2-1單變量函數(shù)的微分學及應用第二章2-1單變量函數(shù)的微分學及應用第二章2-2第二章基本內(nèi)容

導數(shù)與微分經(jīng)濟學概念導數(shù)與微分的應用（II）供求理論消費理論廠商理論市場理論導數(shù)與微分的應用（I）Lagrangian中值定理與Taylor中值定理函數(shù)單調(diào)性函數(shù)凹凸性函數(shù)的極值2-2第二章基本內(nèi)容

導數(shù)與微分經(jīng)濟學概念導數(shù)與微分的應用2-3導數(shù)與微分變量與函數(shù)變量經(jīng)濟學中的實際問題，往往由許多因素組成．可分為兩類：1)原因因素，數(shù)學上稱作自變量，經(jīng)濟學上稱作外生變量（不可控因素）；2)結果因素，數(shù)學上稱作因變量，經(jīng)濟學上稱作內(nèi)生變量（可控因素，即模型的解）．函數(shù)我們主要研究內(nèi)生變量與外生變量之間的關系，數(shù)學上用因變量與自變量之間的函數(shù)關系來描述2-3導數(shù)與微分變量與函數(shù)2-4導數(shù)定義設y=f(x)是定義在集合S上的一元函數(shù)，x0S，則f(x)在x0處的導數(shù)定義為或稱f

(x)為定義在S上的導函數(shù)．由導數(shù)定義可知f(x+1)f(x)

f

(x)（參見后面的應用）2-4導數(shù)定義或稱f(x)為定義在S上的導函數(shù)．2-5導數(shù)

（續(xù)）幾何解釋f

(x0)是函數(shù)f(x)的圖形在點(x0，f(x0)點處切線的斜率，該點處切線的方程為yf(x0)=f

(x0)(xx0)經(jīng)濟解釋經(jīng)濟學中許多重要的概念是用導數(shù)來刻劃的；數(shù)學上的導數(shù)，對應著經(jīng)濟學上的邊際；利用導數(shù)進行經(jīng)濟分析，簡稱邊際分析；例如，需求量Qd=f(P)對價格P的導數(shù)f(P)稱為價格的邊際需求量．2-5導數(shù)（續(xù)）幾何解釋2-6導數(shù)

（續(xù)）經(jīng)濟應用－－經(jīng)濟學中的邊際概念經(jīng)濟學中的邊際概念定義為一個經(jīng)濟量X在原有值X0的基礎上再增加一個單位而導致的另一個經(jīng)濟量F(X)的增量，數(shù)學上表示為F(X0+1)

F(X0)F(X0)．勞動的邊際產(chǎn)量是指再雇用一個單位的勞動所增加的產(chǎn)量；假設生產(chǎn)函數(shù)為Q=F(L)，當前勞動為L0個單位，則勞動的邊際產(chǎn)量為F(L0+1)

F(L0)F(L0)．2-6導數(shù)（續(xù)）經(jīng)濟應用－－經(jīng)濟學中的邊際概念2-7導數(shù)與微分

（續(xù)）例如，設有生產(chǎn)函數(shù)Q=F(L)=L1/2/2，L0=100。計算知F'(L0)=F'(100)=0.025，F(xiàn)(101)F(100)=0.0249．可見導數(shù)F(100)是邊際產(chǎn)量F(101)F(100)的一個很好的近似值盡管F'

(X)不能精確表示由X增加一個單位而導致的F(X)的增加量，但經(jīng)濟學家們?nèi)匀挥盟鼇肀硎綟(X)的邊際變化．這是因為1）單一項F'(X)比差F(X+1)F(X)簡單；2）F'(X)避免了“用何單位度量X增加一個單位”這一問題．2-7導數(shù)與微分（續(xù)）例如，設有生產(chǎn)函數(shù)Q=F(L)2-8微分

定義

設y=f(x)是定義在集合S上的一元函數(shù)，x0S．給定自變量x的一個增量x，若函數(shù)的增量y可表示為：

y=f(x0+x)

f(x0)=Ax+o(x) 則稱函數(shù)f(x)在x0處可微，并稱Ax為函數(shù)f(x)在x0處的微分，記作dy|x=x0=Ax或dy|x=x0=Adx．微分的計算若函數(shù)f(x)在x0處可微，則dy|x=x0=f

(x0)x．2-8微分定義2-9微分

（續(xù)）微分的應用微分可用于近似計算．這是因為由微分的定義可知

y=f(x0+x)

f(x0)

f

(x0)x或f(x0+x)

f(x0)+f

(x0)x. 在前面知道可用導數(shù)計算某個經(jīng)濟量x增加一個單位時相應的另一個經(jīng)濟量的變化．若經(jīng)濟量X增加X個單位，則可用上式式計算相應的另一個經(jīng)濟量F(X)的變化．2-9微分（續(xù)）微分的應用2-10導數(shù)與微分

（續(xù)）例如，設有生產(chǎn)函數(shù)Q=F(L)=L1/2/2，將勞動力L由900個單位削減到896個單位，試估計產(chǎn)量的變化和在L0=896處的新產(chǎn)量．解：Q=f

(900)(896900)=1/30單位F(896)=F(900)+Q=14.9667單位2-10導數(shù)與微分（續(xù)）例如，設有生產(chǎn)函數(shù)Q=F(L2-11Lagrangian中值定理若f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)上可導，則至少存在一個(a，b)使下式成立

f(b)

f(a)=f

()(b

a).幾何解釋：在弧AB上至少有一點C，使曲線f(x)在C點處的切線平行于弦AB．OCABabf(x)2-11Lagrangian中值定理若f(x)在[a，b]上2-12Taylor中值定理設x0

