第18講直角三角形與三角函數(shù)12020年10月2日泰安考情分析基礎知識過關泰安考點聚焦總綱目錄隨堂鞏固練習22020年10月2日泰安考情分析32020年10月2日基礎知識過關知識點一直角三角形的性質(zhì)和判定知識點二銳角三角函數(shù)知識點三解直角三角形知識點四解直角三角形的實際應用42020年10月2日知識點一

直角三角形的性質(zhì)和判定1.直角三角形的性質(zhì)(1)直角三角形的兩個銳角①

互余

.(2)在直角三角形中,30°的角所對的直角邊等于斜邊的②

一半

.(3)勾股定理:直角三角形兩條直角邊的平方和等于③

斜邊的平

方

.(4)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的④

一半

.52020年10月2日2.直角三角形的判定(1)有兩個銳角⑤

互余

的三角形是直角三角形.(2)如果三角形的兩直角邊長為a,b,斜邊長為c,且滿足⑥

a2+b2=c2

,那么這個三角形是直角三角形.溫馨提示

(1)勾股定理闡述的是直角三角形中三邊之間的數(shù)量

關系,即在直角三角形中,已知兩邊長度能夠運用勾股定理求第三

邊的長度;(2)勾股定理逆定理的作用:可以判斷一個三角形是不

是直角三角形;證明兩條線段垂直.62020年10月2日知識點二

銳角三角函數(shù)1.銳角三角函數(shù)的定義如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C的對邊分別

為a、b、c,則∠A的正弦sinA=

=⑦

,∠A的余弦cosA=

=

,∠A的正切tanA=

=

.

72020年10月2日溫馨提示

(1)sinA、cosA、tanA表示的是一個整體,是指兩條線段的比,沒有單位.(2)銳角三角函數(shù)的大小僅與角的大小有關,與該角所處的直角三

角形的大小無關.82020年10月2日2.特殊角的三角函數(shù)值α三角函數(shù)

30°45°60°sinα

⑧

cosα

⑨

tanα

1

92020年10月2日溫馨提示

30°、45°、60°角的正弦值的分母都是2,分子分別是1、

、

,由此可知,隨著角α的度數(shù)的增大,正弦值逐漸增大;同理可得,隨著角α的度數(shù)的增大,余弦值逐漸減小.3.三角函數(shù)之間的關系(1)同角三角函數(shù)之間的關系:sin2α+cos2α=1,tanα=

.(2)互余兩角的三角函數(shù)之間的關系:若∠A+∠B=90°,則sinA=cosB,sinB=cosA.102020年10月2日知識點三

解直角三角形1.解直角三角形的定義:由直角三角形中除直角外的已知元素,求

出所有未知元素的過程,叫做解直角三角形.112020年10月2日2.直角三角形的邊角關系在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c.(1)三邊之間的關系:a2+b2=c2;(2)兩個銳角之間的關系:∠A+∠B=⑩

90°

;(3)邊角之間的關系:sinA=

,cosA=

,tanA=

,sinB=

,cosB=

,tanB=

.溫馨提示

解直角三角形的思路可概括為“有斜(斜邊)用弦(正

弦、余弦)、無斜用切(正切)、寧乘勿除、取原避中”.122020年10月2日知識點四

解直角三角形的實際應用1.解直角三角形應用中常見的術語132020年10月2日仰角、俯角在視線與水平線所成的銳角中,視線在水平線上方所形成的角叫仰角,

視線在水平線下方所形成的角叫俯角

坡度(坡比)、坡角坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比叫坡度(坡比),用字母i表示;坡面與

水平線所成的銳角α叫坡角,i=tanα=

方向角一般指以觀測者的位置為中心,將正北或正南方向作為起始方向,其與

旋轉到目標的方向線所成的角(一般指銳角)通常表達成北(南)偏東

(西)××度,如圖,A點位于O點的北偏東30°方向,B點位于O點的南偏東6

0°方向,C點位于O點的北偏西45°方向(或西北方向)

142020年10月2日2.解直角三角形在實際問題中應用的一般步驟(1)將實際問題抽象為數(shù)學問題(畫出平面圖形,轉化為解直角三

角形的問題);(2)根據(jù)條件的特點,適當選用銳角三角函數(shù)解直角三角形.152020年10月2日泰安考點聚焦考點一直角三角形的性質(zhì)和判定考點二銳角三角函數(shù)考點三解直角三角形162020年10月2日考點一

直角三角形的性質(zhì)和判定例1如圖,在直角O的內(nèi)部有一滑動桿AB,當端點A沿直線AO向

下滑動時,端點B會隨之自動地沿直線OB向左滑動,如果滑動桿從

圖中AB處滑動到A'B'處,那么滑動桿的中點C所經(jīng)過的路徑是

(B)

A.直線的一部分

B.圓的一部分C.雙曲線的一部分

D.拋物線的一部分172020年10月2日解析連接OC、OC',如圖,

∵∠AOB=90°,C為AB中點,∴OC=

AB=

A'B'=OC',∴當端點A沿直線AO向下滑動時,AB的中點C到O的距離始終為

定長,∴滑動桿的中點C所經(jīng)過的路徑是一段圓弧.故選B.182020年10月2日考點二

銳角三角函數(shù)例2如圖,在△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3,則cosA的值是(D)

A.

