°≈2×0.8910＝1.7820.圖(1)圖(2)答案1.782016.已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2，x＜a，,x2，x≥a，))若函數(shù)f(x)在R上是單調(diào)的，則實數(shù)a的取值范圍是________；若對任意的實數(shù)x1＜a，總存在實數(shù)x2≥a，使得f(x1)＋f(x2)＝0，則實數(shù)a的取值范圍是________(本小題第一空2分，第二空3分).解析令x＋2＝x2，得x＝－1或x＝2.作出函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，若函數(shù)f(x)在R上單調(diào)，只需a≥2.若對任意的實數(shù)x1＜a，總存在實數(shù)x2≥a，使得f(x1)＋f(x2)＝0，可得x1＋2＋xeq\o\al(2,2)＝0，即－xeq\o\al(2,2)＝x1＋2，即有a＋2≤0，解得a≤－2.答案[2，＋∞)(－∞，－2]限時練(五