(a，b)，f(x)在(a，b)內(nèi)有直到n+1階的導數(shù)，則當x

(a，b)時，存在在x0與x之間，使得下式成立其中稱作Taylor余項當n=0時，Taylor公式成為Lagrangian中值公式，因此Taylor中值定理是Largrangian中值定理的推廣．2-12Taylor中值定理設x0(a，b)，f(x)在2-13應用(I)單調(diào)性、凸凹性、極值介紹Largrangian中值定理和Taylor中值定理在函數(shù)的單調(diào)性、極值和凹凸性等方面的應用．函數(shù)單調(diào)性的判定函數(shù)凹凸性的判定函數(shù)的極值2-13應用(I)單調(diào)性、凸凹性、極值介紹Largran2-14應用(I)單調(diào)性

f(x)單調(diào)的充分條件設函數(shù)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)上可導，則(1)f(x)在[a，b]上嚴格單調(diào)增加的充分條件是在(a，b)上恒有f'(x)>0；(2)f(x)在[a，b]上嚴格單調(diào)減少的充分條件是在(a，b)上恒有f'(x)<0．證明：由Largrangian中值定理證明．幾何解釋：f(x)在[a，b]上嚴格單調(diào)增加（或減少）等價于f(x)圖形上任一點處的切線與x軸的正向的傾角小于（或大于）900函數(shù)的單調(diào)性在經(jīng)濟學中用于比較靜態(tài)分析等．2-14應用(I)單調(diào)性f(x)單調(diào)的充分條件函數(shù)的2-15應用(I)單調(diào)性（續(xù)）

f(x)嚴格單調(diào)的必要條件設函數(shù)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)上可導且f'(x)0，則(1)f(x)在[a，b]上嚴格單調(diào)增加的必要條件是在(a，b)上恒有f'(x)>0；(2)f(x)在[a，b]上嚴格單調(diào)減少的必要條件是在(a，b)上恒有f'(x)<0．證明：可由導數(shù)的定義證明．2-15應用(I)單調(diào)性（續(xù)）f(x)嚴格單調(diào)的必要2-16應用(I)單調(diào)性（續(xù)）

f(x)單調(diào)的充分條件若對任意x1，x2

(a，b)，f(x2)（或）f(x1)+f(x1)(x2x1)，則f(x)在(a，b)上單調(diào)增加（減少）．

f(x)是單調(diào)減少的x1x2f(x2)f(x1)+f(x1)(x2x1)f(x1)幾何解釋：f(x)在[a，b]上單調(diào)增加（或減少）等價于f(x)圖形上任一點處的切線在f(x)圖形的下方（或上方）．2-16應用(I)單調(diào)性（續(xù)）f(x)單調(diào)的充2-17應用(I)凸凹性（續(xù)）凸凹性定義（1）稱函數(shù)f(x)在(a，b)上是凸的（或凹的），若對任意）[0，1]，對任意x1，x2

(a，b)，恒有下式成立f(x1+(1)x2)（或）

f(x1)+(1

)f(x2)（2）若對任意(0，1)，對任意x1，x2(a，b)且x1

x2，恒有上式中的嚴格不等式成立，則稱函數(shù)f(x)是(a，b)上的嚴格凸（或凹）函數(shù)．由定義易知，嚴格凸（或凹）函數(shù)一定是凸（或凹）函數(shù)．2-17應用(I)凸凹性（續(xù)）凸凹性定義2-18應用(I)凸凹性continued凸凹性幾何意義

所以f(x)是凹函數(shù)x1x2f(x2)x3=x1+(1)x2f(x1)f(x3)=f(x1+(1)x2)

f(x1)+(1

)

f(x2)Ox32-18應用(I)凸凹性continued凸凹性幾何意2-19應用(I)凸凹性continued凸凹性判斷法判定法之一（利用一階導數(shù)）設函數(shù)f(x)在(a，b)上可導，則f(x)在(a，b)上為凸（或凹）函數(shù)的充要條件是對任意x1，x2(a，b)有f(x2)（或）f(x1)+f

(x1)(x2

x1)當上面的嚴格不等式對任意x1，x2

(a，b)且x1

x2成立時，即為嚴格凸（或凹）函數(shù)的充要條件．2-19應用(I)凸凹性continued凸凹性判斷法2-20應用(I)凸凹性continued幾何意義x1x2f(x2)f(x1)+f(x1)(x2x1)f(x1)

f

(x)是凹函數(shù)f(x2)

f(x1)+f

(x1)(x2

x1)幾何解釋：f(x)是[a，b]上的凹函數(shù)（或凸函數(shù)）等價于f(x)圖形上任一點處的切線在f(x)圖形的上方（或下方）．2-20應用(I)凸凹性continued幾何意義x12-21應用(I)凸凹性continued凸凹性判斷法判定法之二（利用二階導數(shù)）若函數(shù)f(x)在(a，b)上是二階連續(xù)可微的，則f(x)是(a，b)上的凸（或凹）函數(shù)的充要條件是對任意x(a，b)有

f

(x)0(或f

(x)0)， 而f(x)是(a，b)上的嚴格凸（或凹）函數(shù)的充分條件是上面的嚴格不等式成立．幾何意義凸函數(shù)2-21應用(I)凸凹性continued凸凹性判斷法2-22應用(I)函數(shù)的極值極值的必要條件設函數(shù)f(x)在x0可導，且在x0取得極值，則f(x0)=0幾何解釋：曲線在函數(shù)取得極值的點x0處的切線是水平的．x02-22應用(I)函數(shù)的極值極值的必要條件x02-23應用(I)函數(shù)的極值（續(xù)）極值的充分條件(I)（一階充分條件）設f(x)在x0的一個領域內(nèi)可導且