B.

C.

D.

192020年10月2日解析根據(jù)銳角的余弦等于鄰邊比斜邊求解即可,∵AB=5,BC=3,∴AC=4,∴cosA=

=

.故選D.202020年10月2日變式2-1在△ABC中,若角A,B滿足

+(1-tanB)2=0,則∠C的大小是

(D)A.45°B.60°

C.75°D.105°212020年10月2日解析由題意得,cosA=

,tanB=1,則∠A=30°,∠B=45°,則∠C=180°-30°-45°=105°.故選D.222020年10月2日考點三

解直角三角形例3

(2016泰安)如圖,輪船沿正南方向以30海里/時的速度勻速

航行,在M處觀測到燈塔P在西偏南68°方向上,航行2小時后到達N

處,觀測燈塔P在西偏南46°方向上,若該船繼續(xù)向南航行至離燈塔

最近位置,則此時輪船離燈塔的距離約為(由科學計算器得到sin6

8°≈0.9272,sin46°≈0.7193,sin22°≈0.3746,sin44°≈0.6947)

(B)A.22.48海里

B.41.68海里C.43.16海里

D.55.63海里232020年10月2日解析過點P作PG⊥MN于G.

依題意可知MN=60海里,∠PMN=22°,∠PNG=44°.∴∠MPN=∠PMN,∴NP=MN=60海里.在Rt△PNG中,sin∠PNG=

,∴PG=PN·sin∠PNG=PN·sin44°≈60×0.6947≈41.68(海里).∴此時輪船離燈塔的距離約為41.68海里,故選B.242020年10月2日變式3-1如圖,輪船從B處以每小時60海里的速度沿南偏東20°

方向勻速航行,在B處觀測燈塔A位于南偏東50°方向上,輪船航行

40分鐘到達C處,在C處觀測燈塔A位于北偏東10°方向上,則C處與

燈塔A的距離是

(D)

A.20海里

B.40海里C.

海里

D.

海里252020年10月2日解析如圖,作AM⊥BC于M.

由題意得,∠DBC=20°,∠DBA=50°,BC=60×

=40海里,∠NCA=10°,則∠ABC=∠DBA-∠DBC=50°-20°=30°.∵BD∥CN,∴∠BCN=∠DBC=20°,∴∠ACB=∠ACN+∠BCN=10°+20°=30°,∴∠ACB=∠ABC=30°,∴AB=AC,262020年10月2日∵AM⊥BC于M,∴CM=

BC=20海里.在Rt△ACM中,∵∠AMC=90°,∠ACM=30°,∴AC=

=

=

(海里).故選D.272020年10月2日溫馨提示

根據(jù)例題和變式訓練可以發(fā)現(xiàn),一般解直角三角形類

題目的處理,可以看做是“割補”思想的拓展,即把原圖形通過

“割補”,處理成有“公共邊”的兩個直角三角形,具體題目中,再根據(jù)公共邊的“已知”或“未知”決定進行直接運算或者設

未知數(shù)x.282020年10月2日一、選擇題1.(2017浙江溫州)如圖,一輛小車沿傾斜角為α的斜坡向上行駛13

米,已知cosα=

,則小車上升的高度是

(A)

A.5米

B.6米

C.6.5米

D.12米隨堂鞏固訓練292020年10月2日2.如圖,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD是△ABC的角平分線,

DE⊥AB,垂足為E,DE=1,則BC=

(C)

A.

B.2

C.3

D.

+2302020年10月2日3.(2018泰安)如圖,☉M的半徑為2,圓心M的坐標為(3,4),點P是☉

M上的任意一點,PA⊥PB,且PA、PB與x軸分別交于A、B兩點,若

點A、點B關于原點O對稱,則AB的最小值為

(C)

A.3

B.4

C.6

D.8312020年10月2日二、填空題4.(2018泰安)如圖,在矩形ABCD中,AB=6,BC=10,將矩形ABCD沿

BE折疊,點A落在A'處,若EA'的延長線恰好過點C,則sin∠ABE的值

為

.322020年10月2日解析由折疊知AB=A‘B=6,∴在Rt△A’BC中,根據(jù)勾股定理得A‘C=8,設AE=x,則A’E=x,在Rt△DEC中,DE2+DC2=EC2,即(10-x)2+62=(8

+x)2,解得x=2,即AE的長為2.在Rt△AEB中,求得sin∠ABE=

.332020年10月2日5.(2018濱州)在△ABC中,∠C=90°,若tanA=

,則sinB=

.解析如圖所示:∵∠C=90°,tanA=

,∴設BC=x,則AC=2x,故AB=

x,則sinB=

=

=

.

342020年10月2日三、解答題6.(2018德州)如圖,兩座建筑物的水平距離BC為60m.從C點測得A

點的仰角α為53°,從A點測得D點的俯角β為37°,求兩座建筑物的高度.

參考數(shù)據(jù):sin37°≈

,cos37°≈

,tan37°≈

,sin53°≈4,cos53°≈

,tan