f(x0)=0．（1）若x取x0左側(cè)鄰近的值時，f(x)的符號恒為正；當x取x0右側(cè)鄰近的值時，f(x)的符號恒為負，則f(x)在x0處取得極大值;（2）若x取x0左側(cè)鄰近的值時，f(x)的符號恒為負；當x取x0右側(cè)鄰近的值時，f(x)的符號恒為正，則f(x)在x0處取得極小值．2-23應用(I)函數(shù)的極值（續(xù)）極值的充分條件(I)2-24應用(I)函數(shù)的極值（續(xù)）極值的充分條件(II)（二階充分條件）設f(x0)=0，f(x)在x0處具有二階導數(shù)且f(x0)0．（1）當f(x0)<0時，f(x)在x0處取得極大值（2）當f(x0)>0時，f(x)在x0處取得極小值2-24應用(I)函數(shù)的極值（續(xù)）極值的充分條件(II2-25應用(I)函數(shù)的極值（續(xù)）極值的充分條件(III)（N階充分條件）設f(x0)=f(x0)==f(N

1)(x0)=0，f(N)(x0)0．（1）當N為偶數(shù)且f(N)(x0)<0時，f(x)在x0處取得極大值；（2）當N為偶數(shù)且f(N)(x0)>0時，f(x)在x0處取得極小值；（3）當N為奇數(shù)時，(x0，f(x0))為拐點．練習：考慮函數(shù)y=x3

和y=x6+6極值點和拐點．2-25應用(I)函數(shù)的極值（續(xù)）極值的充分條件(II2-26應用(I)函數(shù)的極值（續(xù)）幾類特定函數(shù)的最大值和最小值只有一個駐點x0(f(x0)=0)的函數(shù)．設a）f(x)的定義域是一個區(qū)間I；b）x0是f(x)在區(qū)間I上的唯一駐點；c）x0是f(x)的（局部）極值點．則x0是f(x)在區(qū)間I上的（全局）最值點二階導數(shù)處處非零的函數(shù)若f(x)是區(qū)間I上的二階連續(xù)可微函數(shù)，且f(x)在區(qū)間I上處處非零，則f(x)在區(qū)間I上至多有一個駐點．若有一個駐點x0，則x0是最值點．若f(x0)>0，則x0是最小值點；若f(x0)<0，則x0是最大值點．2-26應用(I)函數(shù)的極值（續(xù)）幾類特定函數(shù)的最大值2-27應用(I)函數(shù)的極值（續(xù)）沒有最大值或最小值的函數(shù)定義域為開區(qū)間的函數(shù)不一定有最大（或?。┲?，如函數(shù)f(x)=x33x．定義域為開區(qū)間的嚴格單調(diào)增加的函數(shù)（或嚴格單調(diào)減少的函數(shù)）沒有最大值（或最小值）同時，有這樣的函數(shù)，有最小值，但無最大值，如f(x)=x4；也有這樣的函數(shù)，有最大值，但無最小值，如f(x)=

x4．2-27應用(I)函數(shù)的極值（續(xù)）沒有最大值或最小值的2-28應用(I)函數(shù)的極值（續(xù)）定義域是閉區(qū)間的函數(shù)：Weierstrass定理：閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定有最大值和最小值．凸（凹）函數(shù)設f(x)是區(qū)間I上的凸（或凹）函數(shù)，x0I是它的極小點（或極大點），則x0一定是f(x)的最?。ɑ蜃畲螅┲迭c．2-28應用(I)函數(shù)的極值（續(xù)）定義域是閉區(qū)間的函數(shù)2-29應用(II)經(jīng)濟學供求理論消費理論廠商理論市場理論2-29應用(II)經(jīng)濟學供求理論2-30應用(II)供求理論需求向下傾斜規(guī)律觀察由需求表得到的需求曲線Qd=f(p)，它是向下傾斜的；換言之，需求量與價格成反向變動．數(shù)學上描述為或供給向上傾斜規(guī)律供給曲線是向上傾斜的，即隨著價格的增加，供給量也增加．數(shù)學上描述為或（1）如何度量價格對需求的影響？（2）邊際需求是否受價格和需求量的單位的影響？2-30應用(II)供求理論需求向下傾斜規(guī)律或供給向上傾2-31應用(II)供求理論（續(xù)）需求彈性價格的變化如何影響需求的變化？可用需求函數(shù)Qd=F(p)關于價格p的導數(shù)F(p)來衡量，F(xiàn)(p)稱作邊際需求．邊際需求是否受價格和需求量的單位的影響？例如，設價格增加1角導致汽油的消耗量減少1百萬桶，則邊際需求為：桶/分桶/元百萬桶/分Yes2-31應用(II)供求理論（續(xù)）需求彈性桶/分桶/元百2-32應用(II)供求理論（續(xù)）經(jīng)濟學者希望需求對價格的變化的靈敏度不受所選擇單位的影響，該靈敏度可用來比較具有不同貨幣、不同重量和體積單位的不同國家的消費行為．解決辦法是用一個經(jīng)濟量的變化的百分率而不是它的增量來度量該量的變化．2-32應用(II)供求理論（續(xù)）經(jīng)濟學者希望需求對價格2-33應用(II)供求理論（續(xù)）設某個經(jīng)濟量q的初值是q0，后變化為q1．則用(q1q0)/q0描述q的變化，而不用q=q1q0．前者不依賴于q的度量單位，稱作q的變化的百分率，有時稱之為q的增長率．例如，若價格由$1.25變到$1.5，則價格變化的百分率（或價格的增長率）為(1.51.25)/1.25=20%．若選其度量單位如美分或人民幣，這個增長率仍不變2-33應用(II)供求理論（續(xù)）設某個經(jīng)濟量q的初值是2-34應用(II)供求理論（續(xù)）需求的價格彈性彈性用兩個經(jīng)濟量變化的百分率的比值來刻劃一個量量對另一個量的影響程度．這個比值稱作彈性．需求的價格彈性用變化的百分率分別度量價格的變化和需求的變化，進而價格的變化對需求量變化的影響程度可以如下度量Edp=點彈性：Edp=（Qd=F(p)關于價格p是可導的）2-34應用(II)供求理論（續(xù)）需求的價格彈性Edp=2-35應用(II)供求理論（續(xù)）需求的價格弧彈性的計算中點公式Edp=低點公式Edp=Edp=對數(shù)公式Edp=Edp=2-35應用(II)供求理論（續(xù)）需求的價格弧彈性的計算2-36應用(II)供求理論（續(xù)）缺乏彈性價格的任何變動，會引起需求量較小程度的變化；或1%價格的變化導致少于1%需求量的變化．單一彈性價格的任何變動，會引起需求量同等程度的變化；或需求變化的百分率與價格變化的百分率完全相同．Edp分類完全無彈性不管價格如何變動，需求量固定不變．2-36應用(II)供求理論（續(xù)）缺乏彈性單一彈性Edp2-37應用(II)供求理論（續(xù)）Edp分類富有彈性價格的任何變動會引起需求量較大程度的變化；或1%價格的變化導致大于1%需求量的變化．完全彈性價格的任何變動，會引起需求量無限的變動．2-37應用(II)供求理論（續(xù)）Edp分類富有彈性完全2-38應用(II)供求理論（續(xù)）線性需求函數(shù)的點彈性設有線性需求函數(shù)Qd=a

bP，a，b>0是常數(shù)．將需求量作為橫坐標，價格作為縱坐標．垂直線Qd=Q0，其中Q0是常數(shù)．此時Edp=0．水平線P=m，其中m是常數(shù)．此時Edp=+．Edp==Q=Q0POQ完全無彈性P=mPOQ完全彈性2-38應用(II)供求理論（續(xù)）線性需求函數(shù)的點彈性2-39應用(II)供求理論（續(xù)）線性需求函數(shù)的點彈性斜線Qd=a

bP，其中b

0．中點E處的點彈性為1；線段AE上任一點處的點彈性位于區(qū)間(1，+)；線段EB上任一點處的點彈性位于區(qū)間(0，1)．ABEQPOa/baa/2a/(2b)2-39應用(II)供求理論（續(xù)）線性需求函數(shù)的點彈性A2-40應用(II)供求理論（續(xù)）下面證明線段AE上任一點處的點彈性位于區(qū)間(1，+)．

對AE上任一點（Q0，P0）有

所以1<a/(bP0)<2，0>1a/bP0>1因此|Edp|>1．

易知A(0，a/b)，E(a/2，a/2b)，B(a，0)ABEQPOa/baa/2a/(2b)2-40應用(II)供求理論（續(xù)）下面證明線段AE上任一2-41應用(II)供求理論（續(xù)）需求價格彈性與消費者總支出的關系考慮完全壟斷市場．當某種商品的價格P上升，消費者總支出PQd將如何變化呢？變化是不確定的．這是因為P和Qd反向變化．但有下面的結論．1)價格的增加導致總支出的增加的充要條件是商品的需求缺乏彈性；2)價格的增加導致總支出的減少的充要條件是商品的需求富有彈性;3)無論價格上升或下降，總支出不變的充要條件是商品的需求是單一彈性．證明：設商品的需求函數(shù)為Q=F(P)，則總支出為E(P)=PQ．進而E(P)=2-41應用(II)供求理論（續(xù)）需求價格彈性與消費者總2-42應用(II)供求理論（續(xù)）需求收入彈性指消費者收入的相對變動所引起的需求量的變動．需求量是收入I的連續(xù)且可導的函數(shù)時EdI=EdI=供給價格彈性（略）2-42應用(II)供求理論（續(xù)）需求收入彈性需求量是收2-43應用(II)消費理論研究需求函數(shù)背后的消費者的行為理論．從生產(chǎn)者的角度可稱為需求理論．需求的實現(xiàn)或欲望的滿足，就是消費．消費是人們?yōu)闈M足欲望而使用物品的一種經(jīng)濟行為，是人類一切經(jīng)濟活動的出發(fā)點和歸宿點，是經(jīng)濟學研究的首要問題．消費者行為的分析法確定性分析：包括基數(shù)效用理論和序數(shù)效用理論；不確定性分析：風險情況下的消費選擇2-43應用(II)消費理論研究需求函數(shù)背后的消費者的行2-44應用(II)消費理論（續(xù)）經(jīng)濟學上一般用效用理論分析消費者的行為．效用是人們從消費一種產(chǎn)品中所得到的滿足．一種產(chǎn)品，必須既有滿足人們欲望的性能，人們又有對它滿足的欲望，才能產(chǎn)生效用．它是一種主觀的使用價值．基數(shù)效用分析方法原理基數(shù)效用分析方法（Cardinalutilityapproach），即邊際效用分析方法，認為一種產(chǎn)品對一個人的效用可用一個基數(shù)度量，如1，2.1，6，7，7.32，…，且每個人都能說出這種產(chǎn)品對自己的效用，單位為尤特爾（util）．2-44應用(II)消費理論（續(xù)）經(jīng)濟學上一般用效用理論2-45應用(II)消費理論（續(xù)）總效用總效用是指消費者在一定時間內(nèi)消費某種產(chǎn)品而獲得的效用總量．若只消費一種產(chǎn)品，則總效用函數(shù)（簡稱效用函數(shù)）可表示為為TU=TU(X)．這個概念對序數(shù)效用分析法同樣適用2-45應用(II)消費理論（續(xù)）總效用2-46應用(II)消費理論（續(xù)）邊際效用函數(shù)一種產(chǎn)品的邊際效用（以MU表示），是指在原有的消費水平X0下，再追加一個消費單位所增加的總效用，即MU=TU(X0+1)TU(X0)．邊際效用的度量法MU=TU(X0)這是因為TU(X0+1)TU(X0)

TU(X0)．MU>0，即TU(x)是增函數(shù)．2-46應用(II)消費理論（續(xù)）邊際效用函數(shù)2-47應用(II)消費理論（續(xù)）邊際效用遞減法則也叫Gossen第一法則，是指在一定時間內(nèi)，一個人消費一種產(chǎn)品的邊際效用，隨其消費量的增加而減少．數(shù)學分析Gossen第一法則等價于TU是凹函數(shù)2-47應用(II)消費理論（續(xù)）邊際效用遞減法則Gos2-48應用(II)消費理論（續(xù)）消費者均衡消費者均衡是指消費者以一定的收入，在一定市場價格下，購買一定數(shù)量的產(chǎn)品，能夠獲得最大滿足的狀態(tài)總效用最大狀態(tài)．無約束消費者均衡消費者的消費行為不受任何限制，他消費一種產(chǎn)品的最大效用可表示為一個自由極值問題：maxTU(X)X*是均衡消費量的必要條件是

假設X*滿足則X*是均衡消費量的二階充分條件是2-48應用(II)消費理論（續(xù)）消費者均衡假設X*2-49應用(II)消費理論end有約束消費者均衡消費者的消費行為受某種限制，如消費量XI，I是一個區(qū)間．他消費一種產(chǎn)品的最大效用可表示為一個約束極值問題：maxTU(X)s.t.X

I這等價于求函數(shù)TU(X)在區(qū)間I上的極大值或最大值．序數(shù)效用分析方法在多元函數(shù)微分法和優(yōu)化理論中介紹．2-49應用(II)消費理論end有約束消費者均衡2-50應用(II)廠商理論廠商理論具有兩重性，可從兩個方面進行研究：1)從實物形態(tài)上研究生產(chǎn)的原理，叫生產(chǎn)理論；2)從貨幣形態(tài)上研究成本的結構，叫成本理論．二者是同一生產(chǎn)者行為的兩個方面，只是表現(xiàn)形式不同．我們將看到廠商理論中所采用的分析方法，基本上是消費理論中用過的方法．生產(chǎn)理論僅考慮短期生產(chǎn)函數(shù)：Q=F(L)或Q=F(K)，即勞動和資本中只有一個發(fā)生變化．2-50應用(II)廠商理論廠商理論具有兩重性，可從兩個2-51應用(II)廠商理論（續(xù)）生產(chǎn)函數(shù)假設考慮生產(chǎn)函數(shù)Q=F(X)．（1）是連續(xù)的或C2（即有二階連續(xù)導數(shù)）（2）是增函數(shù)（3）存在一個投入水平LN，使F(X)是（0，LN

）上的凸函數(shù)，是（LN

，+）上的凹函數(shù)．若F(X)是C2的，則假設（2）和（3）可表示為：（2'）對任意的投入水平L

，F(xiàn)

(X)>0．（3'）存在一個投入水平LN

，使對任意的投入水平X(0，LN)，F(xiàn)

(X)>0；對任意的投入水平X(LN

，+)，F(xiàn)

(X)<0．2-51應用(II)廠商理論（續(xù)）生產(chǎn)函數(shù)假設2-52圖2.4.2生產(chǎn)函數(shù)LQNOQ=F(L)LN2-52圖2.4.2生產(chǎn)函數(shù)LQNOQ=F(L)LN2-53實物產(chǎn)量總產(chǎn)量一定技術下，變動投入L(或K)和一定量的其它投入相結合所能生產(chǎn)的最大產(chǎn)量叫總實物產(chǎn)量，記為TP．TP=F(L)或TP=F(K)．平均產(chǎn)量一定技術條件下，平均每個單位勞動或資本投入所生產(chǎn)的總產(chǎn)量，叫勞動或資本的平均實物產(chǎn)量，記作APL或APK．

APL=TP/L，APK=TP/K．邊際產(chǎn)量在一定條件下，資本或勞動投入的微小變動所引起的總產(chǎn)量的變動，叫勞動或資本的邊際實物產(chǎn)量，簡稱勞動或資本的邊際產(chǎn)量．記為MPL或MPK．

MPL=

F(L)MPK=

F(K)應用(II)廠商理論（續(xù)）2-53實物產(chǎn)量應用(II)廠商理論（續(xù)）2-54點（L0，Q0）處的實物產(chǎn)量的幾何圖形表示LQNOQ=F(L)LNL0Q0L12-54點（L0，Q0）處的實物產(chǎn)量的幾何圖形表示LQNO2-55實物產(chǎn)量間的關系QLNROTPLNSLSLRAPMPLQOLNLSLRM2-55實物產(chǎn)量間的關系QLNROTPLNSLSLRAPMP2-56應用(II)廠商理論（續(xù)）實物產(chǎn)量間的關系與實物產(chǎn)量的極值TP與AP：TP上任一點M(L，Q)處的AP是自原點到點(L，Q)處的射線的斜率．開始時，該斜率（AP）隨L值的增加而增大，即AP遞增．當這條射線與TP曲線切于點S時（L=LS），其斜率最大，即AP最大．過了點S，其斜率遞減，即AP遞減（見定理2.4.2）．2-56應用(II)廠商理論（續(xù)）實物產(chǎn)量間的關系與實物2-57應用(II)廠商理論（續(xù)）實物產(chǎn)量間的關系與實物產(chǎn)量的極值TP與MP：TP曲線上任何一點的邊際產(chǎn)量MP是TP曲線在這一點處切線的斜率．在拐點N以前，切線的斜率為正且遞增，即MP遞增．到拐點N，切線斜率達到最大，即MP最大．過了拐點N后，切線的斜率遞減．到了點R，切線的斜率為零（即MP=0），這時TP達到最大．過點R以后，切線的斜率由正變負，MP為負數(shù)，TP也遞減．2-57應用(II)廠商理論（續(xù)）實物產(chǎn)量間的關系與實物2-58應用(II)廠商理論（續(xù)）為什么MP在拐點N處獲極大值？MP=F(L)，由生產(chǎn)函數(shù)的假設知N(LN，F(xiàn)(LN))是拐點，即dMP/dL(LN)=F(LN)=0；當L(0，LN)時，

F(L)>0，即MP遞增；當L(LN，+)時，F(xiàn)(L)<0，即MP遞減．故MP在N(LN，F(xiàn)(LN))處獲極大值．

AP與MP：定理2.4.2（1）AP遞增的充要條件是MP>AP（2）AP遞減的充要條件是MP<AP；（3）AP在LS處達到極大的充分條件是MP(LS)

=AP(LS)且F

(LS)

<0．證明：（見P21頁）．

2-58應用(II)廠商理論（續(xù)）為什么MP在拐點N處獲2-59定理2.4.2（1）AP遞增的充要條件是MP>AP；

（2）AP遞減的充要條件是MP<AP；（3）AP在LS處達到極大的充分條件是MP(LS)

=AP(LS)且F

(LS)<0圖2.4.2實物產(chǎn)量間的關系LAPMPQOLNLSLR分析：為了獲得AP的增減情況和極值情況，我們找到AP的表達式，用其導數(shù)的符號來判斷．證明：據(jù)AP=F(L)/L，有

從而結論（1）和（2）成立．

為了證明結論（3），需要證明

由MP(LS)

=AP(LS)及AP導數(shù)的表達式可知由F

(LS)<0及可知證畢2-59定理2.4.2（1）AP遞增的充要條件是MP2-60應用(II)廠商理論（續(xù)）成本理論總成本、總固定成本和總變動成本平均固定成本、平均變動成本與平均成本邊際成本2-60應用(II)廠商理論（續(xù)）成本理論2-61TRQC'A'QVQCQATCPOQBV'B'TVCTFCM'M''QM總固定成本TFC總變動成本TVC總成本TC總收入TR2-61TRQC'A'QVQCQATCPOQBV'B'TVC2-62應用(II)廠商理論（續(xù)）總成本、總固定成本和總變動成本（1）總固定成本（TFC）一定產(chǎn)量范圍內(nèi)，不隨產(chǎn)量變動而變動的成本之和，如廠房、機器以及保險費、常雇人員工資等經(jīng)常性的開支．即使停產(chǎn)，產(chǎn)量為零，TFC仍存在．假設TFC=b．可分為兩類：1)與產(chǎn)量無關的當期支出，如利息、租金、水電費、職員工資等．2)不一定當期支出，但最后必須支付，如正常利潤．2-62應用(II)廠商理論（續(xù)）總成本、總固定成本和總2-63應用(II)廠商理論（續(xù)）（2）總變動成本（TVC）隨產(chǎn)量變動而變動的成本之和，如原材料、燃料、電力、運輸費、直接生產(chǎn)工人的工資等．如暫時停產(chǎn)，產(chǎn)量為0，總變動成本也為0，總成本=總固定成本．一般滿足假設：TVC在(0，QM)上是Q的凹函數(shù)，在(QM，+)上是Q的凸函數(shù)．2-63應用(II)廠商理論（續(xù)）（2）總變動成本（TV2-64應用(II)廠商理論（續(xù)）（3）總成本（TC）總成本是總固定成本和總變動成本之和，即TC=TVC+TFC．一般滿足的假設與TVC滿足的假設相同，即TC在(0，QM)上是Q的凹函數(shù)，在(QM，+)上是Q的凸函數(shù)．若TC是關于Q

的二階連續(xù)可導函數(shù)，則此假設可表示為：在(0，QM)上TC(Q)<0，在(QM，+)上TC

(Q)>0，且TC(QM)=0．2-64應用(II)廠商理論（續(xù)）（3）總成本（TC）2-65應用(II)廠商理論（續(xù)）平均固定成本、平均變動成本與平均成本（1）平均固定成本（AFC）AVC是原點O到TVC上一點射線的斜率．開始時，AVC遞減；直到自原點的射線與TVC相切于點V時，AVC最低；在這以后，AVC又遞增．在產(chǎn)量OQV之前，AVC的斜率為負，在產(chǎn)量OQV

之后，AVC的斜率為正．其數(shù)學分析見定理2.4.3．（2）平均變動成本（AFC）2-65應用(II)廠商理論（續(xù)）平均固定成本、平均變動2-66應用(II)廠商理論（續(xù)）（3）平均（總）成本（ATC或AC）AC=TC/Q=AFC+AVCAC是從原點到TC曲線上一點射線的斜率．開始時，AC遞減；直到自原點的射線與TC曲線相切于點C時，AC最低；在這以后，AC又遞增．在產(chǎn)量OQC以前，AC的斜率為負，在產(chǎn)量OQC

以后，AC的斜率為正．其數(shù)學分析見定理2.4.4．注記：TC>TVC，AC>AVC，AC最低的產(chǎn)量大于AVC最低的產(chǎn)量．2-66應用(II)廠商理論（續(xù)）（3）平均（總）成本（2-67應用(II)廠商理論（續(xù)）邊際成本（MC）邊際成本指每增加一個單位產(chǎn)量所增加的成本．可表示為MC(Q)=TC(Q+1)TC(Q)．當TC(Q)是連續(xù)可導函數(shù)時，可表示為幾何上，MC(Q)是TC(Q)曲線在Q處的斜率．開始時，在拐點M之前，TC曲線的斜率遞減，因而MC遞減；到拐點M時斜率最小，即MC(QM)最小，在拐點M之后，TC曲線的斜率遞增，因而MC遞增．2-67應用(II)廠商理論（續(xù)）邊際成本（MC）幾何2-68應用(II)廠商理論（續(xù)）幾何上，MC(Q)是TC(Q)曲線在Q處的斜率．開始時，在拐點M

之前，TC曲線的斜率遞減，因而MC遞減；到拐點M時斜率最小，即MC(QM)最小，在拐點M

之后，TC曲線的斜率遞增，因而MC遞增．MC(Q)在QM達到極小來自對函數(shù)TC(Q)的假設．即在(0，QM)上MC(Q)=TC(Q)<0，在(QM，+)上MC(Q)=TC(Q)>0，且MC(QM

)=TC

(QM)=0，因此MC(Q)在QM達到極小．2-68應用(II)廠商理論（續(xù)）幾何上，MC(Q)2-69應用(II)廠商理論（續(xù)）AVC與MC之間的關系定理2.4.3設TC(Q)是函數(shù)，則（1）AVC是增函數(shù)的充要條件是MC>AVC；（2）AVC是減函數(shù)的充要條件是MC<AVC；（3）AVC在QV處達到極小值的充分條件是MC(QV

)=AVC(QV

)且TC

(QV)>0．AC與MC之間的關系定理2.4.4設TC(Q)是函數(shù)，則（1）AC是增函數(shù)的充要條件是MC>AC；（2）AC是減函數(shù)的充要條件是MC<AC；（3）AC在QC處達到極小值的充分條件是

MC(QC

)=AC(QC

)且TC

(QC)>0．2-69應用(II)廠商理論（續(xù)）AVC與MC之間的關系2-70TRQC'A'QVQCQATCPOQBV'B'TVCTFCM'M''QM總固定成本TFC總變動成本TVC總成本TC總收入TR2-70TRQC'A'QVQCQATCPOQBV'B'TVC2-71MCQMVCAQVQMQCQAACAVCAFCPOAR=MR=PAAR=MR=PCAR=MR=PVAR=MR=PMQBBAR=MR=PRAR=MR=PSRS平均固定成本AFC平均變動成本AVC平均成本AC邊際成本MC圖2.4.3完全競爭廠商的盈虧分析QS2-71MCQMVCAQVQMQCQAACAVCAFCPOA2-72應用(II)市場理論前面已研究了消費者行為理論和生產(chǎn)者行為理論，將兩者結合起來，進一步研究它們之間的交易行為怎樣共同決定產(chǎn)品市場的價格和產(chǎn)量，通稱市場理論．市場類型：完全競爭；完全壟斷；壟斷競爭和寡頭壟斷本小節(jié)僅考慮前兩種市場，其余的放在優(yōu)化理論的章節(jié)中討論．2-72應用(II)市場理論前面已研究了消費者行為理論和2-73應用(II)市場理論（續(xù)）完全競爭完全競爭市場的特征價格既定：個別家庭或廠商都是價格的接受者．即P=P0，P0是確定的常數(shù)產(chǎn)品同質(zhì)、無異投入要素可在產(chǎn)業(yè)間自由轉(zhuǎn)移．信息充分：所有廠商和顧客完全掌握現(xiàn)在和將來的價格信息，因而不會有任何人以高于市場的價格進行購買，以低于市場的價格進行銷售．完全競爭廠商面對既定的市場價格而調(diào)整自己的產(chǎn)量，只能控制產(chǎn)量這一變量，中心問題是研究產(chǎn)量決策．2-73應用(II)市場理論（續(xù)）完全競爭完全競爭市場2-74應用(II)市場理論（續(xù)）完全競爭短期均衡——盈虧分析法（1）總收入總成本分析法max(Q)=TR(Q)

TC(Q)幾何上π(Q*)是極大值的條件可敘述為：π(Q*)極大的必要條件是：TR曲線的斜率=TC曲線的斜率．π(Q*)極大的充分條件是：MC曲線自右下方與MR曲線相交．幾何解釋見下圖．2-74應用(II)市場理論（續(xù)）完全競爭短期均衡——2-75QTOQBPQTRTCQM完全競爭廠商的虧損分析QTQMMQTOQBQMMC=MR=PTPQMC

PT2-75QTOQBPQTRTCQM完全競爭廠商的虧損分析QT2-76應用(II)市場理論（續(xù)）完全競爭短期均衡——盈虧分析法（2）邊際收入邊際成本分析法

定理2.4.5利潤極大的必要條件（MR=MC定理）π(Q)在Q*處取得極大值的必要條件是MR(Q*)=MC(Q*)．證明：見講義．幾何解釋見上圖．推論2.4.7（MR=MC定理）

π(Q)在Q*處取得極大值或S(Q)在Q*處取得極小值的必要條件是P*=MC(Q*)．2-76應用(II)市場理論（續(xù)）完全競爭短期均衡——2-77應用(II)市場理論（續(xù)）完全競爭定理2.4.5的解釋：一個廠商應該繼續(xù)生產(chǎn)產(chǎn)品，一直到再多生產(chǎn)一單位產(chǎn)品的成本（MC）剛好與該單位產(chǎn)品所帶來的收入（MR）相抵消．若下一個單位產(chǎn)品給廠商增加的收入大于它給廠商增加的成本（MR>MC），則生產(chǎn)下一個單位的產(chǎn)品將增加廠商的利潤，因而廠商應進行生產(chǎn)．若再多生產(chǎn)一單位產(chǎn)品所增加的成本大于它給廠商（在市場上）增加的收入（MC>MR），則再多生產(chǎn)一單位的產(chǎn)品將減少廠商的利潤，即廠商本應該早點兒停產(chǎn)．2-77應用(II)市場理論（續(xù)）完全競爭定理2.4.52-78應用(II)市場理論（續(xù)）完全競爭（2）邊際收入邊際成本分析法定理2.4.6

（利潤極大或損失極小的充分條件）假設Q*滿足MR(Q*)=MC(Q*)，則

π(Q)在Q*處取得極大值的充分條件是推論2.4.8（利潤極大或損失極小的充分條件）假設Q*滿足MR(Q*)=MC(Q*)，則π(Q)在Q*處取得極大值或S(Q)在Q*處取得極小值的充分條件是

或或2-78應用(II)市場理論（續(xù)）完全競爭（2）邊際收入2-79應用(II)市場理論（續(xù)）完全競爭零利潤點、停止生產(chǎn)點、停止決策、盈利與虧損1）零利潤點對完全競爭市場，當市場價格為PC時，即MR曲線（P=PC）與MC曲線交于AC曲線的最低點C時PC

=MR=AC，因而TR=TC=PCQC，即超額利潤為零（正常利潤已含在成本內(nèi)）．使TR=TC的點C（指生產(chǎn)水平）叫零利潤點，收支相抵點或扯平點．（3）盈虧的確定即使推論2.4.7和推論2.4.8中的的必要和充分條件都滿足，TR也有可能不足TC，即出現(xiàn)虧損．考慮圖2.4.3（P23），當市場的價格是PS時，均衡產(chǎn)量為QS．此時有TR<TC，出現(xiàn)虧損．2-79應用(II)市場理論（續(xù)）完全競爭零利潤點、停止2-80應用(II)市場理論（續(xù)）完全競爭2）停止生產(chǎn)點對完全競爭市場，當市場價格為PV時，即MR曲線（P=PV）與MC曲線交于AVC曲線的最低點V，有PV

=MR=AVC<AC，因而TR=TVC=PVQV．此時廠商可以繼續(xù)生產(chǎn)，也可以停產(chǎn)，不論廠商是否繼續(xù)生產(chǎn)，都虧損TFC．所以AVC曲線的最低點V點稱為停止生產(chǎn)點．使TR=TVC的點（市場價格）叫停止生產(chǎn)點．2-80應用(II)市場理論（續(xù)）完全競爭2）停止生產(chǎn)點2-81應用(II)市場理論（續(xù)）完全競爭當市場價格P=PS<PV時，即MR曲線（P=PS）與MC曲線交于S點．這時，AC和AVC曲線都在MR曲線之上，因此AC>PS

=MR<AVC或TC>TR<TVC.說明此時廠商如果生產(chǎn)的話，不僅虧損TVC，而且也要虧損部分TFC，故必須停產(chǎn)．當市場價格P=PR>PV時，即MR曲線（P=PR）與MC曲線交于R點．這時，MR曲線在AC曲線之下，在AVC曲線之上，因此AC>PR

=MR>AVC或TC>TR>TVC說明此時廠商應繼續(xù)生產(chǎn)，收益不僅能抵消TVC，且能抵消部分TFC．綜上述，對完全競爭市場而言有下面的結論3）和4）．2-81應用(II)市場理論（續(xù)）完全競爭當市場價格P2-82應用(II)市場理論（續(xù)）完全競爭3）廠商的有效供給曲線是以停止生產(chǎn)點V以上的那部分邊際成本所代表的曲線VA，如圖2.4.3（P23）所示．可表示為P=MC(Q)，當P

PV時；Q=0，當P<PV時．上面的部分MC之所以看作單一廠商的供給曲線是因為函數(shù)P=MC(Q)表示了價格P和最優(yōu)產(chǎn)量Q的關系且最優(yōu)產(chǎn)量可由MC曲線上的一個點表示；對任意的價格P，廠商愿意提供的最優(yōu)產(chǎn)量位于水平價格線與MC曲線的交點處，即P=MC